+ p(B) – p ( A ∩ B )

DS probabilités
Ex1. BAC Probabilités NC 2004
Partie A.
Une entreprise fabrique des appareils susceptibles de présenter deux types de pannes "a" ou "b". On admettra que 5 % des
appareils sont concernés par la panne a, 3 % par la panne b et 1 % par les deux pannes.
On prélève au hasard un appareil dans la production. On note A l'événement : " l'appareil présente la panne a ", et B
l'événement : " l'appareil présente la panne b".
A
A
Total
B 1 % 2 % 3 %
B
4 % 93 % 97 %
Total 5 % 95 % 100 %
1. Montrer que la probabilité pour cet appareil de présenter la panne a ou la panne b est 0,07.
p( A ∪ B ) = p(A) + p(B) – p ( A ∩ B ) =
0,050,03 –0,01
= 0,07
p = p ( A ∩
B
) + p ( B ∩
A
) + p ( A ∩ B ) = 0,04+0,02+0,01 = 0,07
2. Quelle est la probabilité pour cet appareil de présenter la panne a et de ne pas présenter la panne b ?
p ( A ∩
B
) = 0,04
3. Quelle est la probabilité pour cet appareil de ne présenter aucunes des deux pannes ?
p(
A
∩
B
) = 0,93
Partie B.
L'entreprise fabrique un grand nombre d'appareils par semaine. Chaque appareil a un coût de fabrication de
200 €. La réparation d'une panne a coûte 60 € à l'entreprise, la réparation d'une panne b coûte 40 € et la réparation des
deux pannes coûte 100 €.
On considère la variable aléatoire X, qui à chaque appareil, associe son prix de revient total ( coût de fabrication et coût
de réparation éventuelle ).
1. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
0 pannes X = 200 ; 1 panne a : X = 260 ; 1 panne B : X=240 ; 2 pannes a et b : X = 300 ;
les valeurs possibles pour X sont : 200 ; 240 ; 260 ; 300.
2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
X 200 240 260 300
pi
0,93 0,02 0,04 0,01
3. Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
EX= p1x1p2x2
+ ... =
0,93×2000,02×2400,04×2600,01×300
= 204,2
4. Que représente E(X) pour l'entreprise ?
Pour un grand nombre d'objets fabriqués, E(X) représente le prix de revient total moyen de production d'un appareils.
Ex2. BAC probabilités GC France 2004
Une association de randonneurs organise un repas. Elle fixe le prix de la manière suivante :
→ le tarif pour un enfant âgé de 10 ans ou moins est de 5 € ;
→ le tarif pour un jeune âgé de 11 à 16 ans est de 8 € ;
→ dans les autres cas le tarif est de 10 €.
De plus, tout membre de l’association bénéficie d’une réduction de 20% appliquée au tarif le concernant. Ainsi,
un membre âgé de 11 à 16 ans paiera 6,40 €.

Les participants au repas, au nombre de 600, sont répartis selon le tableau ci-dessous :
âge participant 10 ans ou moins entre 11 et 16 ans plus de 16 ans Total
membres 50 Tarif 4 € 40 Tarif 6,4 € 110 Tarif 8 € 200
non-membres 110 Tarif 5 € 100 Tarif 8 € 190 Tarif 10 € 400
Total 160 140 300 600
Partie A
On choisit au hasard une personne ayant participé au repas.
1. Quelle est la probabilité qu’elle soit membre de l’association ?
p=200
600
=
1
3
2. Quelle est la probabilité qu’elle paye plus de 7 € ? p' =
100110190
600
=
400
600
=
2
3
3. On considère la variable aléatoire X égale au prix du repas pour un participant choisi au hasard.
Vérifier que la probabilité pour que X prenne la valeur 6,40 est égale à
1
15
.
p(X=6,40)=
40
600
=
1
15
4. Déterminer les valeurs prises par X, puis donner la loi de probabilité de X.
Les valeurs prises par X sont : 4 ; 5 ; 6,4 ; 8 ; 10.
X=xi
4 5 6,4 8 10
pi
50
600
=
1
12
110
600
=
11
60
2
30
210
600
=
7
20
190
600
=
19
60
5. Déterminer l’espérance mathématique de X, notée E(X). (calculer la valeur exacte sous forme de fraction,
puis une valeur décimale approchée à 0,01 prés).
EX= 1
12 ×411 60 ×52 30 ×6,47 20 ×819 60 ×10
=
4586
600
=
2293
300
; E(X)≈ 7,64
Partie B
Calculer la recette totale perçue par l’association à l’occasion de ce repas.
Recette totale =
50×440×6,4110×8110×5100×8190×10
= 4 586 €