Electromagnétisme Ex 1 Champ magnétique créé par une nappe de

Lycée Newton - PT
EM - TD5 - Equations de Maxwell
Electromagnétisme
TD no 5 : Equations de Maxwell
Ex 1
Champ magnétique créé par une nappe de courant
On considère une distribution de courant j = jez uniforme, d’épaisseur e, infiniment étendue dans les directions ex
et ez . Le reste de l’espace est occupé par du vide.
1.1. En un point M quelconque de l’espace (dans ou hors de la distribution de courant), déterminer l’expression
du champ magnétique B(M) créé. Tracer Bx (y), où Bx est la composante suivant ex du champ magnétique.
1.2. On fait tendre l’épaisseur e vers zéro tout en maintenant inchangée la quantité de courant transportée. La
distribution s’appelle alors une nappe de courant et on définit son courant surfacique js par la relation :
js = j × e
Cette grandeur s’exprime en A · m−1 en unités SI. Que dire de la continuité du champ magnétique ?
Ex 2
Conductivité complexe - Neutralité électrique des métaux
On considère un métal homogène soumis à un champ électrique à variations sinusoïdales dans le temps, dont
l’expression en complexe est :
E = Em exp(iωt)ex
2.1. Dans le cadre du modèle de Drude, montrer que l’on peut garder la définition de la conductivité à condition
que celle-ci soit complexe, notée γ(ω). Etablir l’expression de γ. Jusqu’à quel ordre de grandeur de fréquance
peut-on considérer γ réelle ? Que se passe-t-il sinon ?
2.2. A l’aide de l’équation de conservation de la charge, de l’équation de Maxwell-Gauss et de la définition de
la conductivité, établir une équation différentielle vérifiée par la densité volumique de charge ρ dans le métal.
Mettre cette équation sous forme canonique en faisant intervenir une pulsation caractéristique ωp et un facteur
de qualité Q, à exprimer en fonction des données. La pulsation ωp est appelée pulsation de plasma du métal.
2.3. Montrer que, si ρ est initialement non nulle en un point du métal, elle tend rapidement vers zéro en un
temps τ dont l’expression et la valeur numérique sont à déterminer.
2.4. En un point donné de l’espace, on prend pour conditions initiales ρ = ρ0 , 0 et
tracer sa courbe représentative.
Ex 3
∂ρ
∂t
= 0. Déterminer ρ(t) et
Magnétorésistance (effet Corbino)
On considère un anneau cylindrique de métal, d’axe (O, ez ), de conductivité γ, de rayon interne R1 , de rayon externe
R2 et de hauteur h.
3.1. Sa face interne est mise en contact avec une électrode de potentiel V1 et sa face externe est en contact avec
une électrode de potentiel V2 . Déterminer la résistance électrique de l’anneau.
3.2. Par rapport à la question précédente, on ajoute un champ magnétique externe uniforme et constant B = Vez .
On rappelle que, dans le modèle de Drude, les porteurs de charge libres sont soumis, de la part du métal, à une
force de frottement fluide F = − mτ v, où v désigne la vitesse du porteur dans le référentiel du métal, m est la masse
1
d’un porteur et τ un temps caractéristique. On note CH = nq
, où n est la densité volumique de porteurs de charge
libres et q la charge d’un de ces porteurs. En effectuant une étude à la manière du modèle de Drude, établir une
équation liant j, E et B, en faisant apparaître la conductivité γ au cours des calculs.
3.3. En déduire la nouvelle expression de la résistance.
Ex 4
Courant de déplacement
Un condensateur plan est constitué de deux armatures parallèles circulaires d’aire S, d’axe (O, ez ), séparées de la
distance e. Afin de simplifier les calculs, on néglige tous les effets de bords. En particulier, on fera l’approximation
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E ' 0 partout à l’extérieur de l’espace interarmatures. L’armature inférieure porte la charge q(t), qui varie à cause du
courant électrique d’intensité i constante dans le câble. Le régime est suffisamment lent (ARQS électrique) pour que
le champ électrique dans l’espace interarmatures ait la même expression
E=
q
ez
Ce
qu’en régime stationnaire, où C = ε0eS est la capacité du condensateur. On note S0 le disque s’appuyant sur C.
