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Caen
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Densité et Courant de Probabilité
(Conservation locale de probabilité)
Soit une particule sans spin, dont la fonction d'onde ψ(r,t) est normée. Soit la densité
de probabilité de présence de la particule:
ρ(r,t) = |ψ(r,t)|2 (1)
La probabilité d℘(r,t) de trouver la particule à l'instant t dans le volume d3r en r est:
d℘(r,t) = ρ(r,t) d3r
L'intégrale de la densité de probabilité ρ(r,t) sur tout l'espace est donc constante
(normalisation), mais sa valeur locale peut varier. Par analogie avec l'électromagnétisme, la
densité volumique de charge ρ(r,t) peut varier localement (courant électrique) mais la charge
totale est conservée (son intégrale sur l'espace est constante). En mécanique quantique, les
variations de ρ(r,t) donnent lieu à un courant de probabilité J(r,t) qui obéit à une équation
similaire à l'équation de conservation locale de la charge électrique en électromagnétisme:
0),(),( =+
∂
∂tdivt
trJr
ρ
(2)
qui impose qu'il y ait conservation locale de probabilité. Si notre particule est
soummise à la seule action du potentiel scalaire V(r,t), son hamiltonien et l'équation de
Schrödinger correspondante s'écrivent:
),(
2
2tV
m
HR
P+=
),(),(),(
2
),( 2ttVt
m
t
t
irrrr
ψψψ
+∆−=
∂
∂!
! (3)
qui a pour complexe conjugué:
),(),(),(
2
),( **
2
*ttVt
m
t
t
irrrr
ψψψ
+∆−=
∂
∂
−! ! (4)
En multipliant (3) par ψ*(r,t) et (4) par -ψ(r,t), et en sommant les deux équations
résultantes on a:
()
),(),(),(),(
2
),(),(),(),( **
2
** tttt
m
t
t
tt
t
ti rrrrrrrr
ψψψψψψψψ
∆−∆−=
∂
∂
+
∂
∂!
!
or: ∇
∇∇
∇(ψ*∇
∇∇
∇ψ - ψ∇
∇∇
∇ψ*)= ∇
∇∇
∇ψ*∇
∇∇
∇ψ + ψ*∆ψ - ∇
∇∇
∇ψ∇
∇∇
∇ψ* - ψ∆ψ*
= ψ*∆ψ - ψ∆ψ*
et:
()
***
ψψψψψψ
ttt ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
donc:
()()
),(),(),(),(
2
),(),( **
2
*tttt
m
tt
t
irrrrrr
ψψψψψψ
∇
∇∇
∇∇
∇∇
∇∇
∇∇
∇−−=
∂
∂!
!
()
),(),(),(),(
2
),( ** tttt
imt trrrr
r
ψψψψ
ρ
∇
∇∇
∇∇
∇∇
∇∇
∇∇
∇−−=
∂
∂! d'après Eq. 1
et en posant J(r,t) =
()
),(),(),(),(
2** tttt im rrrr
ψψψψ
∇
∇∇
∇∇
∇∇
∇−
! on obtient l'équivalent de
l'Equation 2 pour la mécanique quantique:

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0),(
),( =+
∂
∂tdiv
ttrJ
r
ρ
(5)
Nous connaissons donc l'expression du courant de probabilité en fonction de la
fonction d'onde normée, et l'équation de conservation locale de la probabilité.
Dans le cas d'une onde plane de la forme ψ(r,t)=Aei(k.r-ωt), on obtient donc:
ρ(r,t) = |ψ(r,t)|2 = |A|2 (6)
et
J(r,t) =
()
),(),(),(),(
2** tttt im rrrr
ψψψψ
∇
∇∇
∇∇
∇∇
∇−
!
= im2
!ik|A|2e-i(k.r-ωt)e-iωt + ik|A|2ei(k.r-ωt)eiωt
J(r,t) = |A|2m2k
! = ρ(r,t) vg (7)
où vg est la vitesse de groupe associée à l'impulsion !k. On remarque encore une fois
l'analogie avec l'électromagnétisme: dans le cas d'une onde plane ρ ne dépend pas de t, et alors
divJ=0 d'après l'Equation 5. Le régime d'écoulement du fluide de probabilité dans le cas d'une
onde plane est un régime permanent.