Exercices pour le TP du 15 janvier

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #1, 15 janvier 2016
Exercice 1 (ex. 25, p. 232). On définit l’ensemble des quaternions de Hamilton
H := {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ R}.
Cet ensemble devient un anneau unitaire et non-commutatif si on définit l’addition par
(a + bi + cj + dk) + (a0 + b0 i + c0 j + d0 k) := (a + a0 ) + (b + b0 )i + (c + c0 )j + (d + d0 )k
et la multiplication selon les règles
i2 = j 2 = k 2 = −1,
ij = −ji = k,
jk = −kj = i,
ki = −ik = j.
Par exemple, (1 + i)(j + k) = 1 + k + ij + ik = 1 + k − k − j = 1 − j. On défini la norme
N : H → [0, +∞) par
N (a + bi + cj + dk) = a2 + b2 + c2 + d2 .
(a) Prouvez que N (α) = αα pour tout α ∈ I, où a + bi + cj + dk := a − bi − cj − dk.
Déduisez que H× = H × {0}. 1
(b) Prouvez que N (αβ) = N (α)N (β) pour tout α, β ∈ I.
(c) Si
I = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ Z},
est l’anneau des quaternions de Hamilton intégraux, alors montrez qu’un élément de I
est inversible dans I s-si sa norme est égale à 1. Déduisez que I × est un groupe de 8
éléments.
Exercice 2 (ex. 7, 8, p. 231).
(a) Soit A un anneau. Son centre est
C = {z ∈ A : za = az pour tout a ∈ A} ,
c’est-à-dire, l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de A. Prouvez que :
— C est un sous-anneau de A,
— si A a une unité, cet élément appartient également à C,
— le centre d’un corps gauche ?? est un corps.
(b) Décrivez le centre des quaternions réelles de Hamilton H. Montrez que {a + bi :
a, b ∈ R} est un sous-anneau de H qui est un corps mais qu’il n’est pas contenu au
centre de H.
Exercice 3 (ex. 15, 16, 22, p. 231-2). Un anneau A est appelé anneau de Boole si a2 = a
pour tout a ∈ A.
(a) Montrez que tout anneau de Boole est commutatif.
(b) Montrez que le seul anneau de Boole qui est également intègre est Z/2Z.
(c) Donnez un exemple d’un anneau de Boole infini.
Exercice 4 (ex. 17, 19, p. 231).
(a) Soit A et B anneaux. Prouvez que le produit direct A × B, muni des opérations de
l’addition (a, b)+(a0 , b0 ) := (a+a0 , b+b0 ) et de la multiplication (a, b)·(a0 , b0 ) := (aa0 , bb0 ),
est un anneau.
1. Un anneau non-commutatif dont chaque élément non-zéro est inversible est appelé un corps gauche.
1
2
(i) Montrez que A × B est commutatif si et seulement si A et B sont commutatifs.
(ii) Montrez que A × B possède d’une unité si et seulement si A et B possèdent d’une
unité.
(iii) Est-que c’est possible que A × B est un anneau intègre ?
(b) Soit A un anneau. Prouvez que l’ensemble {(a, a) : a ∈ A} est un sous-anneau de
A × A.
Exercice 5 (ex. 26, 27, p. 232-3).
(a) Soit K un corps. Une valuation discrète sur K est une fonction ν : K × → Z qui
satisfait :
- ν(xy) = ν(x) + ν(y),
- ν est surjective,
- ν(x + y) ≥ min (ν(x), ν(y)) pour tout x, y ∈ K × avec x + y 6= 0.
L’ensemble
A = {x ∈ K × : ν(x) ≥ 0} ∪ {0}
est appelé l’anneau de valuation de ν. Prouvez que :
(i) A est un sous-anneau de K qui contient l’unité de K.
(ii) pour tout x ∈ K × on a que soit x ∈ A ou x−1 ∈ A.
(iii) un élément x de A set inversible si et seulement si ν(x) = 0.
(b) Soit K = Q and p un nombre premier. Montrez que la fonction νp (a/b) = `, où
a
c
= p` ·
avec p - cd,
b
d
est une valuation discrète. Aussi, prouvez que l’anneau de valuation discrète qui correspond à νp est l’anneau de tous les nombres rationnels dont dénominateur est co-premier
à p. Décrivez les éléments inversibles de cet anneau.