Exercice 1 - reymarlioz

TS4
le 23 mai 2014
Devoir Surveillé no 8
Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 1 (4 points).
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. Vous devez
cocher la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise
réponse enlève 0,5 point. L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total
des points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.
Questions
Réponses
1. On a représenté ci-dessous la courbe représentative
de la densité de probabilité de la loi normale centrée
réduite. À~ 10−2 près, l’aire du domaine colorié vaut :
j
0,68
0,95
1,96
−2
~i
2
1
2. À 10−3 près, u0,4 vaut :
u0,4 ≈ 0,345
u0,4 ≈ 0,645
u0,4 ≈ 0,842
u0,4 ≈ 0,158
p(1 800 ≤ X ≤ 2 200) ≈ 0,683
3. Si la variable aléatoire X suit la loi
N (µ = 2 000; σ 2 = 10 000), alors on a :
p(1 800 ≤ X ≤ 2 200) ≈ 0,954
p(1 800 ≤ X ≤ 2 200) ≈ 0,997
Hugo va se lâcher et cocher
cette case
4. La variable aléatoire X suit une loi exponentielle de
paramètre λ > 0. Alors la probabilité p(X < a) vaut :
1 − e−λa
e−λa
1 + e−λa
pfffff. . .
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Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
le 23 mai 2014
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le soin et la rédaction prendront une part importante dans la notation des copies. On pensera
notamment à définir des variables aléatoires en expliquant la loi qu’elles suivent lorsque cela
est nécessaire. Le sujet est à rendre obligatoirement avec la copie. Le barème est donné à titre
indicatif.
Exercice 2 (2 points).
Dans chaque cas, indiquer si la fonction est une densité de probabilité sur l’intervalle donné.
Justifier.
h
i
(a) f (x) = cos(x) sur I = 0; π2 .
h
i
(b) f (x) = sin(x) sur I = − π2 ; π .
Exercice 3 (2 points).
On arrive à un arrêt de bus à 10 h sachant que le bus arrivera à un certain instant qui suit la
loi uniformément distribuée entre 10 h et 10 h 30.
1. Quelle est la probabilité que l’attente dure 10 min. ou plus ?
2. Si à 10 h 15, le bus n’est pas encore arrivé, quelle est la probabilité que l’attente dure au
moins dix minutes supplémentaires ?
Exercice 4 (2 points).
Une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Déterminer λ sachant
que p(T < 70) = 0,05. On donnera une valeur approchée à 10−4 .
Exercice 5 (2 points).
Un appareil a une durée de vie moyenne de 500 heures et cette durée de vie suit une loi
exponentielle. Quelle est la probabilité pour que l’appareil ait une durée de vie inférieure à
250 heures ? On donnera une valeur approchée à 10−2 .
Exercice 6 (4 points).
Une entreprise fabrique en grande quantité des plaques métalliques rectangulaires pour l’industrie. Dans ce qui suit, les résultats seront arrondis à 10−3 .
On prélève au hasard une pièce dans la production et on appelle X et Y les variables aléatoires
qui indique respectivement sa longueur et et sa largeur en mm.
On suppose que X suit la loi normale de paramètres µ = 250 et σ 2 = 4 et que Y suit la loi
normale de paramètres µ0 = 150 et σ 02 = 2,25.
1. Calculer la probabilité de l’événement A : « la longueur est comprise entre 246 et 254.
2. Calculer la probabilité de l’événement B : « la largeur est comprise entre 146 et 154.
3. Une pièce est dite conforme si sa longueur est comprise entre 246 et 254 et si sa largeur est
comprise entre 146 et 154. On admet que les deux événements A et B sont indépendants.
Calculer la probabilité que la pièce soit conforme.
4. Une pièce est prélevée et on constate qu’elle est non conforme. Quelle est la probabilité :
– que sa longueur soit inférieure à 246 ?
– que sa largeur soit supérieure à 154 ?
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Exercice 7 (4 points).
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A
Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B.
60 % des pipettes viennent de l’entreprise A et 4,6 % des pipettes de cette entreprise possèdent
un défaut.
Dans le stock total du laboratoire, 5 % des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard
une pipette dans le stock du laboratoire et on note :
A l’évènement : « La pipette est fournie par l’entreprise A » ;
B l’évènement : « La pipette est fournie par l’entreprise B » ;
D l’évènement : « La pipette a un défaut ».
