Equations de Maxwell - MP*1

MP*1- 2015/2016
Equations de Maxwell
1) Sphère radioactive **:
Une petite sphère radioactive, de rayon 𝑅, émet des particules chargées de façon
isotrope dans tout l’espace. La charge initiale est 𝑄𝑜 O. On pose 𝐷 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡 le débit constant
de charges quittant la sphère, 𝑣⃗𝑜 = 𝑣𝑜 𝑒⃗𝑟 leur vitesse au niveau de la surface et T le temps
d’observation du phénomène.
1) Soit 𝑄(𝑟, 𝑡) la charge contenue à l’instant 𝑡 dans une sphère de rayon 𝑟 ( 𝑟 > 𝑅 ).
Ecrire deux relations liant 𝑄(𝑟, 𝑡), 𝑗⃗(𝑟, 𝑡) et 𝐸⃗⃗ (𝑟, 𝑡) entre eux.
⃗⃗ (𝑟, 𝑡) dans tout l’espace puis 𝑟𝑜𝑡
⃗⃗ de deux façons différentes.
⃗⃗⃗⃗𝐵
2) calculer 𝐵
3) Dans le cas où 𝑄𝑜 ≫ 𝐷𝑇, calculer 𝐸⃗⃗ dans tout l’espace.
2) Champs rayonnés par une couche de courant oscillante :
Le volume limité par les plans 𝑥 = −𝑎 et 𝑥 = +𝑎 est parcouru par un courant de
densité uniforme 𝑗⃗ = 𝑗𝑜 cos(𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗𝑧
⃗⃗ puis du champ 𝐸⃗⃗ en tout
Déterminer, dans le cadre de l’ARQS, l’expression du champ 𝐵
point de l’espace.
On admettra que 𝐸⃗⃗ (𝑧 = 0) = ⃗0⃗
3) Bilan d’énergie dans un solénoïde infini :
On considère un solénoïde infini parcouru par un courant 𝑖(𝑡). Le champ magnétique
⃗⃗𝑖𝑛𝑡 = 𝜇𝑜 𝑛𝑖(𝑡)𝑒⃗𝑧 et 𝐵
⃗⃗𝑒𝑥𝑡 = ⃗0⃗.
créé par le solénoïde est : 𝐵
1) Calculer le champ électrique créé par le champ magnétique du solénoïde en tout
point de l’espace.
2) Calculer le flux du vecteur de Poynting entrant dans le solénoïde.
3) Faire un bilan d’énergie. Commenter.
1 𝜕𝐴
𝜕𝐴
𝜕𝐴
𝜕𝐴
1 𝜕(𝑟𝐴 )
𝜕𝐴
On donne : 𝑟𝑜
⃗⃗⃗⃗⃗𝑡𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = (𝑟 𝜕𝜃𝑧 − 𝜕𝑧𝜃 ) 𝑢
⃗⃗𝑟 + ( 𝜕𝑧𝑟 − 𝜕𝑟𝑧 ) 𝑢
⃗⃗𝜃 + 𝑟 ( 𝜕𝑟 𝜃 − 𝜕𝜃𝑟 ) 𝑢
⃗⃗𝑧 et on
supposera que les variations du champ magnétique créent un champ électrique : 𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) =
𝐸(𝑟, 𝑡)𝑢
⃗⃗𝜃
4) Bilan d’énergie dans un condensateur ***:
On considère un condensateur formé de deux disques conducteurs parfaits de rayon 𝑅,
éloignés d’une distance 𝑑, avec 𝑑 << 𝑅. On connecte à ses bornes une fem alternative
𝑒 = 𝑒𝑜 cos(𝜔𝑡) qui fait circuler un courant d’intensité 𝐼 = 𝐼𝑜 cos(𝜔𝑡).
