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IUT Mesures Physiques
Caen
Densité et Courant de Probabilité
(Conservation locale de probabilité)
Soit une particule sans spin, dont la fonction d'onde ψ(r,t) est normée. Soit la densité
de probabilité de présence de la particule:
ρ(r,t) = |ψ(r,t)|2
(1)
La probabilité d℘(r,t) de trouver la particule à l'instant t dans le volume d3r en r est:
d℘(r,t) = ρ(r,t) d3r
L'intégrale de la densité de probabilité ρ(r,t) sur tout l'espace est donc constante
(normalisation), mais sa valeur locale peut varier. Par analogie avec l'électromagnétisme, la
densité volumique de charge ρ(r,t) peut varier localement (courant électrique) mais la charge
totale est conservée (son intégrale sur l'espace est constante). En mécanique quantique, les
variations de ρ(r,t) donnent lieu à un courant de probabilité J(r,t) qui obéit à une équation
similaire à l'équation de conservation locale de la charge électrique en électromagnétisme:
∂
ρ (r, t ) + divJ (r, t ) = 0
(2)
∂t
qui impose qu'il y ait conservation locale de probabilité. Si notre particule est
soummise à la seule action du potentiel scalaire V(r,t), son hamiltonien et l'équation de
Schrödinger correspondante s'écrivent:
P2
H=
+ V (R, t )
2m
∂
!2
i! ψ (r, t ) = −
∆ψ (r, t ) + V (r, t )ψ (r, t ) (3)
∂t
2m
qui a pour complexe conjugué:
∂
!2
− i! ψ * (r, t ) = −
∆ψ * (r, t ) + V (r, t )ψ * (r, t ) (4)
∂t
2m
*
En multipliant (3) par ψ (r,t) et (4) par -ψ(r,t), et en sommant les deux équations
résultantes on a:
∂
∂
!2 *


ψ (r, t )∆ψ (r, t ) − ψ (r, t )∆ψ * (r, t )
i!ψ (r, t ) ψ * (r, t ) + ψ * (r, t ) ψ (r, t )  = −
∂t
∂t
2m


*
*
*
∇ψ )
= ∇ψ ∇ψ + ψ*∆ψ - ∇ψ∇
∇ψ* - ψ∆ψ*
or:
∇(ψ ∇ψ - ψ∇
= ψ*∆ψ - ψ∆ψ*
∂
∂
∂
ψ ψ * + ψ * ψ = ψψ *
et:
∂t
∂t
∂t
donc:
∂
!2
i! ψ (r, t )ψ * (r, t ) = −
∇ ψ * (r, t )∇ψ (r, t ) − ψ (r, t )∇ψ * (r, t )
∂t
2m
∂ρ (r, t )
!
=−
∇ ψ * (r, t )∇ψ (r, t ) − ψ (r, t )∇ψ * (r, t ) d'après Eq. 1
∂t
2im
!
ψ * (r, t )∇ψ (r, t ) − ψ (r, t )∇ψ * (r, t ) on obtient l'équivalent de
et en posant J(r,t) =
2im
l'Equation 2 pour la mécanique quantique:
(
(
(
)
)
)
(
)
(
)
(
[email protected]
)
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∂ρ (r, t )
+ divJ (r, t ) = 0 (5)
∂t
Nous connaissons donc l'expression du courant de probabilité en fonction de la
fonction d'onde normée, et l'équation de conservation locale de la probabilité.
Dans le cas d'une onde plane de la forme ψ(r,t)=Aei(k.r-ωt), on obtient donc:
ρ(r,t) = |ψ(r,t)|2 = |A|2
et
J(r,t) =
(
J(r,t) = |A|2
!k
= ρ(r,t) vg
2m
(6)
)
!
ψ * (r, t )∇ψ (r, t ) − ψ (r, t )∇ψ * (r, t )
2im
!
ik|A|2e-i(k.r-ωt)e-iωt + ik|A|2ei(k.r-ωt)eiωt
=
2im
(7)
où vg est la vitesse de groupe associée à l'impulsion ! k. On remarque encore une fois
l'analogie avec l'électromagnétisme: dans le cas d'une onde plane ρ ne dépend pas de t, et alors
divJ=0 d'après l'Equation 5. Le régime d'écoulement du fluide de probabilité dans le cas d'une
onde plane est un régime permanent.
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