1. La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu’elle vienne
de l’entreprise A ?
2. Montrer que p(B ∩ D) = 0,022 4.
3. Parmi les pipettes venant de l’entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un
défaut ?
Partie B
Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 et 102 mL.
Soit X la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d’un laboratoire
associe sa contenance (en mL).
On admet que X suit une loi normale de moyenne µ = 100 et écart-type σ tel que σ 2 = 1,042 4.
1. Quelle est alors la probabilité, à 10−4 près, pour qu’une pipette prise au hasard soit
conforme ?
Pour la suite, on note p la probabilité pour qu’une pipette soit non-conforme avec p = 0,05.
2. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où n est
un entier naturel supérieur ou égal à 100. On suppose que le stock est assez important
pour considérer ces tirages comme indépendants.
Soit Yn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de
pipettes non-conformes de l’échantillon.
Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Yn ?
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Corrigés des exercices
Corrigé de l’exercice 1.
1b, 2c, 3b, 4a
Corrigé de l’exercice 2.
(a) la fonction f est continue et positive sur I et de plus on a :
π
2
π
− sin(0) = 1
2
0
Donc f est bien une densité de probabilitéh sur I.h
(b) la fonction f est strictement négative sur − π2 ; 0 donc elle n’est pas une densité de probabilité sur I.
Z
π
cos(x)dx = [sin(x)]02 = sin
Corrigé de l’exercice 3.
1. Soit T la variable aléatoire égale au temps d’attente en minutes. SaR densité f définie sur
1
[0; 30] par f (t) = 30
. On a donc p(T > 10) = 1 − p(T < 10) = 1 − 010 f (t)dt = 23 .
2. On cherche la probabilité p de (T > 25) sachant que (T > 15). Soit p =
1−p(25)
1−p(15)
= 13 .
Corrigé de l’exercice 4.
On a pour t ≥ 0, la densité de T est f (t) = λe−λt et p(T < t) = 1 − e−λt .
On a p(T < 70) = 0,05 ⇐⇒ 1 − e−70λ = 0,05. Soit λ = − ln(0,95)
(λ ≈ 7,33 × 10−4 ).
70
Corrigé de l’exercice 5.
Soit D la variable aléatoire égale à la durée de vie de l’appareil. Sa fonction densité est la
1
.
fonction f définie sur R+ par f (t) = λe−λt avec λ1 = 500 (car E(D) = 500). Donc λ = 500
R 250
−1/2
On cherche p(D < 250) = 0 f (t)dt = 1 − e
≈ 0,39.
Corrigé de l’exercice 6.
1. p(A) ≈ 0,954 (calculatrice).
2. p(B) ≈ 0,992 (calculatrice).
3. La pièce est conforme si A et B sont réalisés. On cherche donc p(A∩B). Or les événements
A et B sont indépendants donc p(A ∩ B) = p(A) × p(B) ≈ 0,946.
4. On note C = A ∩ B (la pièce est conforme). Alors :
– on cherche :
p((X < 246) ∩ C)
0, 5 − p(246 ≤ X ≤ 250)
pC (X < 246) =
=
≈ 0,421
1 − p(C)
1 − p(C)
– on cherche :
pC (Y > 154) =
p((Y > 154) ∩ C)
0, 5 − p(150 ≤ Y ≤ 154)
=
≈ 0,071
1 − p(C)
1 − p(C)
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Corrigé de l’exercice 7.
Partie A
1. On cherche pD (A) =
p(D∩A)
p(D)
=
0,6×0,046
0,05
= 0,552.
2. On a p(D) = p(A ∩ D) + p(B ∩ D) (formule des probabilités totales car A et B forment
une partition de l’univers) ; or p(D) = 0,05 et p(A ∩ D) = 0,6 × 0,046 = 0,027 6 donc par
soustraction, p(B ∩ D) = 0,05 − 0,027 6 = 0,022 4.
3. On cherche pB (D) =
p(B∩D)
p(B)
=
0,022 4
0,4
= 0,056.
Partie B
1. On cherche p(98 < X < 102) ≈ 0,949 9
2. On répète n fois de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli de paramètre
p = 0,056 la variable Yn suit donc une loi binomiale de paramètres n et p.
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