Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Algèbre Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Pr. Driss El Moutawakil Université Hassan 1er, Faculté polydisciplinaire de Khouribga, BP. 145, Khouribga, Maroc. Année Universitaire: 2016 - 2017 Plan du Cours Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation 1 2 3 4 5 Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Chapitre 1 Matrices 1. Dénitions Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénitions Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, appelées coecients de la matrice, qui sont arrangés dans une grille de lignes horizontales et de colonnes. Chaque coecient est l'intersection d'une ligne et d'une colonne. Une matrice à m lignes et n colonnes est dite de taille (m, n). Pour parler d'une matrice en général, on utilise les deux notations : a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= . .. .. . am1 am2 · · · a1n a2n .. ou A = (aij )1≤i≤m . 1≤j≤n amn Algèbre aij s'appelle coecient d'indice (i, j) Pr. Driss El Moutawakil La matrice de taille (m, 1) s'appelle matrice uni-colonne La matrice de taille (1, n) s'appelle matrice uni-lignei Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Exemples 1 Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation 1 3 0 −4 A = 5 11 −2 6 est une matrice de type (3, 4) 7 2 0 10 1 A = 2 est une matrice uni-colonne 3 A = 7 2 0 10 est une matrice uni-ligne 2 3 2. Algèbre des matrices Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Pour les matrices, on peut eectuer les opérations d'addition, soustraction, multiplication par un réel, produit, transposition et les opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes. 2-1. Addition Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soient A = (aij )1≤i≤m et B = (bij )1≤i≤m deux matrices ≤j≤n ≤j≤n 1 même type telle que : 1 de . Alors, A + B est aussi une matrice de type (m, n) A + B = (aij + bij )1≤i≤m 1 ≤j≤n Exemple 1 3 0 5 11 −2 2 5 7 6 3 2 + = 2-2. Multiplication par un réel Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Dénition Soit A = (aij )1≤i≤m et λ ∈ R. Alors, λA est une matrice de ≤j≤n 1 type (m, n) telle que : Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels λA = (λaij )1≤i≤m ≤j≤n 1 Exemple 1 3 0 2 5 11 −2 Chapitre 5 : Diagonalisation Remarque On a : −A = (−1)A = 2-3. Soustraction Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Dénition Soient A = (aij )1≤i≤m et B = (bij )1≤i≤m deux matrices ≤j≤n même type Chapitre 5 : Diagonalisation 1 . Alors, on a : A − B = A + (−1)B = (aij − bij )1≤i≤m Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels ≤j≤n 1 ≤j≤n 1 Exemple 1 3 0 5 11 −2 2 5 7 6 3 2 − = de 2-4. Produit Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Dénition Soient A = (aij )1≤i≤m et B = (bij )1≤i≤p deux matrices ≤j≤p 1 A égale au nombre de lignes B . Alors, AB est une matrice C de type (m, n) telle que : que le nombre de colonnes de de Chapitre 3 : Systèmes linéaires cij = Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation telles ≤j≤n 1 p X aik bkj k=1 Remarque Pour calculer cij , on multiplie la ième ligne de A par la jème colonne de B . Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Exemples 1 3 5 2 5 = 5 −2 0 6 3 1 3 2 5 = 5 −2 6 3 −1 0 3 2 1 −3 2 5 0 −1 5 0 = 1 0 5 0 2 1 1 2 3 2-5. Matrice nulle Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition La matrice nulle de type (m, n), notée O(m,n) , est la matrice dont tous les coecients sont nuls. Elle peut être citée avec n'importe quelle type. Exemples 1 3 5 1 3 5 − = O( , ) 5 −2 0 5 −2 0 1 3 1 3 − = O( , ) 5 −2 5 −2 −1 0 3 −1 0 3 2 5 0 − 2 5 0 = O( , ) 1 0 5 1 0 5 1 2 3 2 3 2 2 3 3 2-6. Propriétés Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Propriétés A+O =O+A=A AO = OA = O A0 = 0A = O A+B =B +A (A + B) + C = A + (B + C ) (AB)C = A(BC ) λ(αA) = α(λA) = (λα)A Remarque On a pas toujours AB = BA. 2-7. Matrice transposée Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition La