Physique TD no9 - Énergie électromagnétique
3 Étude énergétique d’une bobine
Un solénoïde "très long" comporte une densité linéïque de spires n, bobinées sur un cylindre de rayon a
et d’axe (O, −→
ez). Il est parcouru par un courant ivariable au cours du temps. On rappelle ici qu’on peut
alors l’assimiler à un solénoïde infini, créant un champ magnétique :
−→
B(M, t) = µ0ni(t)−→
ezà l’intérieur du solénoïde
−→
0à l’extérieur
1. On s’intéresse au champ −→
Eengendré.
a) Sachant que la source de champ électrique est la variation du champ magnétique, en déduire par
des considérations d’invariance et de symétrie que −→
E=E(r, t)−→
eθ.
b) En utilisant l’expression intégrale de l’équation de Maxwell-Faraday, déterminer l’expression de
−→
E. Commentaires ?
2. Déterminer le vecteur de Poynting ainsi que la puissance rayonnée à travers une longueur ℓdu solénoïde.
3. Déterminer l’énergie magnétique Umstockée dans une longueur ℓde solénoïde. En déduire l’expression
de l’inductance de la bobine.
4. a) Rappeler la définition de l’ARQS.
b) Montrer que dans ce cadre, Um≫Ue, et en déduire la puissance fournie par le champ aux porteur
de charges.
Réponses : 1. −→
E(M, t) = −r
2µ0ndi
dt−→
eθsi r < a
−a2
2rµ0ndi
dt−→
eθsi r > a , 2. Pray =−πa2ℓµ0n2idi
dt, 3. Um=1
2µ0n2i2πa2ℓ
4 Décharge d’un conducteur dans l’air
On constate expérimentalement qu’une boule conductrice de rayon R, uniformément chargée en surface et
abandonnée dans l’air avec une charge q0se décharge. Pour interpréter ce phénomène, on suppose que l’air
est un milieu faiblement conducteur de conductivité γ, où la loi d’Ohm locale est vérifiée et où la densité de
charge ρest nulle. On considère que la décharge s’effectue via un déplacement ordonné de charges quittant
radialement la boule : le vecteur densité de courant −→
jest suivant −→
er. L’origine de l’espace étant prise au
centre la boule, on adopte des coordonnées sphériques de centre O. On cherche le champ −→
E , −→
Brésultant
dans l’air entourant la sphère.
1. Quelles sont les sources de −→
B? A partir de considérations de symétrie, montrer que −→
B=−→
0.
2. Quelles sont les sources de −→
E? Montrer que −→
E=Er(r, t)−→
er.
3. Déterminer Er(r, t)en fonction de q(t),ε0et r.
4. Vérifier que les hypothèses sont compatibles avec les équations de Maxwell-Flux, Maxwell-Gauss et
Maxwell-Faraday.
5. En utilisant l’équation de Maxwell-Ampère, déterminer q(t).
6. Comment interpréter le fait que ρ= 0 mais −→
j̸=−→
0? Est-ce en accord avec l’équation locale de
conservation de la charge ?
7. Déterminer la puissance volumique dissipée dans l’air par effet Joule. En déduire la puissance dissipée
à l’instant t, puis l’énergie dissipée au cours de l’ensemble de la décharge.
8. Quelle est l’énergie rayonnée ? Est-ce en accord avec l’équation locale de conservation de l’énergie ?
MP2- Année 2016/2017 2 Lycée Janson de Sailly