Correction des exercices d`arithmétique

Correction des exercices dʼarithmétique
Exercice 1
Le plus petit nombre entier positif obtenu en poursuivant de la même manière cette suite de soustractions
est le reste de la division euclidienne de 4937 par 19.4937=19x259+16 donc cʼest 16.
Exercice 2
1) a) Nombre terminant la liste « 61, 57, 53, ... »
Méthode 1
En continuant à décompter de 4 en 4, on obtient :
61, 57, 53, 49, 45, 41, 37, 33, 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1.
Le nombre qui termine la liste est 1.
Méthode 1 (bis)
On continue le décompte en retirant des multiples de 4. On part de 61, on retire 40, reste 21, on retire
20, reste 1.
Le nombre qui termine la liste est 1.
Méthode 2
Puisqu’on décompte de 4 en 4 à partir de 61, on cherche combien de fois au maximum on peut
enlever 4 de 61. Or 61 = (4 x 15) + 1 donc le dernier nombre est 1. C’est le reste de la division
euclidienne de 61 par 4.
Le nombre qui termine la liste est 1.
1) b) Nombre terminant la liste commençant à 9 843
Remarque :
Dans cette question la valeur importante de la variable empêche d’utiliser la méthode 1 précédente.
Méthode 1
On part de 9 843, on retire 4 000, reste 5 843, on retire 4 000, reste 1 843, on retire 1 000, reste 843,
on retire 800, reste 43, on retire 40, reste 3.
Le nombre qui termine la liste est 3.
Méthode 2
Effectuer des soustractions successives de 4 à partir de 9 843 et rechercher le nombre entier à partir
duquel on ne peut plus soustraire 4 revient à chercher le reste de la division euclidienne de 9 843 par 4.
On a : 9 843 = 4 x 2 460 + 3 donc le reste de la division euclidienne de 9 843 par 4 est 3.
Le nombre qui termine la liste est 3.
1) c) Nombre de termes de la liste
Dans la liste « 9 843, 9 839, ..., 7, 3 », on a 2 460 termes correspondant aux 2 460 retraits successifs
de 4, auxquels il convient d’ajouter le premier terme 9 843.
La liste comporte 2 461 termes.
1) d) Le 100e terme de la liste
9 843 étant le premier terme de la liste, pour obtenir le 100e terme, il suffit de soustraire 99 fois le
nombre 4 à 9 843.
9 843 – (99 x 4) = 9 447
Le 100ème terme de la liste est 9 447.
Remarque :
Cette question correspond à la situation classique « piquets – intervalles ». Les nombres de la liste
correspondent aux piquets, les soustractions successives aux intervalles. Ainsi, le 100ième nombre est
obtenu à la 99ième soustraction.
2) a) Quotient et reste de la division euclidienne de 16 135 407 par 4 548
On a : 16 135 407 = (4 548 x 3 547) + 3 651.
Puisque 3 651 < 4 548, l’égalité précédente est l’égalité de la division euclidienne de 16 135 407 par
4 548.
Dans la division euclidienne de 16 135 407 par 4 548, le quotient est 3 547 et le reste est 3 651.
2) b) Quotient et reste de la division euclidienne de 16 135 407 par 3 547
Puisque 3 651 ≥ 3 547, l’égalité 16 135 407 = (4 548 x 3 547) + 3 651 ne permet pas de conclure sur
la division euclidienne de 16 135 407 par 3 547.
Or 3 651 = 3 547 + 104
Ainsi 16 135 407 = (4 548 x 3 547) + 3 651
= (4 548 x 3 547) + 3 547 + 104
= (4 548 + 1) x 3 547 + 104
= (4 549 x 3 547) + 104 et 104 < 3 547
Dans la division euclidienne de 16 135 407 par 3 547, le quotient est 4 549 et le reste est 104.

3) Quotient et reste de la division euclidienne de 8 640 219 par 1 996
8 640 219 = 8 x 1 000 000 + 6 x 100 000 + 4 x 10 000 + 219
= 8 x (1 996 x 501 + 4) + 6 x (1 996 x 50 + 200) + 4 x (1 996 x 5 + 20) + 219
= 1 996 x [(8 x 501) + (6 x 50) + (4 x 5)] + (8 x 4) + (6 x 200) + (4 x 20) + 219
= 1 996 x (4 008 + 300 + 20) + 32 + 1 200 + 80 + 219
= (1 996 x 4 328) + 1 531
On a donc : 8 640 219 = (1 996 x 4 328) + 1 531 avec 1 531 < 1 996, ce qui permet de conclure.
Dans la division euclidienne de 8 640 219 par 1 996, le quotient est 4 328 et le reste est 1531.
Exercice 3
Dans une semaine il y a 7 jours. Il sʼagit donc de déterminer le nombre de semaines dans 300 jours, soit
combien de fois 7 jours est contenu dans 300 jours. Cʼest un problème de division euclidienne : on connaît
le dividende : 300 et le diviseur : 7 et on doit chercher le quotient q et le reste r tels que 300 = 7 x q + r avec
0 ≤ r <7. On a 300 = 7 x 42 + 6.
