- 1 - LES NOMBRES PREMIERS. Dans tout ce chapitre, les entiers

Terminale S. 2008/2009.
Spé. Maths. J. TAUZIEDE.
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LES NOMBRES PREMIERS.
Dans tout ce chapitre, les entiers seront des entiers naturels ; leurs multiples ou diviseurs
seront aussi des entiers naturels.
I- L’ENSEMBLE DES NOMBRES PREMIERS.
1°) Définition et existence.
Définition. On dit qu’un entier naturel est un nombre premier s’il admet exactement deux
diviseurs distincts 1 et lui-même.
Remarques.
i- On trouve généralement la définition suivante. Un entier naturel ≥2 est premier si
ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.(On exclu 1 pour avoir unicité dans la
décomposition en produit de facteurs premiers car sinon 6=2×3 mais aussi
6=2×3×1 ou 6=2×3×1n où n est un entier naturel.
ii- Une conséquence est que 0 qui est divisible par tous les entiers et 1 qui n’a qu’un
seul diviseur ne sont pas des nombres premiers.
iii- Vocabulaire : un nombre non premier est dit composé.
iv- Un entier non premier admet un diviseur autre que 1 et lui-même ; on dit que c’est
un diviseur strict. (2 et 4 sont les diviseur stricts de 8).
Exemple.
7 est un nombre premier car admet exactement deux diviseurs distincts 1 et 7.
12 n’est pas un nombre premier car il admet plus de deux diviseurs distincts qui sont 1, 2, 3,
4, 6.
Proposition : existence des nombres premiers.
Tout entier naturel n, avec n≥2, admet au moins un nombre premier comme diviseur.
Démonstration.
• Si n est premier, le diviseur premier de n est n donc n admet un diviseur premier lui-
même.
• Si n n’est pas premier, n admet au moins un diviseur strict. Soit
{ }
nnnDivIN ;;;;1 21 =
les diviseurs de n rangés dans l’ordre croissant. Montrons que n1 est premier en
raisonnant par l’absurde.
Si n1 n’est pas premier, alors n1 admet un diviseur strict d tel que
1
1nd <<
. Comme
dn1 et n1n alors dn et donc d est un diviseur strict de n plus petit que n1 ce qui
contredit le fait que n1 est le plus petit.
Donc n1 est premier et donc n admet un diviseur premier.
Autre démonstration.
Soit n un entier naturel avec n≥2.
Soit E l’ensemble des diviseurs de n qui sont supérieurs ou égaux à 2. Comme n∈E, alors E
est non vide. Comme toute partie non vide de IN admet un plus petit élément, l’ensemble E
admet un plus petit élément que l’on note p.
i- Comme p∈E alors p divise n et comme p∈E alors p≥2.
Si n est premier, le diviseur premier p de n n’est autre que n lui-même.

- 2 -
Si n n’est pas premier, raisonnons par l’absurde en supposant que p n’est pas premier. Dans ce
cas, p admet un autre diviseur que 1 et p que l’on note d ; ainsi d≥2 (car d≠1) et d<p (car d≠p).
Or,
pd
et
np
donc
nd
et comme d est un diviseur de n plus grand que 2, il est dans E, ce
qui est absurde car cela contredit la minimalité.
Conclusion p est premier et donc il existe une nombre premier qui divise n.
2°) Le crible d’Eratosthène ; test de primalité..
Théorème. Soit n un entier naturel avec n≥2.
Si n n’admet aucun diviseur premier p tel que p
2
≤n, alors n est un nombre premier.
Démonstration.
ii- Raisonnons par contraposée, en supposant que n (≥2) n’est pas premier. Ainsi, n
admet un diviseur premier p tel que
q
p
n×=
avec
qp ≤<1
car p est le plus petit
diviseur premier de n. Comme
qp <<1
alors
pqp ≤
2
c'est-à-dire
n
p≤
2
donc
np ≤
Exemple. 167 est-il un nombre premier ?
On cherche un carré parfait juste au dessus de 167, on a 132=169.
On regarde si 167 est divisible par les nombres premiers strictement inférieurs à 13 : 2, 3, 5, 7,
11. Aucun ne divise 167, donc 167 est un nombre premier.
Remarque. Ce théorème justifie le crible d’Eratosthène. On élimine tous les nombres
premiers déjà connu et on s’arrête dès que l’on dépasse
n
. Ici
100=n
donc
10=
n
.
Exercice. Dresser la liste des nombres premiers inférieurs à 100.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
Exercice.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On pose
32
2−
−= nna
. Existe-t-il des valeurs
de n telles que a soit un entier naturel premier ?
Les racines du polynôme
32
2
−− XX
sont X=−1 et X=3. Une factorisation dans IN est alors
( )( )
31 −+= nna
.

