TS4 Devoir Surveillé no8le 23 mai 2014
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Le soin et la rédaction prendront une part importante dans la notation des copies. On pensera
notamment à définir des variables aléatoires en expliquant la loi qu’elles suivent lorsque cela
est nécessaire. Le sujet est à rendre obligatoirement avec la copie. Le barème est donné à titre
indicatif.
Exercice 2 (2 points).
Dans chaque cas, indiquer si la fonction est une densité de probabilité sur l’intervalle donné.
Justifier.
(a) f(x) = cos(x)sur I=h0; π
2i.
(b) f(x) = sin(x)sur I=h−π
2;πi.
Exercice 3 (2 points).
On arrive à un arrêt de bus à 10 h sachant que le bus arrivera à un certain instant qui suit la
loi uniformément distribuée entre 10 h et 10 h 30.
1. Quelle est la probabilité que l’attente dure 10 min. ou plus ?
2. Si à 10 h 15, le bus n’est pas encore arrivé, quelle est la probabilité que l’attente dure au
moins dix minutes supplémentaires ?
Exercice 4 (2 points).
Une variable aléatoire Tsuit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Déterminer λsachant
que p(T < 70) = 0,05. On donnera une valeur approchée à 10−4.
Exercice 5 (2 points).
Un appareil a une durée de vie moyenne de 500 heures et cette durée de vie suit une loi
exponentielle. Quelle est la probabilité pour que l’appareil ait une durée de vie inférieure à
250 heures ? On donnera une valeur approchée à 10−2.
Exercice 6 (4 points).
Une entreprise fabrique en grande quantité des plaques métalliques rectangulaires pour l’indus-
trie. Dans ce qui suit, les résultats seront arrondis à 10−3.
On prélève au hasard une pièce dans la production et on appelle Xet Yles variables aléatoires
qui indique respectivement sa longueur et et sa largeur en mm.
On suppose que Xsuit la loi normale de paramètres µ= 250 et σ2= 4 et que Ysuit la loi
normale de paramètres µ0= 150 et σ02= 2,25.
1. Calculer la probabilité de l’événement A: « la longueur est comprise entre 246 et 254.
2. Calculer la probabilité de l’événement B: « la largeur est comprise entre 146 et 154.
3. Une pièce est dite conforme si sa longueur est comprise entre 246 et 254 et si sa largeur est
comprise entre 146 et 154. On admet que les deux événements Aet Bsont indépendants.
Calculer la probabilité que la pièce soit conforme.
4. Une pièce est prélevée et on constate qu’elle est non conforme. Quelle est la probabilité :
– que sa longueur soit inférieure à 246 ?
– que sa largeur soit supérieure à 154 ?
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