Projection

Les espaces et les sous-espaces vectoriels
Alg`ebre lin´eaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
D´epartement de math´ematiques et d’informatique
Universit´e Laurentienne
Sudbury, 4 mars 2011

Espaces vectoriels (de Wikipedia)
En math´ematiques, un espace vectoriel est un ensemble d’objets
(appel´es vecteurs) qui, grosso modo, peuvent ˆetre multipli´es et
additionn´es, c’est-`a-dire, dont on peut faire des combinaisons
lin´eaires.
Plus formellement, un espace vectoriel est un ensemble sur lequel
deux op´erations, nomm´ement l’addition (vectorielle) et la
multiplication (scalaire), sont d´efinies et satisfont un certain
nombre d’axiomes naturels list´es plus loin.

Espaces vectoriels (de Wikipedia)
Les espaces vectoriels les plus familiers sont les espace euclidiens
bi- et tridimensionnel. Les vecteurs dans ces espaces sont des pairs
ou des triplets ordonn´es de nombres r´eels, souvent repr´esent´es
comme des vecteurs g´eom´etriques qui sont des quantit´es avec une
grandeur et une direction, et g´en´eralement illustr´es par des fl`eches.
Ces vecteurs peuvent ˆetre additionn´es ensemble en utilisant la r`egle
du parall´elogramme (l’addition vectorielle) et peuvent ˆetre
multipli´es par des nombres r´eels (multiplication scalaire). Le
comportement de ces vecteurs g´eom´etriques munis de ces
op´erations nous donnent un bon mod`ele intuitif du comportement
d’un espace vectoriel plus abstrait qui peut ne pas avoir de
repr´esentation g´eom´etrique.

D´efinition d’un espace vectoriel (p. 217)
D´efinition (Espace vectoriel)
Soit V , un ensemble non vide d’objets dont les ´el´ements seront
appel´es des vecteurs. Un espace vectoriel Vsur le corps IR est
un ensemble V muni de deux op´erations,
1. l’addition vectorielle V×V→V
(u,v)7→ u+v
6. la multiplication scalaire IR ×V→V
(k,u)7→ ku
et qui satisfait les 8 prochains axiomes sur les deux prochains
transparents.
Les axiomes 1 et 6 expriment la fermeture de Vsous l’addition
vectorielle et sous la multiplication scalaire.

D´efinition d’un espace vectoriel (suite)
D´efinition (Espace vectoriel (suite))
Les axiomes d’addition vectorielle
2. L’addition vectorielle est commutative :
Pour tout u,v∈V , on a u+v=v+u.
3. L’addition vectorielle est associative :
Pour tout u,v,w∈V , on a u+ (v+w) = (u+v) + w.
4. L’addition vectorielle a un ´el´ement neutre :
Il existe un ´el´ement 0∈V , appel´e le vecteur nul, tel que
u+0=upour tout u∈V .
5. L’addition vectorielle a un ´el´ement inverse :
Pour tout u∈V , il existe un ´el´ement v∈V , appel´e l’inverse
additif de u, tel que u+v=0. L’inverse additif vde uest
souvent not´e −uet est appel´e l’oppos´e de u.