RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire
Stéphane Mottelet
Université de Technologie de Compiègne
Printemps 2003
5

Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
2II
Sommaire
I Motivations et notions fondamentales 4
I.1 Motivations ........................................ 5
I.2 Formes quadratiques .................................. 13
I.3 Rappels de calcul différentiel .............................. 19
I.4 Notions sur la convexité ................................. 25
I.5 Résultats d’existence et d’unicité ............................ 33
I.6 Conditions nécessaires d’optimalité en l’absence de contraintes .......... 37
Exemples du chapitre I ...................................... 41
Exercices du chapitre I ...................................... 49
II Les méthodes de gradient 54
II.1 Les méthodes de descente ............................... 55
II.2 Les méthodes de gradient ................................ 58
Exemples du chapitre II ...................................... 62
III La méthode du gradient conjugué 65
III.1 Introduction ........................................ 66
III.2 La méthode du gradient conjugué ........................... 72

Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
JJ 3
III.3 Interprétation de la méthode du gradient conjugué .................. 78
IV Méthodes de recherche linéaire 84
IV.1 introduction ........................................ 85
IV.2 Caractérisation de l’intervalle de sécurité ....................... 88
V Méthodes de Quasi-Newton 98
V.1 Introduction ........................................ 99
V.2 Les méthodes de quasi-Newton ............................104
V.3 Méthodes spécifiques pour les problèmes de moindres carrés ...........118
VI Conditions d’optimalité en optimisation avec contraintes 121
VI.1 Les conditions de Lagrange ...............................122
VI.2 Les conditions de Kuhn et Tucker ............................133
VI.3 Exemples de problèmes .................................140
VI.4 Conditions suffisantes d’optimalité ...........................146
VII Méthodes primales 151
VII.1 Contraintes d’égalité linéaires ..............................152
VII.2 Contraintes d’inégalité linéaires .............................159
VII.3 Méthodes de pénalisation ................................163
VII.4 Méthodes par résolution des équations de Kuhn et Tucker ..............170
Exemples du chapitre VII .....................................176
VIII Méthodes utilisant la notion de dualité 178
VIII.1 Elements sur la dualité .................................179
VIII.2 Methodes duales .....................................184

Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
suivant I
4
Chapitre I
Motivations et notions fondamentales
I.1 Motivations ......................................... 5
I.2 Formes quadratiques .................................... 13
I.3 Rappels de calcul différentiel ............................... 19
I.4 Notions sur la convexité .................................. 25
I.5 Résultats d’existence et d’unicité ............................. 33
I.6 Conditions nécessaires d’optimalité en l’absence de contraintes ........... 37
Exemples du chapitre I ....................................... 41
Exercices du chapitre I ....................................... 49

Sommaire
Concepts
Notions
Exemples
Exercices
Documents
chapitre Nsection suivante I
5
I.1 Motivations
I.1.1 Formulation générale des problèmes d’optimisation non linéaire ..... 6
I.1.2 Un exemple en régression non-linéaire .................... 8
I.1.3 Un exemple en mécanique ........................... 10