Exercices de colle - MPSI/PCSI

Exercices de colle - MPSI/PCSI
Tristan Tourniaire
23 février 2016
Table des matières
I Exercices 4
1 Logique et applications 4
2 Fonctions usuelles 6
3 Nombres complexes 6
4 Équations différentielles 8
5 Arithmétique des entiers 9
6 Dénombrement 10
7 Nombres réels 11
8 Suites 12
9 Continuité 14
10 Structures algébriques 15
11 Matrices 16
12 Déterminants 18
13 Développements limités 19
14 Dérivation 20
15 Polynômes 22
16 Espaces vectoriels 23
17 Espaces euclidiens 25
18 Intégration 25
1

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
19 Convexité 27
20 Séries 28
21 Probabilités 28
22 Variables aléatoires 29
II Solutions 31
1 Logique et applications 31
2 Fonctions usuelles 40
3 Nombres complexes 47
4 Équations différentielles 56
5 Arithmétique des entiers 66
6 Dénombrement 71
7 Nombres réels 78
8 Suites 81
9 Continuité 93
10 Structures algébriques 100
11 Matrices 101
12 Déterminants 113
13 Développements limités 123
14 Dérivation 133
15 Polynômes 139
16 Espaces vectoriels 145
17 Espaces euclidiens 155
18 Intégration 159
19 Convexité 167
20 Séries 170
21 Probabilités 175
2

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
22 Variables aléatoires 177
3

1 LOGIQUE ET APPLICATIONS
Introduction
Pour me signaler toute erreur dans ce qui suit : tristan.tourniaire[at]ens.fr.
Première partie
Exercices
1 Logique et applications
log15 Exercice 1.1 (solution).1. Soit n∈Nun entier divisible par 2et 3. Montrer que nest
divisible par 6.
2. La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ?
∀(a, b, n)∈N3,(nest divisible par aet b=⇒nest divisible par ab).
3. Soit p>5un nombre premier. Montrer que p2−1est divisible par 6.
4. Montrer en fait que p2−1est divisible par 24.
log16 Exercice 1.2 (solution).Résoudre dans Cl’équation z3=z.
log17 Exercice 1.3 (solution).Soit n>1. Calculer
n
X
k=1
kk!.
log01 Exercice 1.4 (solution).Soit f:X→Yune application.
1. Soient Aet Bdes parties de X. Que dire de f(A∩B)et f(A)∩f(B)?
2. Montrer que fest injective si et seulement si ∀A, B ⊂X,f(A∩B) = f(A)∩f(B).
log02 Exercice 1.5 (solution).Soit f:X→Yune application.
1. Montrer que fest surjective ⇐⇒ ∀A⊂X,f(A)⊂f(A).
2. Montrer que fest injective ⇐⇒ ∀A⊂X,f(A)⊂f(A).
log03 Exercice 1.6 (solution).Soit f:X→Yune application. Montrer que fest injective si et
seulement si ∀A⊂X,f−1(f(A)) = A.
log14 Exercice 1.7 (solution).On définit la suite ude terme général un=
n
X
k=1
1
k+n. Montrer que
(un)est croissante.
log10 Exercice 1.8 (solution).Montrer que √2est irrationnel.
log11 Exercice 1.9 (solution).Montrer que √2 + √3est irrationnel.
log04 Exercice 1.10 (solution).1. Déterminer une bijection de Ndans N∗.
4

1 LOGIQUE ET APPLICATIONS
2. On définit la fonction f:N→Zpar
f(n) = 
n/2si nest pair
−(n+ 1)/2sinon.
Montrer que fest bijective.
3. On définit la fonction f:N×N→N∗par f(p, q) = 2p(2q+ 1). Montrer que fest
bijective.
log06 Exercice 1.11 (solution).Soit f:Z×Z→R,(a, b)7→ a+√2b. Montrer que fest injective.
log12 Exercice 1.12 (solution).1. Soit n∈N∗et f:R→R,x7→ (x+ 1)n. Calculer la dérivée
de fde deux manières différentes.
2. Calculer S=Pn
k=0 kn
k.
3. On suppose que n>2. Calculer T=Pn
k=0 k2n
k.
log13 Exercice 1.13 (solution).On définit la fonction f:Z×N∗→Qpar f(p, q) = p+1
q.fest-elle
injective ? Surjective ?
log05 Exercice 1.14 (solution).Soit x∈Rtel que x+1
x∈Z. Montrer que ∀n∈N, xn+1 xn∈Z.
log07 Exercice 1.15 (solution).1. Montrer qu’il existe une bijection entre Net Z.
2. Montrer qu’il existe une bijection entre Zet Z2.
3. Montrer qu’il existe une injection de Qdans Z2.
On admet le résultat suivant (théorème de Cantor-Bernstein) : si Eet Fsont des ensembles
et si il existe f:E→Fet g:F→Edes injections, alors il existe une bijection entre Eet F.
4. En utilisant le théorème de Cantor-Bernstein, montrer qu’il existe une bijection entre N
et Q.
5. Montrer qu’il existe une bijection entre P(N)et F(N,{0,1}).
log08 Exercice 1.16 (solution).Soit Eun ensemble. Montrer que Eest infini si et seulement si
∀f:E→E, ∃A⊂Etel que A6=∅,A6=Eet f(A)⊂A.
log09 Exercice 1.17 (solution).On appelle Q+l’ensemble des nombres rationnels positifs ou nuls.
Soit f:N→Q+définie par :
•f(0) = 0,
• ∀n∈N, f(2n) = 1
f(n)+1,
• ∀n∈N, f(2n+ 1) = f(n)+1.
1. Expliquer pourquoi fest bien définie.
2. Calculer f(n)pour nallant de 0à8.
3. Montrer que fest injective.
4. Calculer un antécédent de 14
5par f. On pensera à l’algorithme d’Euclide.
5. Montrer que fest surjective. On pensera à l’algorithme d’Euclide.
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