Optique ondulatoire Ex 1 Calcul de l`éclairement des interférences à

Lycée Newton - PT OO - TD2 - Interférences à deux ondes
Optique ondulatoire
TD no2 : Interférences à deux ondes
Ex 1 Calcul de l’éclairement des interférences à deux ondes - Utilisation des
amplitudes complexes
On considère deux ondes de même amplitude, de même longueur d’onde, issues d’une même source mais ayant
suivies deux trajets différents et dont la différence de marche δ=[SM]2−[SM]1est faible.
1.1. Justifier en précisant le dernier critère « δfaible » que les ondes sont cohérentes.
1.2. En prenant comme référence de phase l’onde 1, exprimer l’amplitude complexe de l’onde 1 et de l’onde 2.
1.3. Calculer alors l’éclairement en fonction de δ, sachant qu’il peut se calculer directement à partir de l’amplitude
complexe a:
E(M)=|a(M)|2
Ex 2 Etude du dispositif des fentes d’Young
Le dispositif des fentes d’Young est constitué d’un jeu de bifente d’épaisseur etrès fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse lselon Oy très grande. On admet que ces deux fentes se comportent comme des sources ponctuelles
secondaires cohérentes. Elles sont écartées d’une distance aselon Ox.
Une source ponctuelle Smonochromatique est placée sur l’axe optique Oz du système des fentes à une distance
DSeet un écran d’observation est placé à une distance D. On repère par xla coordonnée d’un point Md’observation
de l’écran.
2.1. S’agit-il d’un dispositif interférométrique à division d’amplitude ou division du front d’onde ?
2.2. Calculer la différence de marche entre les deux ondes passant par les deux fentes à l’aide de développements
limités.
2.3. En déduire alors l’éclairement E(x).
2.4. Calculer l’interfrange.
2.5. Justifier qu’en connaissant la distante a, et en comptant plusieurs interfranges, on peut accéder facilement
à la longueur d’onde de la source.
2.6. On intercalle contre une des deux fentes un lame de verre d’indice nà face parallèle. En déduire alors
la nouvelle différence de marche. Que dire de la frange située en xM=0 ? Cette expérience est elle facilement
exploitable ainsi. Quelle amélioration proposer ?
Ex 3 Miroirs de Fresnel
Le dispositif des miroirs de Fresnel est constitué de deux miroirs plans formant un dièdre d’angle αtrès faible et
réglable. Une source ponctuelle Sest placée à faible distance des deux miroirs selon la géométrie visible sur la figure
ci-dessous, cette source est monochromatique. Un écran d’observation placé relativement loin du dispositif n’est pas
représenté sur la figure. Il est situé à une distance Dtelle que Dhet Dd,Dest mesurée à partir du point O.
Figure 1 – Miroirs de Fresnel
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3.1. Expliquer pourquoi il y a obtention d’interférences. On montrera, en outre, que ce dispositif est équivalent
à un dispositif d’Young, on déterminera la position des deux points sources secondaires équivalents ainsi que
la distance aqui les sépare.
3.2. Décrire, alors, comment doit-être placé l’écran pour être dans la situation des trous d’Young. Etablir avec
précision ce que l’on voit sur l’écran, on calculera en particulier l’interfrange.
Ex 4 Fentes d’Young avec une source étendue monochromatique
Le dispositif des fentes d’Young est constitué d’un jeu de bifente d’épaisseur etrès fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse lselon Oy très grande. On admet que ces deux fentes se comportent comme des sources ponctuelles
secondaires cohérentes. Elles sont écartées d’une distance aselon Ox.
4.1. Dans cette première question, on considère une source ponctuelle Smonochromatique, placée hors l’axe
optique du système des fentes à une distance DSe. Son abscisse est repérée par la coordonnées xS. Un écran
d’observation est placé à une distance DM. On repère par xMla coordonnée d’un point Md’observation de l’écran.
Calculer la différence de marche entre les deux ondes passant par les deux fentes à l’aide de développements
limités en fonction de xSet xM. Cette fois-ci, on proposera une démonstration simplifiée.
4.2. En déduire alors l’éclairement E(xS,xM) dû à la source ponctuelle.
4.3. On s’intéresse maintenant à une source non ponctuelle de largeur dSplacée sur l’axe optique, entre −dS/2
et +dS/2. Cette source est discrétisée en une somme de source ponctuelles incohérentes entre elles. Calculer
l’éclairement résultant de la source non ponctuelle.
4.4. A partir du résultat de la question précédente, définir un facteur de constraste.
4.5. Regarder la première annulation du facteur de contraste et interpréter le.
Ex 5 Etude du dispositif des fentes d’Young avec une lampe au sodium
Le dispositif des fentes d’Young est constitué d’un jeu de bifente d’épaisseur etrès fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse lselon Oy très grande. On admet que ces deux fentes se comportent comme des sources ponctuelles
secondaires cohérentes. Elles sont écartées d’une distance aselon Ox.