transposée d'une matrice A, notée AT , est obtenue en intervertissant les lignes et les colonnes de A. Exemples 1 3 A= 5 −2 −1 0 B= 2 5 1 0 1 2 5 0 3 0 5 3. Matrices carrées particulières Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soit A = (aij )1≤i≤m une matrice. ≤j≤n 1 Si m = n, alors A est dite matrice carrée de taille n. Dans ce cas, on écrit : A = (aij )1≤i,j≤n ou A = (aij )n 3-1. Matrice diagonale Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Dénition Une matrice carrée A = (aij )1≤i,j≤n est dite diagonale si : aij = 0, ∀i 6= j . Une matrice diagonale A s'écrit : Chapitre 2 : Déterminants A= Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation 0··· a11 0 .. . a22 · · · .. 0 . 0··· 0 0 .. . ann Exemple −5 A= 0 0 0 0 11 0 0 3 3-2. Matrice triangulaire supérieure Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Dénition Une matrice carrée A = (aij )1≤i,j≤n est dite triangulaire supérieure si : aij = 0, ∀i > j . Une matrice triangulaire supérieurement A s'écrit : Chapitre 2 : Déterminants a11 a12 · · · 0 a22 · · · A= . .. .. . 0 0··· Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation a1n a2n .. . ann Exemple 0 4 −3 A = 0 11 1 0 0 3 3-2. Matrice triangulaire inférieure Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Dénition Une matrice carrée A = (aij )1≤i,j≤n est dite triangulaire inférieure si : aij = 0, ∀i < j . Une matrice triangulaire inférieurement A s'écrit : Chapitre 2 : Déterminants a11 0 · · · a21 a22 · · · A= . .. .. . an1 an2 · · · Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation 0 0 .. . ann Exemple −5 A= 2 4 0 0 11 0 0 3 3-3. Matrice symétrique Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Une matrice carrée A = (aij )1≤i,j≤n est dite symétrique si A = AT , ce qui est équivalent à : aij = aji , ∀i, j Exemple 1 5 3 A = 5 2 1 3 1 −9 3-4. Matrice identité ou Matrice unité Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Dénition La matrice unité de taille n, notée In , est une matrice carrée diagonale de taille n dont tous les coecients diagonaus sont des 1. Plus précisément, ona : Chapitre 2 : Déterminants 1 0··· 0 0 1 · · · 0 Chapitre 3 : Systèmes linéaires In = . .. .. . .. . 0 0··· 1 Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Remarque Pour toute matrice carrée A de taille n, on a : AIn = In A = A. On utilise la matrice unité de taille correspondant au contexte. Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Exemples 1 0 I = 0 1 Chapitre 1 : Matrices 2 Chapitre 2 : Déterminants 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1 Chapitre 5 : Diagonalisation Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels 3 1 0 I = 0 0 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Chapitre 2 Déterminants 1. Dénitions Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénitions Le déterminant d'une matrice carrée A est nombre réel, noté det(A), qu'on associe à A et qui apparaît dans plusieurs formules. a11 a21 Pour une matrice A = .. . an 1 le déterminant de A s'écrit : a11 a21 det(A) = . .. an1 a12 · · · a22 · · · .. . an2 · · · a12 · · · a22 · · · .. . an 2 · · · a1n a2n .. , . ann a1n a2n .. . ann 2. Déterminants d'ordre 2 et 3 Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénitions Le déterminant d'une matrice carrée A = a c b d est : a c = ad − bc det(A) = b d Le déterminant d'une matrice carrée d'ordre 3 se caclcule en utilisant la règle de Sarrus. On a : a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a31 a32 a33 Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Exemples 1 2 1 4 7 −1 = 5 2 3 5 6 = 8 9 3. Déterminants d'une matrice triangulaire Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Le déterminant d'une matrice carrée triangulaire est le produit de ses coecients diagonaux. Exemples 1 3 4 0 −2 1 0 0 −4 0 0 0 5 1 = 1 5 2 0 0 0 2 5 0 0 3 4 −3 0 4 −2 1 −1 5 −5 2 7 0 0 0 = 0 3 Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Exemples 2 0 0 −2 0 0 1 0 det(In ) = . .. 