1) On donne la fonction de Bessel : 𝐽𝑜 (𝑥) = ∑∞
𝑛=0
−𝑥 ∑∞
𝑛=0
(−1)𝑛 1
(𝑛!)2
𝑥 2𝑛
( )
𝑛+1 2
(−1)𝑛 𝑥 2𝑛
(𝑛!)2
(2 )
et on suppose que l’expression 𝐸(𝑟, 𝑡) =
et sa dérivée : 𝐽𝑜′(𝑥) =
𝜎(𝑟,𝑡)
𝜀𝑜
est toujours vraie au
⃗⃗ dans le condensateur en fonction de
voisinage des électrodes. Déterminer 𝐸⃗⃗ et 𝐵
′
𝐼𝑜 , 𝑅, 𝜀𝑜 , 𝜇𝑜 , 𝐽𝑜 (𝑥) et 𝐽𝑜 (𝑥). On se placera en notation complexe, en posant 𝐼 = 𝐼𝑜 expj(𝜔𝑡),
⃗⃗ = 𝑅(𝐵
⃗⃗ ).
𝐸⃗⃗ = 𝑅(𝐸⃗⃗ ) et 𝐵
𝑛
On cherchera des solutions sous la forme 𝐸(𝑟, 𝑡) = ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑟 exp(𝑗𝜔𝑡).
On donne la relation: 𝑟𝑜
⃗⃗⃗⃗⃗𝑡(𝑟𝑜
⃗⃗⃗⃗⃗𝑡𝐸⃗⃗ ) = 𝑔𝑟𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗𝑑(𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗ ) − ∆𝐸⃗⃗ . Utiliser le formulaire d’analyse
1
vectorielle pour les différents opérateurs en coordonnées sphériques. On pose 𝜀𝑜 𝜇𝑜 = 𝑐 2
2) Que deviennent ces résultats dans le cadre de l’ARQS ?
5) Moment cinétique du champ électromagnétique **:
On considère un condensateur cylindrique de hauteur ℎ portant initialement, pour
𝑡 < 0, une charge 𝑄𝑜 . Il est plongé dans un champ magnétique uniforme et permanent
⃗⃗ = 𝐵𝑜 𝑢
𝐵
⃗⃗𝑧 .
1) L'isolant inter-armatures n'est pas parfait : le condensateur se décharge sur un
intervalle de temps [0 𝜏]. Montrer que le cylindre a acquis un moment cinétique 𝐿𝑂𝑧 .
⃗⃗
2) L'isolant est parfait, le condensateur ne se décharge pas, mais on supprime 𝐵
pendant 𝜏. Même question.
1 𝜕𝐴
𝜕𝐴
𝜕𝐴
𝜕𝐴
1 𝜕(𝑟𝐴 )
𝜕𝐴
On donne : 𝑟𝑜
⃗⃗⃗⃗⃗𝑡𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) = (𝑟 𝜕𝜃𝑧 − 𝜕𝑧𝜃 ) 𝑢
⃗⃗𝑟 + ( 𝜕𝑧𝑟 − 𝜕𝑟𝑧 ) 𝑢
⃗⃗𝜃 + 𝑟 ( 𝜕𝑟 𝜃 − 𝜕𝜃𝑟 ) 𝑢
⃗⃗𝑧 et on
supposera que les variations du champ magnétique créent un champ électrique : 𝐸⃗⃗ (𝑀, 𝑡) =
𝐸(𝑟, 𝑡)𝑢
⃗⃗𝜃
3) En quoi cela semble-t-il paradoxal ? Que représentent les grandeurs 𝑔⃗ = 𝜀𝑜 𝐸⃗⃗ (𝑃) ∧
⃗⃗ (𝑃) et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵
𝑂𝑃 ∧ 𝑔⃗ ?
Indications
1) Sphère radioactive :
1) Appliquer le théorème de Gauss et la conservation de la charge dans une boule de rayon 𝑟 ;
⃗⃗ en se
2) Faire une étude des symétries pour trouver le champ magnétique ; calculer 𝑟𝑜
⃗⃗⃗⃗⃗𝑡𝐵
⃗⃗ trouvée d’une part et en appliquant l’équation de Maxwell-Ampère
szervant de la valeur de 𝐵
d’autre part ; 3) On peut supposer que la charge reste toujours égale à 𝑄𝑜 .
