II.2. Nombres premiers ramifiés dans une extension - E

II.2. Nombres premiers ramifiés dans une
extension abélienne de Q
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 18 (1972)
Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 25.05.2017
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Si evest l'indice de ramification de pvsurdon a: hvev?lothv=ev?l
A'
si et seulement si evest premier avec la caractéristique du corps ?.Le dis
Vv
criminant de K' sur Kest NKNK.fK (ôKK >/K)et on ala formule de transitivité:
àà K"/K =àà K»iK>ôô K>/K {[2] chapitre 4, [5] chapitre 3).
Corps cyclotomiques :Dans un corps cyclotomique Q(ps), (p premier)
pest leur seul nombre premier ramifié et: p=(l?çy(pS \£désignant une
racine primitive {ps)eme de 1, est la décomposition de/> en idéaux premiers
de Q(ps).
pest ramifié dans un corps cyclotomique Q{ri) si et seulement si pdivise n.
Si ns'écrit: n=psri avec npremier avec p, alors le corps d'inertie de p
dans Q(n) est Q(n) et l'indice de ramification de pdans Q(n) est cp (ps).
Si qest premier avec n, la classe de qmodulo nest l'automorphisme de
Frcebenius, et elle engendre dans G{ri) le groupe de décomposition de q
dans Q{ri). Le degré résiduel de qdans Q(/?) est donc le plus petit entier/
tel que: qf=1(77).
Si Çest une racine primitive neme de 1, {I,£, ... c?(n) x} est une base
de l'anneau des entiers de Q{ri) sur Z. Le discriminant de Q{n) sur Qest:
ce dernier produit étant étendu àtous les nombres premiers pdivisant n
([s] chapitre 4).
II.2. Nombres premiers ramifiés dans une extension abélienne de Q
Lemme 11. 1.
Soient Kune extension abélienne de Qet Q{ri) le plus petit corps
cyclotomique contenant K. Alors un nombre premier pse ramifie
dans Ksi et seulement s'il divise n.
Si pest ramifié dans X, alors il est ramifié dans tout surcorps de X,
donc dans Q{ri) et il divise n.
Réciproquement, si pdivise n, posons n=psn\ avec ri premier avec p.

Alors le corps d'inertie de pdans Q(ri) est Q(ri) et son groupe d'inertie
T(n9ri).
Soit nl'application canonique de G(ri) sur G(K( K/Q)qui àtout automor
phismede Q(ri) fait correspondre sa restriction àK. %apour noyau
G(Q(/î)/k)( Q(/î)/k) et comme &(ri) est le plus petit corps cyclotomique contenant^,
on adonc:
7i (r(/?, /z')) qui est le groupe d'inertie de pdans X, n'est donc pas réduit à
l'identité et pse ramifie dans K.
II.3. DÉCOMPOSITION D'UN NOMBRE qPREMIER, NON RAMIFIÉ DANS $K_r$
Krdésigne une extension cyclique de degré prsur Q(p premier) et
(Q 0?;))i^i^rlasuite de corps cyclotomiques associée. Les notations
restent les mêmes qu'au premier chapitre, qest un nombre premier non
ramifié dans Kr,c'est-à-dire d'après le lemme précédent, premier avec nr.
Si pest impair et suivant que ur=0ou ur2.
soit
ou
la décomposition de qdans G(nr).
On posera alors:
Si
Si
Si
De même si p=2et suivant que ur=o,ouur=2,ouur 3, soit
ou