0 0 0 = −4 0 · · · 0 1 · · · 0 .. . .. = . 0 · · · 1 4. Calcul d'un déterminant quelconque Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Les règles à suivre : Un déterminant change de signe si on permute deux lignes ou deux colonnes c a c b d = − d a d = b c b a Multiplier un déterminant par un réel λ équivaut à multiplier λ par une ligne ou une colonne a c λa λc λa c λ = = b d b d λb d Un déterminant ne change pas si on ajoute à une ligne (resp. une colonne) une autre ligne multipliée par un réel (resp. une autre colonne multipliée par un réel) a c a + λc b d = b + λd c a c = d b + λa d + λc Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Calcul pratique Calculons les suivants : déterminants 1 2 Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation 3 1 D1 = 2 3 3 D2 = 2 3 1 2 D3 = 2 3 2 3 2 1 −1 2 5 2 1 5 −2 2 0 −1 3 2 4 2 1 5 2 −2 1 −3 5. Matrice inversible Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Dénition Soit A une matrice carrée d'ordre n. On dit que A est inversible s'il existe une matrice B d'ordre n telle que : AB = BA = In . La matrice B s'appelle la matrice inverse de la matrice A et on la note par : A−1 . Exemple 2 7 A= 1 4 Chapitre 5 : Diagonalisation Résultat 4 −7 et B = −1 2 A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0. 6. La comatrice d'une matrice Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Dénition Soit A = (aij )n une matrice carrée d'ordre n. On note par Aij la matrice déduite de A en éliminant la ième ligne et la jème colonne de A. La comatrice de A, notée Com(A), est la matrice dénie par : Com(A) = ((−1)i+j det(Aij ))1≤i,j≤n Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Exemple 2 1 1 B= 1 2 1 2 A= 7 4 1 1 2 3 4 5 Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Résultat Soit A une matrice carré d'ordre n.Si A est inversible, alors ona : Chapitre 1 : Matrices A−1 = Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels 1 det(A) (Com(A))T Exemple Calculons les matrices inverses des matrices suivantes : 1 1 1 1 Chapitre 5 : Diagonalisation A = 1 2 3 2 1 B= 2 3 2 4 2 3 1 5 3 1 2 Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Chapitre 3 Systèmes linéaires 1. Equation linéaire Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Une équation linéaire à n inconuues x1 , x2 , . . . , xn à coecients dans R est une égalité de type : a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b1 où a1 , a2 , . . . , an et b1 sont des constantes données dans R. Exemples Chercher x, y , z ∈ R tel que : 2x + y − z = 0 √ L'équation 2x12 + x2 + 3x3 + 5x4 = 0 n'est pas linéaire. 2. Système linéaire Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Un système linéaire de m équations linéaires à n inconuues x1 , x2 , . . . , xn à coecients dans R est de la forme suivante : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1 (E1 ) a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2 (E2 ) .. . .. . .. . am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = bm (Em ) où les inconnues sont x1 , x2 , . . . , xn et les nombres b1 , b2 , . . . , bm et les aij sont des constantes données dans R. Algèbre Exemple x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4 −2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 5x1 + 2x2 + x3 + x4 2x1 + x2 − 3x3 Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation = = = = 3 0 −2 4 Remarque Une solution d'un système linéaire est tout élément (x1 , x2 , . . . , xn ) de Rn vériant toutes les équations du système. L'ensemble des solutions S d'un système linéaire est l'un des cas suivants : L'ensemble vide Une solution unique Une innité de solutions. 