2) Champs rayonnés par une couche de courant oscillante :
Les symétries et invariances indiquent que B  B( x)u y et E  E ( x)u z . On calcule B à l’aide
du théorème d’Ampère ( 𝐴𝑅𝑄𝑆) puis 𝐸⃗⃗ à l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday.
3) Bilan d’énergie dans un solénoïde infini :
1) Calculer le champ électrique à partir de l’équation de Maxwell-Faraday ; 3) Comme il
s’agit d’un solénoïde, l’énergie électromagnétique est essentiellement de l’énergie
magnétique.
4) Bilan d’énergie dans un condensateur :
𝜔2
1) Ecrire les équations de Maxwell dans le vide et en déduire que ∆𝐸⃗⃗ = − 2 𝐸⃗⃗ . Chercher une
𝑐
relation de récurrence entre les 𝑎𝑛 en remarquant que les valeurs pour 𝑛 impair sont
𝑟𝜔
différentes de celles pour 𝑛 pair. Exprimer alors 𝐸(𝑟, 𝑡) en fonction de 𝑎𝑜 et de 𝐽𝑜( 𝑐 ). Pour
trouver 𝑎𝑜 il faut exprimer la charge 𝑄(𝑟, 𝑡) portée par l’électrode positive en fonction de 𝐼𝑜 ,
𝜎(𝑟,𝑡)
et de 𝜔, puis écrire que 𝐸(𝑟, 𝑡) = 𝜀 ; on relie alors 𝑄(𝑟, 𝑡) au champ 𝐸(𝑟, 𝑡) sous forme
𝑜
⃗⃗ on applique
d’une intégrale qu’on calcule grâce aux fonctions de Bessel ; pour le calcul de 𝐵
la relation de Maxwell-Faraday. Avec les valeurs trouver, le bilan d’énergie sur le volume
𝜔𝑟
délimité par le condensateur est exacte ; 2) Il faut remarquer que 𝑙𝑖𝑚𝜔→0 𝐽𝑜 ( 𝑐 ) → 1
𝜔𝑟
𝜔𝑟
𝑙𝑖𝑚𝜔→0 𝐽𝑜′ ( 𝑐 ) → − 𝑐 ; on retrouve les expressions alors vues en cours.
5) Moment cinétique du champ électromagnétique :
1) Il va y avoir passage d’un courant d’intensité 𝐼 = 𝑑𝐷/𝑑𝑡 entre le cylindre intérieur et le
cylindre extérieur ; appliquer la force de Laplace sur ce courant, puis calculer le moment de la
force par rapport à l’axe des 𝑧 ; il suffit alors d’intégrer le TMC ; 2) Le champ variant avec 𝑡
va créer un champ électrique qu’il faut calculer à partir de l’équation de Maxwell-Faraday ; ce
champ électrique crée une force sur l’électrode intérieure et une autre sur l’électrode
extérieure ; calculer ces force et leurs moments par rapport à l’axe des z ; 3) le paradoxe vient
de la conservation du moment cinétique d’un système isolé ; pour 𝑔⃗, faire une étude
dimensionnelle.
