Optique ondulatoire Ex 1 Calcul de l`éclairement des interférences à

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OO - TD2 - Interférences à deux ondes
Optique ondulatoire
TD no 2 : Interférences à deux ondes
Ex 1 Calcul de l’éclairement des interférences à deux ondes - Utilisation des
amplitudes complexes
On considère deux ondes de même amplitude, de même longueur d’onde, issues d’une même source mais ayant
suivies deux trajets différents et dont la différence de marche δ = [SM]2 − [SM]1 est faible.
1.1. Justifier en précisant le dernier critère « δ faible » que les ondes sont cohérentes.
1.2. En prenant comme référence de phase l’onde 1, exprimer l’amplitude complexe de l’onde 1 et de l’onde 2.
1.3. Calculer alors l’éclairement en fonction de δ, sachant qu’il peut se calculer directement à partir de l’amplitude
complexe a :
E(M) = |a(M)|2
Ex 2
Etude du dispositif des fentes d’Young
Le dispositif des fentes d’Young est constitué d’un jeu de bifente d’épaisseur e très fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse l selon Oy très grande. On admet que ces deux fentes se comportent comme des sources ponctuelles
secondaires cohérentes. Elles sont écartées d’une distance a selon Ox.
Une source ponctuelle S monochromatique est placée sur l’axe optique Oz du système des fentes à une distance
DS e et un écran d’observation est placé à une distance D. On repère par x la coordonnée d’un point M d’observation
de l’écran.
2.1. S’agit-il d’un dispositif interférométrique à division d’amplitude ou division du front d’onde ?
2.2. Calculer la différence de marche entre les deux ondes passant par les deux fentes à l’aide de développements
limités.
2.3. En déduire alors l’éclairement E(x).
2.4. Calculer l’interfrange.
2.5. Justifier qu’en connaissant la distante a, et en comptant plusieurs interfranges, on peut accéder facilement
à la longueur d’onde de la source.
2.6. On intercalle contre une des deux fentes un lame de verre d’indice n à face parallèle. En déduire alors
la nouvelle différence de marche. Que dire de la frange située en xM = 0 ? Cette expérience est elle facilement
exploitable ainsi. Quelle amélioration proposer ?
Ex 3
Miroirs de Fresnel
Le dispositif des miroirs de Fresnel est constitué de deux miroirs plans formant un dièdre d’angle α très faible et
réglable. Une source ponctuelle S est placée à faible distance des deux miroirs selon la géométrie visible sur la figure
ci-dessous, cette source est monochromatique. Un écran d’observation placé relativement loin du dispositif n’est pas
représenté sur la figure. Il est situé à une distance D telle que D h et D d, D est mesurée à partir du point O.
Figure 1 – Miroirs de Fresnel
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3.1. Expliquer pourquoi il y a obtention d’interférences. On montrera, en outre, que ce dispositif est équivalent
à un dispositif d’Young, on déterminera la position des deux points sources secondaires équivalents ainsi que
la distance a qui les sépare.
3.2. Décrire, alors, comment doit-être placé l’écran pour être dans la situation des trous d’Young. Etablir avec
précision ce que l’on voit sur l’écran, on calculera en particulier l’interfrange.
Ex 4
Fentes d’Young avec une source étendue monochromatique
Le dispositif des fentes d’Young est constitué d’un jeu de bifente d’épaisseur e très fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse l selon Oy très grande. On admet que ces deux fentes se comportent comme des sources ponctuelles
secondaires cohérentes. Elles sont écartées d’une distance a selon Ox.
4.1. Dans cette première question, on considère une source ponctuelle S monochromatique, placée hors l’axe
optique du système des fentes à une distance DS e. Son abscisse est repérée par la coordonnées xS . Un écran
d’observation est placé à une distance DM . On repère par xM la coordonnée d’un point M d’observation de l’écran.
Calculer la différence de marche entre les deux ondes passant par les deux fentes à l’aide de développements
limités en fonction de xS et xM . Cette fois-ci, on proposera une démonstration simplifiée.
4.2. En déduire alors l’éclairement E(xS , xM ) dû à la source ponctuelle.
4.3. On s’intéresse maintenant à une source non ponctuelle de largeur dS placée sur l’axe optique, entre −dS /2
et +dS /2. Cette source est discrétisée en une somme de source ponctuelles incohérentes entre elles. Calculer
l’éclairement résultant de la source non ponctuelle.
4.4. A partir du résultat de la question précédente, définir un facteur de constraste.
4.5. Regarder la première annulation du facteur de contraste et interpréter le.
Ex 5
Etude du dispositif des fentes d’Young avec une lampe au sodium
Le dispositif des fentes d’Young est constitué d’un jeu de bifente d’épaisseur e très fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse l selon Oy très grande. On admet que ces deux fentes se comportent comme des sources ponctuelles
secondaires cohérentes. Elles sont écartées d’une distance a selon Ox.