3. Résolution d'un système linéaire par la méthode de Gauss Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Calcul pratique 1 Chapitre 2 : Déterminants x − x + 3x 2x + 3x + 2x x + 4x − x 2x + x − 2x 3x + 2x + 2x 5x + 4x + 3x x + 2x − 3x 2x + 4x − 6x x + 2x − 3x 2x − x + 4x 4x + 3x − 2x 1 1 2 1 1 Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels 2 2 3 Chapitre 5 : Diagonalisation 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 4 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 = −2 =1 =2 = 10 =1 =4 =6 = 12 =6 =2 = 14 4. Ecriture matricielle d'un système linéaire Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation On considère le système linéaire (S) : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = bm .. . .. . .. . On pose : a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= . ... .. am1 am2 · · · a1n x1 b1 x2 b2 a2n X = . et B = . .. . .. . . amn xn bm Alors l'écriture matricielle du système (S) est AX = B . Cas particulier Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation On considère le système linéaire (S) : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2 .. . .. . .. . an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . . . + ann xn = bn et son écriture matricielle AX = B avec : a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= . ... .. an1 an2 · · · a1n x1 b1 x2 b2 a2n X = . et B = . .. . .. . . ann xn bn Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Résultat Si la matrice A est inversible, alors le système (S) possède une solution unique X telle que X = A−1 B Exemple x +x +x = 2 2x − x − 3x = −3 3x + x − x = 0 1 1 2 2 1 3 3 2 3 Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Chapitre 4 Espaces vectoriels 1. Loi de composition interne Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soit E un ensemble. On dit que (∗) est une loi de composition interne sur E si pour tous x, y ∈ E , on a : x ∗ y ∈ E . Exemple 1 2 E = R et ∗ = +. L'addition usuelle est une loi de composition interne sur R. E = N et ∗ = −. La soustraction usuelle n'est pas une loi de composition interne sur N. Dénition La loi ∗ est dite commutative sur E si pour tous x, y ∈ E , on a : x ∗ y = y ∗ x. 2. Groupe Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne (∗). On dit que (E , ∗) est un groupe si les trois propriétés suivantes sont vériées : g1 ) ∀x, y , z ∈ E , on a (x ∗ y ) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (Associativité) g2 ) ∃e ∈ E , ∀x ∈ E , on a x ∗ e = e ∗ x = x (Existence d'un élément neutre ) g3 ) ∀x ∈ E , ∃x 0 ∈ E tel que x ∗ x 0 = x 0 ∗ x = e (Tout élément est symétrisable) Si de plus la loi (∗) est commutative sur E, alors (E , ∗) est appelé groupe commutatif ou abélien. Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Exemple 1 (R, +) est un groupe commutatif. 2 (R, ×) n'est pas un groupe. 3 (R∗ , ×) est un groupe commutatif. 3. Loi de composition externe Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soit E un ensemble. On dit que (.) est une loi de composition externe sur E si pour tout x ∈ E et tout α ∈ R, on a : α.x ∈ E . Exemple 1 2 E = R et ∗ = ×. La multiplication usuelle est une loi de composition externe sur R. E = N et ∗ = ×. La multiplication usuelle n'est pas une loi de composition externe sur N. 4. Espace vectoriel Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Un espace vectoriel E sur R est ensemble muni d'une loi de composition interne (∗) et d'une loi de composition externe (.) tel que : ev1 ) (E , ∗) est un groupe commutatif ev2 ) ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R, on a : α.(x ∗ y ) = α.x ∗ α.y ev3 ) ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ E , on a : (α + β).x = α.x ∗ β.x ev4 ) ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ E , on a : (α × β).x = α.(β.x) ev5 ) ∀x ∈ E , on a : 1.x = x Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Exemple 1 Chapitre 1 : Matrices 2 Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 5 : Diagonalisation (R2 , +, .) est un espace vectoriel sur R pour les lois (+) et (.) dénies par : (x1 , x2 )+(y1 , y2 ) = (x1 +y1 , x2 +y2 ) et α.(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 ) Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels (R, +, ×) est un espace vectoriel sur R. 3 En général, pour tout n ≥ 2, (Rn , +, .) est un espace vectoriel sur R pour les lois (+) et (.) dénies par : (x1 , x2 , . . . , xn )+(y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 +y1 , x2 +y2 , . . . , xn +yn ) et α.