Equations de Maxwell - MP*1
MP*1- 2015/2016
Equations de Maxwell
1) Sphère radioactive **:
Une petite sphère radioactive, de rayon , émet des particules chargées de façon
isotrope dans tout l’espace. La charge initiale est O. On pose le débit constant
de charges quittant la sphère, leur vitesse au niveau de la surface et T le temps
d’observation du phénomène.
1) Soit la charge contenue à l’instant dans une sphère de rayon
Ecrire deux relations liant , et
entre eux.
2) calculer
dans tout l’espace puis
de deux façons différentes.
3) Dans le cas où , calculer
dans tout l’espace.
2) Champs rayonnés par une couche de courant oscillante :
Le volume limité par les plans et est parcouru par un courant de
densité uniforme
Déterminer, dans le cadre de l’ARQS, l’expression du champ
puis du champ
en tout
point de l’espace.
On admettra que
3) Bilan d’énergie dans un solénoïde infini :
On considère un solénoïde infini parcouru par un courant Le champ magnétique
créé par le solénoïde est :
et
.
1) Calculer le champ électrique créé par le champ magnétique du solénoïde en tout
point de l’espace.
2) Calculer le flux du vecteur de Poynting entrant dans le solénoïde.
3) Faire un bilan d’énergie. Commenter.
On donne :
et on
supposera que les variations du champ magnétique créent un champ électrique :
4) Bilan d’énergie dans un condensateur ***:
On considère un condensateur formé de deux disques conducteurs parfaits de rayon ,
éloignés d’une distance , avec . On connecte à ses bornes une fem alternative
qui fait circuler un courant d’intensité .
1) On donne la fonction de Bessel :
et sa dérivée :
et on suppose que l’expression
est toujours vraie au
voisinage des électrodes. Déterminer
et
dans le condensateur en fonction de
et
. On se placera en notation complexe, en posant ,
et
.
On cherchera des solutions sous la forme
.
On donne la relation:
. Utiliser le formulaire d’analyse
vectorielle pour les différents opérateurs en coordonnées sphériques. On pose
2) Que deviennent ces résultats dans le cadre de l’ARQS ?
5) Moment cinétique du champ électromagnétique **:
On considère un condensateur cylindrique de hauteur portant initialement, pour
, une charge . Il est plongé dans un champ magnétique uniforme et permanent
.
1) L'isolant inter-armatures n'est pas parfait : le condensateur se décharge sur un
intervalle de temps . Montrer que le cylindre a acquis un moment cinétique .
2) L'isolant est parfait, le condensateur ne se décharge pas, mais on supprime
pendant . Même question.
On donne :
et on
supposera que les variations du champ magnétique créent un champ électrique :
3) En quoi cela semble-t-il paradoxal ? Que représentent les grandeurs
et
?
Indications
1) Sphère radioactive :
1) Appliquer le théorème de Gauss et la conservation de la charge dans une boule de rayon ;
2) Faire une étude des symétries pour trouver le champ magnétique ; calculer
en se
szervant de la valeur de
trouvée d’une part et en appliquant l’équation de Maxwell-Ampère
d’autre part ; 3) On peut supposer que la charge reste toujours égale à .
2) Champs rayonnés par une couche de courant oscillante :
Les symétries et invariances indiquent que
y
uxBB )(
et
z
uxEE )(
. On calcule
B
à l’aide
du théorème d’Ampère puis
à l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday.
3) Bilan d’énergie dans un solénoïde infini :
1) Calculer le champ électrique à partir de l’équation de Maxwell-Faraday ; 3) Comme il
s’agit d’un solénoïde, l’énergie électromagnétique est essentiellement de l’énergie
magnétique.
4) Bilan d’énergie dans un condensateur :
1) Ecrire les équations de Maxwell dans le vide et en déduire que
. Chercher une
relation de récurrence entre les en remarquant que les valeurs pour impair sont
différentes de celles pour pair. Exprimer alors en fonction de et de
. Pour
trouver il faut exprimer la charge portée par l’électrode positive en fonction de ,
et de , puis écrire que
; on relie alors au champ sous forme
d’une intégrale qu’on calcule grâce aux fonctions de Bessel ; pour le calcul de
on applique
la relation de Maxwell-Faraday. Avec les valeurs trouver, le bilan d’énergie sur le volume
délimité par le condensateur est exacte ; 2) Il faut remarquer que
; on retrouve les expressions alors vues en cours.
5) Moment cinétique du champ électromagnétique :
1) Il va y avoir passage d’un courant d’intensité entre le cylindre intérieur et le
cylindre extérieur ; appliquer la force de Laplace sur ce courant, puis calculer le moment de la
force par rapport à l’axe des ; il suffit alors d’intégrer le TMC ; 2) Le champ variant avec
va créer un champ électrique qu’il faut calculer à partir de l’équation de Maxwell-Faraday ; ce
champ électrique crée une force sur l’électrode intérieure et une autre sur l’électrode
extérieure ; calculer ces force et leurs moments par rapport à l’axe des z ; 3) le paradoxe vient
de la conservation du moment cinétique d’un système isolé ; pour , faire une étude
dimensionnelle.
Solutions
1) Sphère radioactive :
1)
;
; 2)
;
; 3)
2) Champs rayonnés par une couche de courant oscillante :
Pour le champ magnétique :
;
;
;
Pour le champ électrique :
;
;
3) Bilan d’énergie dans un solénoïde infini :
1)
; 2)
; 3)
4) Bilan d’énergie dans un condensateur :
1)
;
; 2)
;
.
5) Moment cinétique du champ électromagnétique :
1)
; 2)
; 3) Pour interpréter
ces résultats il faut supposer que le champ électromagnétique a un moment cinétique ;
représente la quantité de mouvement par unité de volume du champ électromagnétique.
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