Une source ponctuelle S monochromatique est placée sur l’axe optique Oz du système des fentes à une distance
DS e et un écran d’observation est placé à une distance DM . On repère par xM la coordonnée d’un point M
d’observation de l’écran.
∆λ
On suppose la source composée de deux raies très proches, le doublet du sodium : λ1 = λ0 − ∆λ
2 et λ2 = λ0 + 2 où
∆λ λ0 .
5.1. Les deux raies sont-elles cohérentes entre elles ?
5.2. Calculer l’éclairement sur l’écran.
5.3. A partir du résultat ci-dessus, définir un facteur de constraste.
5.4. Regarder la première annulation du facteur de contraste et interpréter-le.
Ex 6 Etude du dispositif des fentes d’Young avec une source non monochromatique
Le dispositif des fentes d’Young est constitué d’un jeu de bifente d’épaisseur e très fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse l selon Oy très grande. On admet que ces deux fentes se comportent comme des sources ponctuelles
secondaires cohérentes. Elles sont écartées d’une distance a selon Ox.
La source n’est cependant plus monochromatique mais composée d’une raie de largueur ∆σ centrée sur un nombre
d’onde σ0 = λ10 . La densité spectrale de la lampe est uniforme (valeur A) sur l’intervalle [σ0 − ∆σ/2, σ0 + ∆σ/2] et
nulle ailleurs. On parle alors de profil spectral carré en nombre d’onde.
6.1. Calculer l’éclairement résultant de la source non monochromatique.
6.2. A partir du résultat de la question précédente, définir un facteur de constraste.
6.3. Regarder la première annulation du facteur de contraste et interpréter-le.
Ex 7
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Expérience de Fizeau
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7.1. On considère le dispositif expérimental suivant comportant une fente source S (lumière monochromatique
de longueur d’onde λ0 , deux lentilles minces convergentes L1 et L2 , un plan percé de deux fentes identiques F1
et F2 distantes de a, et un écran ; l’indice de l’air est égal à 1, 000.
7.1.a. Décrire précisément le rôle de chaque élément et la construction ci-dessus.
7.1.b. Exprimer la différence de marche δ entre les rayons 1 et 2 interférant en M en fonction de a et θ.
7.1.c. En déduire l’éclaire E(M) au point M en fonction de l’éclairement E0 d’une fente, de y, a, f 0 et λ0 .
7.1.d. Décrire ce qu’on observe sur l’écran, et calculer l’interfrange i ; A.N : λ0 = 530 nm, a = 0,350 mm,
f 0 = 0,50 m.
7.2. On complète le dispositif précédent par deux cuves identiques de longueur utile l traversées chacune par
un des deux faisceaux de rayons issus des fentes et remplies de deux gaz d’indices respectifs n1 et n2 ;
7.2.a. Rappeler la relation entre la célérité c de la lumière dans le vide, la célérité v dans un milieu, et
l’indice n du milieu ; on suppose pour cette question seulement que n1 = n2 . Qu’observe-t-on en O ?
7.2.b. Pour quelle variation de la différence de marche, une frange brillante en O est-elle remplacée par
la frange brillante voisine ? en déduire la différence d’indice correspondante. A.N : l = 1,5 m
7.2.c. On peut déceler au mieux le déplacement de 0,1 frange ; calculer la plus petite différence d’indice
décelable ; cela permet-il de différentier l’air (1,000293) du monoxyde de carbone (1,000334) ?
7.3. Dans l’expérience réalisée par Fizeau en 1851, un tube parcouru par de l’eau d’indice n = 1, 33 est placé sur
le chemin des rayons lumineux, de façon que la vitesse du courant soit inversée pour les deux rayons :
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Cette expérience avait pour but de montrer que la loi classique de composition des vitesses ne s’appliquait pas
à la lumière.
7.3.a. Dans un référentiel lié à l’eau, la célérité de la lumière est v0 = c/n ; Déterminer, en utilisant la loi
classique de composition des vitesses, la célérité de la lumière dans les deux tubes par rapport au laboratoire.
7.3.b. Calculer la différence de marche introduite par le mouvement du fluide. A.N : V = 7 m · s−1 ;
c = 3,00 × 108 m · s−1 .
7.3.c. En déduire quel serait le déplacement de la frange centrale lorsque l’eau s’écoule dans le tube.
Fizeau cherchait en fait à vérifier l’hypothèse de Fresnel, suivant laquelle, l’« éther », n’était que partiellement
entrainé par l’écoulement du liquide, en posant la vitesse d’entraînement V 0 :
V 0 = V(1 − 1/n2 )
(1)
7.3.d. En déduire le déplacement de la frange centrale attendu compte tenu de cette hypothèse. Faire
l’application numérique.
7.3.e. On double l’amplitude du phénomène en inversant le sens de parcours de l’eau : lors d’une
expérience il a été trouvé un déplacement de 0,20 frange ; indiquer lequel des deux calculs précédents est
validé.