Une source ponctuelle Smonochromatique est placée sur l’axe optique Oz du système des fentes à une distance
DSeet un écran d’observation est placé à une distance DM. On repère par xMla coordonnée d’un point M
d’observation de l’écran.
On suppose la source composée de deux raies très proches, le doublet du sodium : λ1=λ0−∆λ
2et λ2=λ0+∆λ 2où
∆λλ0.
5.1. Les deux raies sont-elles cohérentes entre elles ?
5.2. Calculer l’éclairement sur l’écran.
5.3. A partir du résultat ci-dessus, définir un facteur de constraste.
5.4. Regarder la première annulation du facteur de contraste et interpréter-le.
Ex 6 Etude du dispositif des fentes d’Young avec une source non monochro-
matique
Le dispositif des fentes d’Young est constitué d’un jeu de bifente d’épaisseur etrès fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse lselon Oy très grande. On admet que ces deux fentes se comportent comme des sources ponctuelles
secondaires cohérentes. Elles sont écartées d’une distance aselon Ox.
La source n’est cependant plus monochromatique mais composée d’une raie de largueur ∆σcentrée sur un nombre
d’onde σ0=1
λ0. La densité spectrale de la lampe est uniforme (valeur A) sur l’intervalle [σ0−∆σ/2, σ0+ ∆σ/2] et
nulle ailleurs. On parle alors de profil spectral carré en nombre d’onde.
6.1. Calculer l’éclairement résultant de la source non monochromatique.
6.2. A partir du résultat de la question précédente, définir un facteur de constraste.
6.3. Regarder la première annulation du facteur de contraste et interpréter-le.
Ex 7 Expérience de Fizeau
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7.1. On considère le dispositif expérimental suivant comportant une fente source S(lumière monochromatique
de longueur d’onde λ0, deux lentilles minces convergentes L1et L2, un plan percé de deux fentes identiques F1
et F2distantes de a, et un écran ; l’indice de l’air est égal à 1,000.
7.1.a. Décrire précisément le rôle de chaque élément et la construction ci-dessus.
7.1.b. Exprimer la différence de marche δentre les rayons 1 et 2 interférant en Men fonction de aet θ.
7.1.c. En déduire l’éclaire E(M) au point Men fonction de l’éclairement E0d’une fente, de y,a,f0et λ0.
7.1.d. Décrire ce qu’on observe sur l’écran, et calculer l’interfrange i; A.N : λ0=530 nm, a=0,350 mm,
f0=0,50 m.
7.2. On complète le dispositif précédent par deux cuves identiques de longueur utile ltraversées chacune par
un des deux faisceaux de rayons issus des fentes et remplies de deux gaz d’indices respectifs n1et n2;
7.2.a. Rappeler la relation entre la célérité cde la lumière dans le vide, la célérité vdans un milieu, et
l’indice ndu milieu ; on suppose pour cette question seulement que n1=n2. Qu’observe-t-on en O?
7.2.b. Pour quelle variation de la différence de marche, une frange brillante en Oest-elle remplacée par
la frange brillante voisine ? en déduire la différence d’indice correspondante. A.N : l=1,5 m
7.2.c. On peut déceler au mieux le déplacement de 0,1 frange ; calculer la plus petite différence d’indice
décelable ; cela permet-il de différentier l’air (1,000293) du monoxyde de carbone (1,000334) ?
7.3. Dans l’expérience réalisée par Fizeau en 1851, un tube parcouru par de l’eau d’indice n=1,33 est placé sur
le chemin des rayons lumineux, de façon que la vitesse du courant soit inversée pour les deux rayons :
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Cette expérience avait pour but de montrer que la loi classique de composition des vitesses ne s’appliquait pas
à la lumière.
7.3.a. Dans un référentiel lié à l’eau, la célérité de la lumière est v0=c/n; Déterminer, en utilisant la loi
classique de composition des vitesses, la célérité de la lumière dans les deux tubes par rapport au laboratoire.
7.3.b. Calculer la différence de marche introduite par le mouvement du fluide. A.N : V=7 m ·s−1;
c=3,00 ×108m·s−1.
7.3.c. En déduire quel serait le déplacement de la frange centrale lorsque l’eau s’écoule dans le tube.
Fizeau cherchait en fait à vérifier l’hypothèse de Fresnel, suivant laquelle, l’« éther », n’était que partiellement
entrainé par l’écoulement du liquide, en posant la vitesse d’entraînement V0:
V0=V(1 −1/n2) (1)
7.3.d. En déduire le déplacement de la frange centrale attendu compte tenu de cette hypothèse. Faire
l’application numérique.
7.3.e. On double l’amplitude du phénomène en inversant le sens de parcours de l’eau : lors d’une
expérience il a été trouvé un déplacement de 0,20 frange ; indiquer lequel des deux calculs précédents est
validé.