4.1. Appliquer deux fois le théorème d’Ampère généralisé au contour circulaire C entourant le fil et en envisageant deux surfaces : le disque S0 d’une part, et la surface S d’autre part.
4.2. En comparant les deux résultats obtenus, donner une interprétation du courant de déplacement.
Ex 5
Energie dans un solénoïde - Vecteur de Poynting
Un solénoïde de longueur l, de rayon a, d’axe (O, ez ), est constitué d’un enroulement de n spires circulaires par
unité de longueur. Afin de simplifier les calculs, on fait l’approximation du solénoïde infiniment long et on néglige
tous les effets de bords. En particulier, on fera l’approximation B ' 0 partout à l’extérieur du solénoïde. Les spires
du solénoïde sont parcourues par l’intensité variable i(t). On admet que le régime est suffisamment lent pour
que le champ magnétique ait la même expression qu’en régime stationnaire. C’est l’approximation des régimes
quasi-stationnaires magnétiques (ARQS magnétique).
5.1. Rappeler l’expression du champ magnétique B dans le solénoïde. En déduire l’expression du champ
électrique E induit.
5.2. Rappeler l’expression de la densité volumique uem d’énergie électromagnétique. A quelle condition le terme
magnétique um est-il prépondérant devant le terme électrique ? Interpréter.
5.3. On suppose la condition ul ue satisfaite. Déterminer l’énergie électromagnétique Uem contenue dans le
solénoïde. En déduire l’expression du coefficient d’auto-inductance L.
5.4. Calculer le vecteur de Poynting en tout point intérieur au solénoïde. En déduire l’expression de la quantité
E d’énergie électromagnétique entrant dans le tube formé par le solénoïde lorsque l’intensité passe de 0 à I.
Interpréter.
Ex 6
Energie dans un condensateur - Vecteur de Poynting
Un condensateur plan est constitué de deux armatures parallèles circulaires de rayon a (aire S = πa2 ), d’axe (O, ez ),
séparées de la distance e. Afin de simplifier les calculs, on néglige tous les effets de bords. En particulier, on fera
l’approximation E ' 0 partout à l’extérieur de l’espace interarmatures. L’armature inférieure porte la charge q(t).
On admet que le régime est suffisamment lent pour que le champ électrique ait la même expression qu’en régime
stationnaire. C’est l’approximation des régime quasi-stationnaires électrique (ARQS électrique). Dans ce cas, le
champ électrique est uniforme et s’écrit :
q
E=
ez
Ce
où C = ε0eS est la capacité du condensateur.
6.1. Exprimer le champ magnétique B induit dans l’espace interarmatures.
6.2. Rappeler l’expression de la densité volumique uem d’énergie électromagnétique. A quelle condition sur la
durée typique τ de la charge le terme électrique ue est-il prépondérant devant le terme magnétique ? Interpréter.
6.3. En travaux pratiques, les condensateurs sont-ils utilisés dans des conditions telles que ue um ?
6.4. On suppose la condition ue um satisfaite. Déterminer l’énergie électromagnétique Uem contenue dans
l’espace interarmatures. Vérifier sa cohérence avec l’expression C = ε0eS de la capacité.
6.5. Calculer le vecteur de Poynting en tout point intérieur au condensateur. En déduire l’expression de la
quantité E d’énergie électromagnétique entrant dans l’espace interarmatures lorsque la charge passe de 0 à q(t).
Interpréter.
Ex 7
Plaque de cuisson à induction
On considère un disque d’acier d’axe (O, ez ), de rayon a, d’épaisseur e, de conductivité γ et de perméabilité magnétique relative µr (grandeur supposée constante). On admet que tout se passe comme si les champs magnétiques
étaient multipliés par µr dans le métal. Grâce à un solénoïde de rayon a, on plonge le disque dans un champ magnétique uniforme alternatif de la forme B(t) = Bm cos(ωt)ez (Bm et ω sont supposés constants). Dans les trois premières
questions, on néglige le champ propre (champ magnétique créé par les courants de Foucault induits dans le disque).
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7.1. Déterminer le champ électrique induit dans le disque. En déduire le vecteur densité de courant j en tout
point du disque.
7.2. Exprimer la puissance volumique instantanée reçue par le disque par effet Joule. En déduire l’expression
de la puissance moyenne totale hPtot i reçue par le disque par effet Joule.