7.4. La théorie de la relativité permet d’établir la relation correcte de composition des vitesses qui prend la
forme suivante :
v−V
v0 =
1 − vV
c2
où v0 = nc est la célérité dans le repère en mouvement lié à l’eau, v est la vitesse dans le repère lié au laboratoire,
et V (ou −V) la vitesse d’entrainement du référentiel liè à l’eau. Montrer que dans le cas où V nc on retrouve
l’expression 1 proposée par Fresnel.
Ex 8
Mesure de l’écart angulaire de deux étoiles par synthèse d’ouverture
Remarque : Aucune connaissance spécifique relative aux miroirs n’est nécessaire pour la compréhension de cet
exercice.
On masque toute la surface réfléchissante d’un miroir parabolique concave d’axe optique Sz, de foyer F, de sommet
S et de distance focale f 0 , par un matériau opaque, sauf deux petits trous S1 et S2 situés dans le plan de figure xSz de
part et d’autre de S de telle sorte que S2 S = SS1 = (a/2)ex . On observe l’éclairement dans le plan focale image xFy du
miroir. On traite le miroir parabolique comme un miroir sphérique et l’on se place dans l’approximation de Gauss.
8.1. Le dispositif est éclairé par une source ponctuelle monochromatique S0 de l’ongueur d’onde λ située à
l’infini dans la direction ez . On admet que les deux trous S1 et S2 se comportent comme des sources ponctuelles
fictives cohérentes émettant des ondes dont l’amplitude complexe est proportionnelle à l’amplitude complexe
de l’onde reçue. Soit M un point du plan focal image tel que F0 M = xez . Les rayons lumineux associés aux deux
ondes qui se superposent en M sont tracés sur la figure ci-dessous :
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8.1.a. Montrer que la différence de marche entre les deux ondes vaut δ0 = ax/ f 0 . On limitera les calculs à
l’ordre un en x/ f 0 et en a/ f 0 .
8.1.b. Etablir l’expression de l’éclairement E0 (M) en fonction de a, x, f 0 , λ et de sa valeur E0 si l’on cache
l’un des deux trous.
8.1.c. On admet que l’expression de l’éclairement calculée dans le plan y = 0 reste valable pour y , 0
sur l’écran. Qu’observe-t-on dans le plan focal image ? Faire apparaître une distance caractéristique et la
calculer pour λ = 600 nm, f 0 = 8 m et a = 15 cm.
8.2. Le dispositif est éclairé par une étoile double constituée de deux sources ponctuelles distinctes, S0 déjà
décrite, et S”, de même luminosité que S0 mais situé à l’infini dans une direction faisant un angle α avec l’axe
optique du miroir.
8.2.a. Soit M un point du plan focal image tel que F0 M = xex . Tracer les rayons lumineux (S”S1 M) et
(S”S2 M) et exprimer la différence de marche δ” en fonction de α, a, x et f 0 .
8.2.b. En déduire que l’éclairement E(M) se met sous la forme :
2πa(x − x0 )
E(M) = 4E0 1 + V cos
λf0
!!
où V et x0 sont des constantes que l’on exprimera en fonction de α, a, f 0 et λ.
8.2.c. On fait varier continûment la valeur de a jusqu’à atteindre la plus petite valeur am pour laquelle les
franges se brouillent. Montrer que cela permet de mesurer α. Sachant que a ne peut dépasser le diamètre du
bord du télescope soit 3 m, calculer en secondes d’arc le plus petit angle α mesurable. Pourquoi ce procédé
de mesure de α ne peut-il pas fonctionner en lumière blanche ? Est-ce génant ?
Ex 9
Interférences à trois ondes
On reprend un dispositif similaire aux fentes d’Young mais cette fois, au lieu de deux fentes, le dispositif interférométrique comprend trois fentes, l’une est sur l’axe optique Oz du dispositif et les deux autres sont situées de part et
d’autre sur l’axe Ox, à une distance a de l’axe. Chaque fente est d’épaisseur e très fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse l selon Oy très grande.
On admet que ces fentes se comportent comme des sources ponctuelles secondaires cohérentes. Une source ponctuelle S monochromatique est placée sur l’axe optique Oz du système des fentes à une distance DS e et un écran
d’observation est placé à une distance DM . On repère par xM la coordonnée d’un point M d’observation de l’écran.
9.1. Jusitifier qu’il est possible d’avoir recours à la notation complexe pour calculer l’éclairement dans une
pareille situation.
9.2. Estimer la différence de marche entre l’onde 1 et 2 puis entre l’onde 2 et 3 en fonction de a, xM et et DM .
9.3. En prenant prenant pour référence des phases l’onde 2, passant par la fente située sur l’axe optique, donner
l’amplitude complexe totale des ondes.
9.4. En déduire l’éclairement total résultant. Commenter. Faire un graphique en vous aidant de votre calculatrice,
regarder l’amplitude maximale, regarder la première annulation de l’amplitude.
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