N°2c Programmation linéaire

Système
x+2y+z=1
x+2y+z=1
x+2y+z=1(1)
x=2
2x+y+z=4(2) ñ 3y+z=-2 ñ 3y+z=-2 ñ y=-1
5y+3z=-2
-4z=-4
x−3y−2z=3(3)
z=1
Programmation linéaire
Système d'inéquations traduisant les contraintes.
1. Le nombre x de lots A et le nombre y de lots B à acheter sont des entiers positifs. On a
donc: x ∈É et y ∈É. Ceci entraîne :
x ≥ 0 et y ≥ 0.
• Le gérant a besoin d’au plus 140 draps de bain. D'où la contrainte :
15 x + 10 y ≤ 140.
• Le gérant doit avoir au moins 150 serviettes. D'où la contrainte :
20 x + 10 y ≥ 150.
• Le gérant doit avoir au moins 120 gants de toilette. D'où la contrainte : 12 x + 12 y ≥ 120
On obtient ainsi un système d'inéquations traduisant les contraintes du problème :
15 x + 10 y ≤ 140
3x + 2 y ≤ 28


20 x + 10 y ≥ 150 ⇔  2 x + y ≥ 15 avec x et y entiers naturels.
12 x + 12 y ≥ 120
 x + y ≥ 10


2. Résolution graphique du système d'inéquations.
• L'inégalité 3x + 2y ≤ 28 définit le demi-plan de frontière la droite (D1) d'équation
y = − 1,5x + 14, droite (D1) comprise, et contenant l'origine O.
• L'inégalité 2x + y ≥ 15 définit le demi-plan de frontière la droite (D2) d'équation
y = − 2x + 15 , droite (D2) comprise, et ne contenant pas l'origine O.
• L'inégalité x + y ≥ 10 définit le demi-plan de frontière la droite (D3) d'équation
y = − x + 10 , droite (D3) comprise, et ne contenant pas l'origine O.
La droite (DI) passe par les deux points de coordonnées respectives : (0 ; 14) et (8 ; 2).
La droite (D2) passe par des deux points de coordonnées respectives : (0 ; 15) et (5 ; 5)
La droite (D3) passe par les deux points de coordonnées respectives : (0 ; 10) et (5 ; 5)
Les solutions de ce système d'inéquations sont les coordonnées entières des points situés à
l’intérieur du triangle ABC frontières comprises. A(2 ;11), B(8 ;2) et C(5 ;5)
Il y a 10 points de coordonnées entières dans le polygone des contraintes donc 10
commandes possibles.
3. Expression de la dépense.
La dépense occasionnée par l'achat de x lots A est de 180 x euros, et celle occasionnée par
l'achat de y lots B est de 150 y euros.
6
d .
La dépense totale d est alors égale à (E) : d = 180 x + 150 y ñ y = - 5 x+
150
Les droites d’équation (E) ont toutes le même coefficient directeur et sont donc parallèles.
Leur ordonnée à l’origine est la dépense totale divisée par 150.
4. Dépenses possibles.
Si d = 1500, (E) ñ 180x + 150y = 1500 soit: y = − 1,2x + 10. La droite correspondante ne
passe pas par le polygone des contraintes cette dépense n’est pas possible.
Si d = 2010, (E) ñ180x + 150y = 2010 soit: y = − 1,2x + 13,4. La droite passe par le
polygone des contraintes. Les couples (x, y) pour lesquels une dépense de 2 010 euros est
possible sont les coordonnées entières des points de la droite situés dans le triangle ABC.
Graphiquement seul le point C (2 ; 11) est sur la droite.
Une dépense de 2 010 euros est possible en achetant 2 lots de type A et 11 lots de type B.
5. Commande 5 lots A et 6 lots B
Cette commande est possible elle correspond à un point du polygone des contraintes
d = 5x180+6x150=1800 €
6
La droite, de coefficient directeur - , passant par le point de coordonnées (5 ;6) a un
5
d
ordonnée à l'origine égale à 12 donc
= 12 et on retrouve d = 1800 €
150
6. Nombre de lots A et B pour lesquels la dépense est minimale.
.
d
La dépense est minimale lorsque
est minimal c’est à dire lorsque l’ordonnée à
150
l’origine de la droite est minimale.
On cherche la droite parallèle aux droites précédentes, d’ordonnée à l’origine la plus petite
possible et passant par au moins un point à coordonnées entières de la partie du plan
délimité par le triangle ABC
Il s’agit de la droite n passant le point C (5 ; 5) intersection des droites D2 et D3
La dépense est minimale pour l’achat de 5 lots de type A et 5 lots de type B.
Cette dépense vaut D = 5×180 + 5×140 = 1650€