7.4. La théorie de la relativité permet d’établir la relation correcte de composition des vitesses qui prend la
forme suivante :
v0=v−V
1−vV
c2
où v0=c
nest la célérité dans le repère en mouvement lié à l’eau, vest la vitesse dans le repère lié au laboratoire,
et V(ou −V) la vitesse d’entrainement du référentiel liè à l’eau. Montrer que dans le cas où Vnc on retrouve
l’expression 1 proposée par Fresnel.
Ex 8 Mesure de l’écart angulaire de deux étoiles par synthèse d’ouverture
Remarque : Aucune connaissance spécifique relative aux miroirs n’est nécessaire pour la compréhension de cet
exercice.
On masque toute la surface réfléchissante d’un miroir parabolique concave d’axe optique Sz, de foyer F, de sommet
Set de distance focale f0, par un matériau opaque, sauf deux petits trous S1et S2situés dans le plan de figure xSz de
part et d’autre de Sde telle sorte que S2S=SS1=(a/2)ex. On observe l’éclairement dans le plan focale image xFy du
miroir. On traite le miroir parabolique comme un miroir sphérique et l’on se place dans l’approximation de Gauss.
8.1. Le dispositif est éclairé par une source ponctuelle monochromatique S0de l’ongueur d’onde λsituée à
l’infini dans la direction ez. On admet que les deux trous S1et S2se comportent comme des sources ponctuelles
fictives cohérentes émettant des ondes dont l’amplitude complexe est proportionnelle à l’amplitude complexe
de l’onde reçue. Soit Mun point du plan focal image tel que F0M=xez. Les rayons lumineux associés aux deux
ondes qui se superposent en Msont tracés sur la figure ci-dessous :
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8.1.a. Montrer que la différence de marche entre les deux ondes vaut δ0=ax/f0. On limitera les calculs à
l’ordre un en x/f0et en a/f0.
8.1.b. Etablir l’expression de l’éclairement E0(M) en fonction de a,x,f0,λet de sa valeur E0si l’on cache
l’un des deux trous.
8.1.c. On admet que l’expression de l’éclairement calculée dans le plan y=0 reste valable pour y,0
sur l’écran. Qu’observe-t-on dans le plan focal image ? Faire apparaître une distance caractéristique et la
calculer pour λ=600 nm, f0=8 m et a=15 cm.
8.2. Le dispositif est éclairé par une étoile double constituée de deux sources ponctuelles distinctes, S0déjà
décrite, et S”, de même luminosité que S0mais situé à l’infini dans une direction faisant un angle αavec l’axe
optique du miroir.
8.2.a. Soit Mun point du plan focal image tel que F0M=xex. Tracer les rayons lumineux (S”S1M) et
(S”S2M) et exprimer la différence de marche δ” en fonction de α,a,xet f0.
8.2.b. En déduire que l’éclairement E(M) se met sous la forme :
E(M)=4E0 1+Vcos 2πa(x−x0)
λf0!!
où Vet x0sont des constantes que l’on exprimera en fonction de α,a,f0et λ.
8.2.c. On fait varier continûment la valeur de ajusqu’à atteindre la plus petite valeur ampour laquelle les
franges se brouillent. Montrer que cela permet de mesurer α. Sachant que ane peut dépasser le diamètre du
bord du télescope soit 3 m, calculer en secondes d’arc le plus petit angle αmesurable. Pourquoi ce procédé
de mesure de αne peut-il pas fonctionner en lumière blanche ? Est-ce génant ?
Ex 9 Interférences à trois ondes
On reprend un dispositif similaire aux fentes d’Young mais cette fois, au lieu de deux fentes, le dispositif interféro-
métrique comprend trois fentes, l’une est sur l’axe optique Oz du dispositif et les deux autres sont situées de part et
d’autre sur l’axe Ox, à une distance ade l’axe. Chaque fente est d’épaisseur etrès fine selon l’axe Ox et de longueur
transverse lselon Oy très grande.
On admet que ces fentes se comportent comme des sources ponctuelles secondaires cohérentes. Une source ponc-
tuelle Smonochromatique est placée sur l’axe optique Oz du système des fentes à une distance DSeet un écran
d’observation est placé à une distance DM. On repère par xMla coordonnée d’un point Md’observation de l’écran.
9.1. Jusitifier qu’il est possible d’avoir recours à la notation complexe pour calculer l’éclairement dans une
pareille situation.
9.2. Estimer la différence de marche entre l’onde 1 et 2 puis entre l’onde 2 et 3 en fonction de a,xMet et DM.
9.3. En prenant prenant pour référence des phases l’onde 2, passant par la fente située sur l’axe optique, donner
l’amplitude complexe totale des ondes.
9.4. En déduire l’éclairement total résultant. Commenter. Faire un graphique en vous aidant de votre calculatrice,
regarder l’amplitude maximale, regarder la première annulation de l’amplitude.
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