Correction DM No 1 Seconde Exercice 1 1) Paul et Sophie veulent

Correction DM No 1
Seconde
Exercice 1
1) Paul et Sophie veulent choisir des nombres opposés mais obtenir le même résultat.
Notons x le nombre choisi par Paul, le nombre choisi par Sophie est donc −x
En appliquant son programme Paul obtient 2x+4 et avec le sien, Sophie obtient 3×(−x)−7 = −3x−7
On a donc 2x + 4 = −3x − 7
En ajoutant à chaque membre 3x + 4, on a :
2x + 4 + 3x − 4 = −3x − 7 + 3x − 4
5x = −11
En divisant chaque membre par 5 on obtient :
5x
−11
3
=
5
5
11
x = − = −2, 2
5
Ainsi Paul doit choisir le nombre −2, 2 et Sophie doit choisir le nombre 2, 2
2) Paul et Sophie veulent choisir le même nombre et que le produit de leurs résultats soit nul.
Notons x le nombre choisi par Paul et par Sophie.
En appliquant son programme Paul obtient 2x + 4 et avec le sien, Sophie obtient 3x − 7
On a donc (2x + 4)(3x − 7) = 0
On applique la règle du produit nul
2x + 4 = 0
2x = −4
x = −2
ou 3x − 7 = 0
3x = 7
7
x=
3
7
3
3) Paul et Sophie veulent choisir le même nombre et que les résultats de leurs programmes aient le
même carré.
Notons x le nombre choisi par Paul et par Sophie.
En appliquant son programme Paul obtient 2x + 4 et avec le sien, Sophie obtient 3x − 7
On a donc (2x + 4)2 = (3x − 7)2
(2x + 4)2 − (3x − 7)2 = 0
Le membre de gauche est de la forme a2 − b2 avec a = (2x + 4) et b = (3x − 7), on peut utiliser
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
[(2x + 4) + (3x − 7)] [(2x + 4) − (3x − 7)] = 0
(2x + 4 + 3x − 7) (2x + 4 − 3x + 7) = 0
(5x − 3)(−x + 11) = 0
On applique la règle du produit nul
Ainsi Paul et Sophie doivent choisir le nombre −2 ou le nombre
5x − 3 = 0
5x = 3
3
x=
5
ou −x + 11 = 0
11 = x
Ainsi Paul et Sophie doivent choisir le nombre
3
ou le nombre 11
5
Exercice 2
1) A(6) = 20 et A(10) = 36
2) Le carré de côté n est composé des A(n)petits carrés en périphérie et des petits carrés intérieurs.
La partie intérieure est un carré de côté n − 2 quadrillé en (n − 2)2 petits carrés.
Ainsi comme le carré de côté n est quadrillé en n2 petits carrés, on a A(n) = n2 − (n − 2)2
(
)
A(n) = n2 − (n − 2)2 = n2 − n2 − 4n + 4 = n2 − n2 + 4n − 4
A(n) = 4n − 4
3) Le nombre de carreaux gris dans le cas d’un carré de coté 165 est donc A(165) = 4 × 165 − 4 = 656
4) La valeur de n pour que le nombre de carreaux gris soit égal à 964 vérifie A(n) = 964
4n − 4 = 964
4n = 968
968
n=
= 242
4
Donc pour que le nombre de carreaux gris soit égal à 964, il faut un carré de côté 242
5) Cherchons n telle que le nombre de carreaux gris soit égal à 1 242. On a donc A(n) = 1242
4n − 4 = 1242
4n = 1246
1246
n=
= 311, 5 or n est un entier donc
4
Il n’est pas possible d’avoir 1242 carreaux gris