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Or
21≥+n
pour n≥1 et
2
3≥−
n
pour n≥5 donc a est le produit de deux entiers supérieurs
ou égaux à 2 et ne peut donc être premier.
Regardons les cas où n=3 et n=4.
Si n=3, on a a=0 et donc a n’est pas premier.
Si n=4, alors a=5 et a est premier.
3°) L’infinitude des nombres premiers.
Corollaire. L’ensemble ℘ des nombres premiers est infini.
Démonstration. Par l’absurde comme préconisée dans le programme.
Supposons que l’ensemble ℘ des nombres premiers est fini et soit alors ℘={p1, p2,…, pn} la
liste des nombres premiers. Posons N=p1×p2×…×pn+1 un entier naturel, on a : N≥2 donc, N
admet un diviseur premier pi qui est dans la liste.
Ainsi,
Np
i
et
( )
ni pp
pp ××× 
2
1
donc
( )
[ ]
ni pppNp ×××− 
21
c’est à dire que
1
i
p
donc
p≤1 ce qui est absurde pour un nombre premier.
Conclusion N est un entier qui n’est pas divisible par l’un des nombres premiers pi de la liste,
donc d’après le théorème I), il est premier ou possède ou diviseur premier qui n’est pas dans
la liste ; dans les deux cas, cette liste n’est pas finie.
II- DECOMPOSITION D’UN ENTIER NATUREL EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS.
1°) Le théorème fondamental de l’arithmétique.
Théorème (théorème fondamental de l’arithmétique).
♥
Tout entier naturel n≥2 est premier ou se décompose en un produit de facteurs premiers.
Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
Démonstration.
♥
• Si n est premier, la propriété est établie.
• Si n n’est pas premier, alors son plus petit diviseur n1≥2 est premier et donc il
existe un entier naturel q tel que
qnn ×=
1
avec
nq <<1
(avec
1≠q
car sinon
n1=n ce qui entraîne n premier puisque n1 l’est, ce qui est absurde).
• Si q est premier alors
qnn ×=
1
et la propriété est établie.
• Si q n’est pas premier, alors son plus petit diviseur q1≥2 est premier et il
existe un entier naturel q2 tel que
21
qqq =
avec
qq <<
2
1
et donc
211
qq
nn =
.
On réitère le processus avec q2. Ainsi, on construit une suite d’entiers qi
strictement décroissante (les quotients successifs sont de plus en plus petits)
12
1qqqi<<<
<≤ 
. Cette suite est finie et le dernier d’entre eux est
nécessairement premier (sinon on continuerait), donc
k
qqqqnn 
32
11
=
avec les
qi premiers.
Comme ces qi ne sont pas forcément distincts, on peut les regrouper.
Découle
du
théorème
I)

- 4 -
D’où tout entier n s’écrit sous la forme
k
k
pp
pn
α
αα
2
121
=
où les p1 sont premiers avec
k
pp
p<<
<
2
1
et αi entiers naturels.
Exemple.
140
2
70
2
35
5
7
7
1
140=2
2
×5×7=5×2
2
×7=7×2×2×5
56
2
28
2
14
2
7
7
1
56=2
3
×7
2°) Application de la décomposition en produit de facteurs premiers pour déterminer
tous les diviseurs d’un entier naturel.
a- Détermination des diviseurs à l’aide de la décomposition en produit de
facteurs premiers.
Théorème.
Soit n et d deux entiers naturels avec d non nul.
d est un diviseur de n si et seulement si la décomposition en produit de facteurs premiers de d
ne comporte que des diviseurs premiers de n, chacun d’eux étant élevé à une puissance
inférieure ou égale à la puissance correspondante de ce facteur dans la décomposition de n.
Exemple. Effectuons la décomposition en produit de facteurs premiers de 735.
735
5
147
3
49
7
7
7
1
1
735=3×5×72
Ainsi, les diviseurs de 735 sont tous les nombres de la forme
cba
d753 ××=
où a, b et c sont
des entiers naturels tels que
10 ≤≤ a
,
10 ≤≤ b
et
2
0≤≤ c
.
b- Nombre de diviseurs d’un entier naturel.
Exemple. Faisons le avec 735.
On construit alors un arbre :

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70 7 70 3
50 71 7 50 71 21
72 49 72 147
30 31
70 5 70 15
5 71 35 51 71 105
72 245 72 735
Le nombre de diviseurs de 735 est 2×2×3=12.
Théorème.
Soit n un entier naturel avec
2≥n
.
Si la décomposition en facteurs premiers de n s’écrit
r
r
pp
pn
ααα
×
××= 
21
2
1
alors le nombre
de diviseurs de n est
( )( ) ( )
111
21
+××++
r
ααα
.
Exemple.
On a 4536=
1
43 7
32 ××
donc le nombre de diviseurs de 4536 est (3+1)(4+1)(1+1)=40
c- Utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers pour
déterminer le PGCD.
Théorème.
Soit a et b deux entiers naturels dont l’un des deux au moins est non nul.
Le PGCD de a et b est le produit de tous les facteurs premiers communs aux décompositions
de a et b, chacun de ces facteurs étant élevé à la plus petite des puissances de ce facteur dans
chacune des décompositions de a et de b.
Exemple.
* PGCD(24,140) ? On a 24=23×3 et 140=22×5×7 d’où PGCD(24,140)=22..
* PGCD(4536 ;4851)
On a 4536=
73
2
43
××
et 4851=
1173 22 ××
d’où PGCD(4536 ;4851)=
63732=×
.
Le nombre de diviseurs de 4536 est (3+1)(4+1)(1+1)=40, le nombre de diviseurs de 4851 est
(2+1)(2+1)(1+1)=18.
On observera que ce n’est pas le nombre le plus grand qui a nécessairement le plus grand
nombre de diviseurs.