7.3. A partir de ces considérations, comment peut-on rélaiser un système de cuisson reposant sur le principe
de l’induction ? Quel est l’intérêt d’utiliser un matériau ferromagnétique pour le fond de la casserole ? Calculer
numériquement hPtot i et commenter le résultat.
7.4. On veur vérifier a posteriori s’il est légitime de négliger le champ propre. Pour cela, on admet qu’une
spire circulaire de rayon R et d’axe (O, ez ), parcourue par l’intensité i, crée en son centre le champ magnétique
µ i
B(O) = 2R0 ez dans le vide.
7.4.a. En voyant les courants de Foucault dans le disque comme une assemblée de spires concentriques
contenues dans le plan z = 0, en déduire l’expression du champ magnétique propre total au centre O du
disque.
7.4.b. A quelle condition ce champ est-il négligeable devant le champ extérieur imposé par le solénoïde ?
Exprimer le résultat sous la forme d’une inégalité contenant l’épaisseur de peau δ :
s
2
δ=
γµ0 µr ω
L’inégalité trouvée est-elle vérifiée numériquement ?
7.5. En première approximation, il faut remplacer e par δ dans l’expression de hPtot i. Justifier cela, puis calculer
numériquement hPtot i. Commenter.
Données : γ = 5,0 × 106 S · m−1 ; e = 2,0 mm ; a = 10 cm ; Bm = 2,0 × 10−5 T ; fréquence f = 25 kHz ; µr ' 80
Ex 8
Etude énergétique d’un conducteur sphérique
Un condensateur sphérique est constitué de deux armatures métalliques parfaitement conductrices, sphériques,
concentriques, de centre O et de rayons a et b > a. L’espace compris entre ces armatures est empli d’un milieu
conducteur de conductivité γ. On cherche pour ce système un champ électromagnétique variable, respectant la
symétrie sphérique E = HE(r, t)er à l’exclusion de toute composante statique. On suppose qu’à l’instant t = 0, le
conducteur était chargé : σt=0,r=a dS = Q0 .
8.1. Montrer que le champ magnétique est nul pour des raisons de symétrie.
8.2. Etablir et résoudre les équations vérifiées par le champ électromagnétique.
8.3. Définir et calculer la constante de temps τ du système.
8.4. Montrer qu’aucune puissance électromagnétique n’est rayonnée par ce système. Etablir le bilan local des
puissances pour ce système. Quelle est la constante de temps pour les puissances ?
8.5. Etablir l’expression de l’énergie emmagasinée dans le condensateur pour une date t quelconque.
8.6. En déduire l’expression de l’énergie dissipée par effet Joule entre t = 0 et t → ∞.
Ex 9
Effet de peau
Un matériau conducteur ohmique de conductivité γ occupe le demi-espace z > 0. Dans celui-ci, on étudie un champ
électromagnétique de la forme :
E(z, t) = Re E(z) exp jωt ez
h
i
B(z, t) = Re B(z) exp jωt ey
9.1. Dans quel domaine de fréquence peut-on négliger le courant de déplacement de Maxwell devant le courant
électrique ? On prendra γ = 5,7 × 107 S · m−1 .
9.2. En déduire la forme simplifiée des équations de Maxwell dans ce matériau.
9.3. Le conducteur étant limité dans le sens z > 0, résoudre ces équations ; on admettra qu’un certain dispositif
impose le champ électrique à la surface du conducteur : E(z = 0) = E0 .
9.4. On appelle épaisseur de peau δ du matériau la profondeur à partir de laquelle l’amplitude des champs est
divisée par e (base du logarithme népérien). Evaluer δ pour ce conducteur pour une fréquence de 50 Hz puis
pour une fréquence de 1 MHz.
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Résistance d’un conducteur ohmique
On considère un cylindre de matériau conducteur, de conductivité γ, de rayon a, de longueur h, parcouru par le
courant I uniformément réparti en volume. On néglige les effets de bord, on raisonnera comme si l’on avait affaire à
un cylindre infini.
10.1. Déterminer le champ électrique en tout point intérieur au conducteur. Quelles sont les sources de ce
champ ?
10.2. Déterminer de même le champ magnétique en tout point de l’espace.
10.3. Déterminer le vercteur de Poynting et son flux à travers la surface cylindrique entourant le conducteur.
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