(x1 , x2 , . . . , xn ) = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ) Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Remarques 1 0Rn = (0, 0, . . . , 0) 2 Un élément x ∈ Rn s'écrit sous la forme x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 3 Pour tout α ∈ R et tout x ∈ Rn , on a : 0.x = 0Rn et α.0Rn = 0Rn Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation L'élément neutre du groupe commutatif (Rn , +) est 4 Pour tout α ∈ R et tout x ∈ Rn , on a : αx = 0Rn ⇐⇒ α = 0 ou x = 0Rn 5. Sous-espace vectoriel Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soient (E , ∗, .) un espace vectoriel et F une partie de E . On dit que F est sous-espace vectoriel de E si les deux propriétés suivantes sont vériées : sev1 ) F est non vide sev2 ) ∀x, y ∈ F , on a x ∗ y ∈ F sev3 ) ∀α ∈ R, ∀x ∈ F , on a : α.x ∈ F 6. Sous-espace vectoriel de Rn Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Proposition Une partie F de Rn est un sous-espace vectoriel de (Rn , +, .) si les deux propriétés suivantes sont vériées : sev1 ) 0Rn ∈ F sev2 ) ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ F , on a : x + α.y ∈ F Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Exemple 1 L'ensemble U = {(x, y , z) ∈ R3 /x + y = 0} est un sev de R3 2 3 L'ensemble V = {(x, y , z) ∈ R3 /x + y + z = 0} est un sev de R3 L'ensemble U ∩ V est un sev de R3 Proposition Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriel de E . Alors F1 ∩ F2 est un sous-espace vectoriel de E . 7. Combinaison linéaire Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soient A = {x1 , x2 , . . . , xn } une famille d'un espace vectoriel (E , +, .) et α1 , α2 , . . . , αn des éléments de R. 1 L'élément n X i=1 2 αi xi = α1 x1 + α2 x2 , . . . , αn xn s'appelle une combinaison linéaire des vecteurs xi . L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de A s'appelle le sous-espace vectoriel engendré par A ou par la famille {x1 , x2 , . . . , xn }. Ce sous-espace vectoriel est noté par Vect(A). Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Exemple Soient u = (1, 2, 3) et v = (0, 1, −1) deux vecteurs de l'espace vectoriel R3 . 1 2u + 3v = (2, 7, 3) est une combinaison linéaire de u et v . 2 5u − 2v = (5, 8, 17) et 0u + 0v = (0, 0, 0) sont des combinaisons linéaires de u et v . 3 Vect({u, v }) = {(α1 , 2α1 + α2 , 3α1 − α2 )/α1 , α2 ∈ R}. 8. Famille génératrice Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soient S = {x1 , x2 , . . . , xn } une famille d'un espace vectoriel (E , +, .). 1 2 3 On dit que S engendre E si Vect(S) = E . Si S engendre E alors pour tout x ∈ E , il existe α1 , α2 , . . . , αn ∈ R tels que x = α1 x1 + α2 x2 , . . . , αn xn . On dit S engendre E ou S est une partie génératrice de E . Exemple 1 2 La famille {(1, 0), (0, 1)} est une partie génératrice de R. La famille {(1, 1), (1, −1)} est une partie génératrice de R. 9. Famille libre Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Dénition Soient L = {x1 , x2 , . . . , xn } une famille d'un espace vectoriel (E , +, .) et α1 , α2 , . . . , αn des éléments de R. On dit que L est libre ou que les vecteurs x1 , x2 , . . . , xn sont linéairement indépendants si : Pour tous ∀α1 , α2 , . . . , αn ∈ R, on a : n X Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation αi xi = 0E =⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0 i=1 Remarque Une famille qui n'est pas libre est dite famille liée. Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Exemple 1 2 3 4 La La La La famille famille famille famille {(1, 0), (0, 1)} est libre. {(1, 1), (1, −1)} est libre. {(1, 1), (−1, −1)} est liée. {0E } est liée. Remarques 1 2 3 Si B ⊂ A et A est libre, alors B est libre. Si B ⊂ A et B est liée, alors A est liée. Par conséquent, toute famille qui contient {0E } est liée. Si {x1 , x2 , . . . , xn } est liée, alors l'un au moins des vecteurs de cette famille s'écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs. 10. Base d'un espace vectoriel Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soit B une partie d'un espace vectoriel (E , +, .). On dit que B est une base de E si B est libre et génératrice. Exemple 1 2 3 La famille {(1, 0), (0, 1)} est une base de R2 . La famille {(1, 1), (1, −1)} est une base de R2 . La famille {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} est une base de R3 . Remarque En général, la famille {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1)} est une base de l'espace vectoriel Rn , appel`'ee base canonique de Rn . 11. Dimension d'un espace vectoriel Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Le cardinal d'une base B d'un espace vectoriel E , càd le nombre des éléments de B , s'appelle la dimension de E et on la note dim(E ). Exemple 1 2 La famille {(1, 0), (0, 1)} est une base de R2 donc dim(R2 ) = 2. La famille {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} est une base de R3 donc dim(R3 ) = 2. En g«éral, on a dim(Rn ) = n pour tout n ≥ 1. Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Remarque En général, la famille {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1)} est une base de l'espace vectoriel Rn . Donc dim(Rn ) = n. Théorème Soit B une partie de cardinal n d'un espace vectoriel E de dimension n. Alors B est une base de E si et seulement si B est libre ou génératrice. Exemple {(1, 3), (1, 4)} est une famille libre de R . Donc c'est une base 2 de R . 2 Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Chapitre 5 Diagonalisation 1. Valeur propre - Vecteur propre Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénitions Soient A une matrice carrée de taille n et λ un réel On considère l'équation : Chercher X ∈ Rn tel que : AX = λX Le vecteur nul (0, 0, ...., 0) est une solution triviale de cette équation Cette équation possède une innité de solutions dans Rn λ est appelé valeur propre de A X est appelé vecteur propre de A associé à λ La matrice A − λIn s'appelle matrice caractéristique de A 2. Polynôme caractéristique Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénitions Soient A une matrice carrée de taille n et λ un réel Le polynôme caractéristique pA de la matrice A est dénie par : pA (λ) = det(A − λIn ) Les racines de pA sont les valeurs propres de A Exemple Déterminons les valeurs propres ainsi que les vecteurs propres associés de la matrice A dénie par : 0 2 −1 A = 2 0 1 1 1 0 3. Matrice diagonalisable Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Une matrice carrée A de taille n est dite diagonalisable si il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que : A = PDP −1 Remarque On a : A = PDP −1 ⇐⇒ P −1 AP = D Toute matrice symétrique est diagonalisable 4. Sous-espace propre associé à une valeur propre Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Dénition Soit λ une valeur propre d'une matrice carrée A. Le sous-espace propre associé à λ, noté Eλ , est formé de tous les vecteurs propres associés à λ. Remarques Pour tout λ ∈ sp(A), Eλ est un sous-espace vectoriel. Si PA (x) = (x − λ)α Q(x) tel que Q(λ) 6= 0. Alors λ est dite valeur propre de A d'ordre de multiplicité α et on note o(λ) = α. Pour tout λ ∈ sp(A), on a : dim(Eλ ) ≤ o(λ). 5. Diagonalisation d'une matrice Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Proposition Chapitre 2 : Déterminants Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si pour toute valeur propre λ de A,on a dim(Eλ ) = o(λ). Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Remarque Toute matrice carrée A d'ordre n ayant n valeurs propres 2 à 2 distinctes λ1 , λ2 , . . . , λn , est diagonalisable Algèbre Pr. Driss El Moutawakil Chapitre 1 : Matrices Chapitre 2 : Déterminants Chapitre 3 : Systèmes linéaires Chapitre 4 : Espaces vectoriels Chapitre 5 : Diagonalisation Exemples 0 2 −1 A = 2 0 1 1 1 0 1 0 0 B = 2 4 −3 7 0 1