Correction DM No 1 Seconde Exercice 1 1) Paul et Sophie veulent

Correction DM No1 Seconde
Exercice 1
1) Paul et Sophie veulent choisir des nombres oppos´es mais obtenir le mˆeme r´esultat.
Notons xle nombre choisi par Paul, le nombre choisi par Sophie est donc −x
En appliquant son programme Paul obtient 2x+4 et avec le sien, Sophie obtient 3×(−x)−7 = −3x−7
On a donc 2x+ 4 = −3x−7
En ajoutant `a chaque membre 3x+ 4, on a :
2x+4+3x−4 = −3x−7+3x−4
5x=−11
En divisant chaque membre par 5 on obtient :
35x
5=−11 5
x=−11
5=−2,2
Ainsi Paul doit choisir le nombre −2,2 et Sophie doit choisir le nombre 2,2
2) Paul et Sophie veulent choisir le mˆeme nombre et que le produit de leurs r´esultats soit nul.
Notons xle nombre choisi par Paul et par Sophie.
En appliquant son programme Paul obtient 2x+ 4 et avec le sien, Sophie obtient 3x−7
On a donc (2x+ 4)(3x−7) = 0
On applique la r`egle du produit nul
2x+ 4 = 0 ou 3x−7 = 0
2x=−4 3x= 7
x=−2x=7
3
Ainsi Paul et Sophie doivent choisir le nombre −2 ou le nombre 7
3
3) Paul et Sophie veulent choisir le mˆeme nombre et que les r´esultats de leurs programmes aient le
mˆeme carr´e.
Notons xle nombre choisi par Paul et par Sophie.
En appliquant son programme Paul obtient 2x+ 4 et avec le sien, Sophie obtient 3x−7
On a donc (2x+ 4)2= (3x−7)2
(2x+ 4)2−(3x−7)2= 0
Le membre de gauche est de la forme a2−b2avec a= (2x+ 4) et b= (3x−7), on peut utiliser
a2−b2= (a+b)(a−b)
[(2x+ 4) + (3x−7)] [(2x+ 4) −(3x−7)] = 0
(2x+ 4 + 3x−7) (2x+ 4 −3x+ 7) = 0
(5x−3)(−x+ 11) = 0
On applique la r`egle du produit nul
5x−3 = 0 ou −x+ 11 = 0
5x= 3 11 = x
x=3
5
Ainsi Paul et Sophie doivent choisir le nombre 3
5ou le nombre 11

Exercice 2
1) A(6) = 20 et A(10) = 36
2) Le carr´e de cˆot´e nest compos´e des A(n)petits carr´es en p´eriph´erie et des petits carr´es int´erieurs.
La partie int´erieure est un carr´e de cˆot´e n−2 quadrill´e en (n−2)2petits carr´es.
Ainsi comme le carr´e de cˆot´e nest quadrill´e en n2petits carr´es, on a A(n) = n2−(n−2)2
A(n) = n2−(n−2)2=n2−(n2−4n+ 4)=n2−n2+ 4n−4
A(n) = 4n−4
3) Le nombre de carreaux gris dans le cas d’un carr´e de cot´e 165 est donc A(165) = 4 ×165 −4 = 656
4) La valeur de npour que le nombre de carreaux gris soit ´egal `a 964 v´erifie A(n) = 964
4n−4 = 964
4n= 968
n=968
4= 242
Donc pour que le nombre de carreaux gris soit ´egal `a 964, il faut un carr´e de cˆot´e 242
5) Cherchons ntelle que le nombre de carreaux gris soit ´egal `a 1 242. On a donc A(n) = 1242
4n−4 = 1242
4n= 1246
n=1246
4= 311,5 or nest un entier donc
Il n’est pas possible d’avoir 1242 carreaux gris