IUT Mesures Physiques Caen Densité et Courant de Probabilité (Conservation locale de probabilité) Soit une particule sans spin, dont la fonction d'onde ψ(r,t) est normée. Soit la densité de probabilité de présence de la particule: ρ(r,t) = |ψ(r,t)|2 (1) La probabilité d℘(r,t) de trouver la particule à l'instant t dans le volume d3r en r est: d℘(r,t) = ρ(r,t) d3r L'intégrale de la densité de probabilité ρ(r,t) sur tout l'espace est donc constante (normalisation), mais sa valeur locale peut varier. Par analogie avec l'électromagnétisme, la densité volumique de charge ρ(r,t) peut varier localement (courant électrique) mais la charge totale est conservée (son intégrale sur l'espace est constante). En mécanique quantique, les variations de ρ(r,t) donnent lieu à un courant de probabilité J(r,t) qui obéit à une équation similaire à l'équation de conservation locale de la charge électrique en électromagnétisme: ∂ ρ (r, t ) + divJ (r, t ) = 0 (2) ∂t qui impose qu'il y ait conservation locale de probabilité. Si notre particule est soummise à la seule action du potentiel scalaire V(r,t), son hamiltonien et l'équation de Schrödinger correspondante s'écrivent: P2 H= + V (R, t ) 2m ∂ !2 i! ψ (r, t ) = − ∆ψ (r, t ) + V (r, t )ψ (r, t ) (3) ∂t 2m qui a pour complexe conjugué: ∂ !2 − i! ψ * (r, t ) = − ∆ψ * (r, t ) + V (r, t )ψ * (r, t ) (4) ∂t 2m * En multipliant (3) par ψ (r,t) et (4) par -ψ(r,t), et en sommant les deux équations résultantes on a: ∂ ∂ !2 * ψ (r, t )∆ψ (r, t ) − ψ (r, t )∆ψ * (r, t ) i!ψ (r, t ) ψ * (r, t ) + ψ * (r, t ) ψ (r, t ) = − ∂t ∂t 2m * * * ∇ψ ) = ∇ψ ∇ψ + ψ*∆ψ - ∇ψ∇ ∇ψ* - ψ∆ψ* or: ∇(ψ ∇ψ - ψ∇ = ψ*∆ψ - ψ∆ψ* ∂ ∂ ∂ ψ ψ * + ψ * ψ = ψψ * et: ∂t ∂t ∂t donc: ∂ !2 i! ψ (r, t )ψ * (r, t ) = − ∇ ψ * (r, t )∇ψ (r, t ) − ψ (r, t )∇ψ * (r, t ) ∂t 2m ∂ρ (r, t ) ! =− ∇ ψ * (r, t )∇ψ (r, t ) − ψ (r, t )∇ψ * (r, t ) d'après Eq. 1 ∂t 2im ! ψ * (r, t )∇ψ (r, t ) − ψ (r, t )∇ψ * (r, t ) on obtient l'équivalent de et en posant J(r,t) = 2im l'Equation 2 pour la mécanique quantique: ( ( ( ) ) ) ( ) ( ) ( [email protected] ) Page 1 21/01/03 IUT Mesures Physiques Caen ∂ρ (r, t ) + divJ (r, t ) = 0 (5) ∂t Nous connaissons donc l'expression du courant de probabilité en fonction de la fonction d'onde normée, et l'équation de conservation locale de la probabilité. Dans le cas d'une onde plane de la forme ψ(r,t)=Aei(k.r-ωt), on obtient donc: ρ(r,t) = |ψ(r,t)|2 = |A|2 et J(r,t) = ( J(r,t) = |A|2 !k = ρ(r,t) vg 2m (6) ) ! ψ * (r, t )∇ψ (r, t ) − ψ (r, t )∇ψ * (r, t ) 2im ! ik|A|2e-i(k.r-ωt)e-iωt + ik|A|2ei(k.r-ωt)eiωt = 2im (7) où vg est la vitesse de groupe associée à l'impulsion ! k. On remarque encore une fois l'analogie avec l'électromagnétisme: dans le cas d'une onde plane ρ ne dépend pas de t, et alors divJ=0 d'après l'Equation 5. Le régime d'écoulement du fluide de probabilité dans le cas d'une onde plane est un régime permanent. [email protected] Page 2 21/01/03