Exercices pour le TP du 15 janvier

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #1, 15 janvier 2016
Exercice 1 (ex. 25, p. 232).On définit l’ensemble des quaternions de Hamilton
H:= {a+bi +cj +dk :a, b, c, d ∈R}.
Cet ensemble devient un anneau unitaire et non-commutatif si on définit l’addition par
(a+bi +cj +dk)+(a0+b0i+c0j+d0k) := (a+a0)+(b+b0)i+ (c+c0)j+ (d+d0)k
et la multiplication selon les règles
i2=j2=k2=−1, ij =−ji =k, jk =−kj =i, ki =−ik =j.
Par exemple, (1 + i)(j+k) = 1 + k+ij +ik = 1 + k−k−j= 1 −j. On défini la norme
N:H→[0,+∞)par
N(a+bi +cj +dk) = a2+b2+c2+d2.
(a) Prouvez que N(α) = αα pour tout α∈I, où a+bi +cj +dk := a−bi −cj −dk.
Déduisez que H×=H× {0}.1
(b) Prouvez que N(αβ) = N(α)N(β)pour tout α, β ∈I.
(c) Si
I={a+bi +cj +dk :a, b, c, d ∈Z},
est l’anneau des quaternions de Hamilton intégraux, alors montrez qu’un élément de I
est inversible dans Is-si sa norme est égale à 1. Déduisez que I×est un groupe de 8
éléments.
Exercice 2 (ex. 7, 8, p. 231).
(a) Soit Aun anneau. Son centre est
C={z∈A:za =az pour tout a∈A},
c’est-à-dire, l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de A. Prou-
vez que :
—Cest un sous-anneau de A,
— si Aa une unité, cet élément appartient également à C,
— le centre d’un corps gauche ?? est un corps.
(b) Décrivez le centre des quaternions réelles de Hamilton H. Montrez que {a+bi :
a, b ∈R}est un sous-anneau de Hqui est un corps mais qu’il n’est pas contenu au
centre de H.
Exercice 3 (ex. 15, 16, 22, p. 231-2).Un anneau Aest appelé anneau de Boole si a2=a
pour tout a∈A.
(a) Montrez que tout anneau de Boole est commutatif.
(b) Montrez que le seul anneau de Boole qui est également intègre est Z/2Z.
(c) Donnez un exemple d’un anneau de Boole infini.
Exercice 4 (ex. 17, 19, p. 231).
(a) Soit Aet Banneaux. Prouvez que le produit direct A×B, muni des opérations de
l’addition (a, b)+(a0, b0) := (a+a0, b+b0)et de la multiplication (a, b)·(a0, b0) := (aa0, bb0),
est un anneau.
1. Un anneau non-commutatif dont chaque élément non-zéro est inversible est appelé un corps gauche.
1

2
(i) Montrez que A×Best commutatif si et seulement si Aet Bsont commutatifs.
(ii) Montrez que A×Bpossède d’une unité si et seulement si Aet Bpossèdent d’une
unité.
(iii) Est-que c’est possible que A×Best un anneau intègre ?
(b) Soit Aun anneau. Prouvez que l’ensemble {(a, a) : a∈A}est un sous-anneau de
A×A.
Exercice 5 (ex. 26, 27, p. 232-3).
(a) Soit Kun corps. Une valuation discrète sur Kest une fonction ν:K×→Zqui
satisfait :
-ν(xy) = ν(x) + ν(y),
-νest surjective,
-ν(x+y)≥min (ν(x), ν(y)) pour tout x, y ∈K×avec x+y6= 0.
L’ensemble
A={x∈K×:ν(x)≥0}∪{0}
est appelé l’anneau de valuation de ν. Prouvez que :
(i) Aest un sous-anneau de Kqui contient l’unité de K.
(ii) pour tout x∈K×on a que soit x∈Aou x−1∈A.
(iii) un élément xde Aset inversible si et seulement si ν(x) = 0.
(b) Soit K=Qand pun nombre premier. Montrez que la fonction νp(a/b) = `, où
a
b=p`·c davec p-cd,
est une valuation discrète. Aussi, prouvez que l’anneau de valuation discrète qui corres-
pond à νpest l’anneau de tous les nombres rationnels dont dénominateur est co-premier
àp. Décrivez les éléments inversibles de cet anneau.