Solutions
1) Sphère radioactive :
𝑄(𝑟,𝑡)
1) 𝐸(𝑟, 𝑡) = 4𝜋𝜀
𝑄𝑜
𝐸(𝑟, 𝑡) = 4𝜋𝜀
𝑜𝑟
𝑜
𝑟2
; 𝑗(𝑟, 𝑡) = −
𝑄̇ (𝑟,𝑡)
4𝜋𝑟 2
⃗⃗
𝜕𝐸
⃗⃗ (𝑟, 𝑡) = ⃗⃗
⃗⃗ = ⃗⃗
; 2) 𝐵
0 ; 𝑟𝑜
⃗⃗⃗⃗⃗𝑡𝐵
0 = 𝜇𝑜 (𝑗⃗ + 𝜀𝑜 𝜕𝑡 ) ; 3)
2
2) Champs rayonnés par une couche de courant oscillante :
⃗⃗ (𝑀) = 𝜇𝑜 𝑗𝑜 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗ (𝑀) =
Pour le champ magnétique : |𝑥| < 𝑎: 𝐵
⃗⃗𝑦 ; 𝑥 > 𝑎: 𝐵
⃗⃗ (𝑀) = +𝜇𝑜 𝑗𝑜 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑢
−𝜇𝑜 𝑗𝑜 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗𝑦 ; 𝑥 < −𝑎: 𝐵
⃗⃗𝑦 ;
𝑥2
Pour le champ électrique : |𝑥| < 𝑎: 𝐸⃗⃗ (𝑀) = −𝜇𝑜 𝑗𝑜 𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗𝑦 ; 𝑥 > 𝑎: 𝐸⃗⃗ (𝑀) =
2
𝑎
𝑎
+𝜇𝑜 𝑗𝑜 𝜔𝑎(𝑥 − 2)𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗𝑦 ; 𝑥 < −𝑎: 𝐸⃗⃗ (𝑀) = +𝜇𝑜 𝑗𝑜 𝜔𝑎(𝑥 + 2)𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗𝑦
3) Bilan d’énergie dans un solénoïde infini :
2
2
𝜇 𝑛𝑟 𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑊
⃗⃗⃗(𝑟 = 𝑅) = − 𝜇𝑜 𝑛 𝑅 𝑑𝑖 (𝑡) 𝑢
1) 𝐸⃗⃗ (𝑀) = − 𝑜
𝑢
⃗⃗𝜃 ; 2) Π
⃗⃗𝑟 ; 3) 𝑚 = −𝑃𝑟𝑎𝑦
2
𝑑𝑡
4) Bilan d’énergie dans un condensateur :
𝐼
1) 𝐸⃗⃗ (𝑟, 𝑡) = 𝑗𝜋𝜀𝑜 𝑅𝑐
𝑜
𝐼
𝜔𝑟
)
𝑐
𝜔𝑅
′
𝐽𝑜 ( )
𝑐
𝐽𝑜 (
𝑑𝑡
⃗⃗ (𝑟, 𝑡) = −𝐼𝑜 2
exp(𝑗𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗𝑧 ; 𝐵
𝑗𝜋𝜀 𝑅𝑐
𝑜
−𝐼𝑜 𝑟
⃗⃗ (𝑟, 𝑡) =
− 𝑗𝜋𝜀 𝑜𝑅2 𝜔 exp(𝑗𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗𝑧 ; 𝐵
𝑗𝜋𝜀
𝑜
4
𝑜𝑅
2𝑐 2
𝑑𝑡
𝜔𝑟
)
𝑐
𝜔𝑅
′
𝐽𝑜 ( )
𝑐
𝐽𝑜′ (
exp(𝑗𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗𝜃 ; 2) 𝐸⃗⃗ (𝑟, 𝑡) =
exp(𝑗𝜔𝑡)𝑢
⃗⃗𝜃 .
5) Moment cinétique du champ électromagnétique :
𝑟 𝑑𝐵
⃗⃗𝑜𝑓 = 𝑄𝐵𝑜 (𝑏 2 − 𝑎2 )𝑢
⃗⃗𝑜𝑓 = − 𝑄𝐵𝑜 (𝑏 2 − 𝑎2 )𝑢
1) 𝐿
⃗⃗𝑧 ; 2) 𝐸⃗⃗ = − 2 𝑑𝑡 𝑢
⃗⃗𝜃 ; 𝐿
⃗⃗𝑧 ; 3) Pour interpréter
2
2
ces résultats il faut supposer que le champ électromagnétique a un moment cinétique ; 𝑔⃗
représente la quantité de mouvement par unité de volume du champ électromagnétique.