algorithmes de calcul ecrit

ALG.
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ALGORITHMES DE CALCUL ECRIT
I. Introduction et définition
Notre système de numération est un système de numération de position avec base
(10). Dans un système de numération de position, un même symbole (chiffre) a une
valeur différente selon la place (rang) qu’il occupe :
Exemple :
Dans un système en base n, n unités d=un rang équivalent à une unité du rang
immédiatement supérieur (dans notre système celui situé immédiatement à gauche
du rang considéré). Un des avantages essentiels des systèmes de numération de
position avec base est de faciliter les calculs en permettant l=introduction
d=algorithmes.
On appelle algorithme une succession de manœuvres à accomplir toujours dans le
même ordre et de la même façon, manœuvres qui sont en nombre fini et s'appliquent
à un nombre fini de données.
Par sa définition même un algorithme peut être confié à un ordinateur ou à un robot.
Le mot "algorithme" vient de AL. KHWARIZMI
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, nom du mathématicien arabe du
IX
e
S., auteur d'un traité d'arithmétique présentant "le calcul des Indiens", c'est-à-dire
le système décimal et les opérations effectuées dans ce système : addition,
soustraction, multiplication, division, règle de trois, extraction de racines carrées.
Divers abaques
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permettent de faire découvrir ou d=illustrer à la fois les systèmes de
numération de position, et les algorithmes de calcul écrit, en permettant le passage
par les trois niveaux de représentation brunériens (représentation par l=action,
l=image, et le symbole). On remarquera néanmoins que dessiner le déroulement d=un
calcul sur un abaque nécessite souvent un effort d’abstraction que l=on ne
demandera pas aux enfants. On pourra passer directement de la manipulation des
pions (sur l=abaque de la classe et sur un abaque individuel) à la symbolisation du
calcul écrit.
Remarque importante :
Les exemples proposés dans ce chapitre ne suivent pas une progression
méthodologique. Une telle progression est présentée en ALG. 7 pour l’addition et la
soustraction, en ALG.15 pour la multiplication et en ALG. 24 pour la division.
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Nous lui devons aussi le mot "algèbre", ainsi qu’un traité présentant cette science, et probablement
les premières tables de sinus du monde arabe.
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Nous en présentons trois dans le chapitre consacré à l’addition écrite. Pour la soustraction écrite,
nous nous limiterons à un abaque décimal classique.

ALG.
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II. Algorithmes de l'addition et de la soustraction écrite
La familiarité avec l’écriture des nombres dans un abaque permet de comprendre la
disposition des nombres dans le calcul écrit.
L’utilisation de l’abaque permet de voir concrètement les reports et les emprunts.
A. Algorithme de l’addition écrite
Exercice : 1723 + 508 =
a. Abaque décimal classique
1 7 2 3
+ 5 0 8
Changeons les couleurs des pions de manière à avoir une couleur par plaque :
Dix pions sur une case équivalent à un pion, sur la case immédiatement à gauche :
Remarques :
Ces jeux sur la couleur des pions servent uniquement à introduire le procédé. On les
abandonnera après quelques exemples.
Si vous comptez enseigner l’algorithme de la soustraction écrite à l’aide des nombres
négatifs, n’utilisez pas de pions rouges pour l’addition écrite.

ALG.
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b. Abaque decimal "amélioré"
Après avoir placé chacun des nombres à additionner, changeons les couleurs des
pions de manière à avoir une couleur par plaque.

ALG.
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Dix pions sur une case équivalent à un pion, sur la case immédiatement à gauche :

ALG.
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Descendons tous les pions dans la dernière rangée, de manière à lire plus facilement
le résultat.
Remarque :
Sur cet abaque-ci, la plupart des enfants parviennent à représenter le calcul à l’aide
de points.