On en déduit que 42 semaines et 6 jours se seront écoulés à partir dʼaujourdʼhui, vendredi. Dans 300 jours,
nous serons donc un jeudi.
Exercice 4
1) On doit avoir: D < 4500, D = 82 d + 45 et 45 < d, en particulier 82 d + 45 < 4500, c'est à dire d ≤54.
A chaque valeur de d comprise entre 46 et 54 correspond une valeur D, 82 d + 45, donnant un couple (D, d)
solution.
d : 46 47 48 49 50 51 52 53 54
D= 82 d + 45 : 3817 3899 3981 4063 4145 4227 4309 4391 4473
2) On doit avoir: D < 4500, D = 82 d + 112 et 112 < d, en particulier 82 d + 112 < 4500, c'est à dire d ≤ 53. Il
n'y a pas de solution! Car d doit être aussi inférieur à 112.
3)
€
82d+r<4500
0≤r<d
#
$
%
implique
€
82d<4500
0≤r<d
#
$
%
donc
€
d≤54
0≤r<d
#
$
%
L'existence d'un couple solution rend nécessaire la condition 0 ≤ r ≤ 53. Cette condition est suffisante car
alors: 82 x 54 + r ≤ 82 x 54 + 53 < 4500.
Si r > 53, il n'y a pas de solution.
Si r ≤ 53, il y a au moins un couple solution.
4) D=37q + q =38q d st un multiple de 38 et D est un nombre à deux chiffres donc D=38 et q=1 ou D=76 et q=2
Exercice 5
Lʼégalité : 3431 =71 x 48 + 23 traduit la division euclidienne de 3431 par 71 avec un quotient égal à 48 et un
reste égal à 23.
3453 = 3431 + 22 donc 3453 = 71 x 48 + 45 ; 45 et inférieur à 71 donc cette égalité traduit la division
euclidienne de 3453 par 71 avec un quotient égal à 48 et un reste égal à 45.
3481 = 71 x 48 + 73 mais 73 est supérieur à 71 donc cette égalité ne traduit pas la division euclidienne de
3481 par 71.
Cependant 73 = 71 +2 donc 3481 = 71 x 48 +71 +2 donc 3481 = 71 x 49 +2 cette égalité traduit la division
euclidienne de 3481 par 71 avec un quotient égal à 49 et un reste égal à 2.
3376 = 71 x 48+23 – 55 = 71 x 48 -32 : cette égalité ne traduit pas la division euclidienne de 3481 par 71
car le reste ne peut être négatif mais 71 x 48 = 71 x 47 +71 donc 3376 = 71 x 47 +71-32
donc 3376 = 71 x 47 + 39 : cette égalité traduit la division euclidienne de 3376 par 71 avec un quotient égal
à 47 et un reste égal à 39.
Exercice 6
100 = 99 +1 donc 100= 9 x 11 + 1
1000 = 999 + 1 donc 1000 = 9 x 111 +1
10000 = 9999 +1 donc 10000 = 9 x 1111 +1
Ainsi, on peut penser que, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 1, le reste de la division euclidienne
de 10n par 9 est 1 : 10n=9 x
€
111...11
+1 où
€
111...11
est un nombre qui ne sʼécrit quʼavec n chiffres égaux à 1
Exercice 7
1) Le nombre n de livres composant le stock est donc égal à un nombre entier de fois 54, soit q x 54 où q
est un nombre entier naturel. Autrement dit, cʼest un multiple de 54.
Comme le nombre total de livres est au moins égal à 1500 et au plus égal à 1800, on écrire :
1 500 ≤ q x 54 < 1 800.
Il sʼagit donc de chercher les multiples de 54 compris entre 1500 et 1800.
En effectuant la division euclidienne de 1500 et 1800 par 54, on trouve que 1500 = 27x54 + 42 et que
1800 = 33x54+ 18. On déduit que le premier multiple de 54, supérieur à 1500, est 28x54 et que le dernier
multiple de 54, inférieur à 1800, est 33x54. Les multiples de 54 compris entre 1500 est 1800 sont de la
forme qx54 avec 28≤q≤33, soit : 28x54 = 1512 ; 29x54 = 1566 ; 30x54 = 1620 ; 31x54 = 1674 ;
32x54 = 1728 ; 33x54 = 1782.
Ces nombres correspondent au nombre de livres composant le stock de lʼéditeur. Il y a donc plusieurs
possibilités.
2) Soit p le nombre de livres dans un carton. Le nombre n de livres du stock est égal à 15 x p. 15 est donc
un diviseur de n. Dʼaprès ce qui précède : n peut être égal à 1512, 1566, 1620, 1674, 1728, et 1782. Mais n
doit être divisible par 15 donc à la fois par 5 et par 3. Seul 1620 est divisible par 15 : en effet, les autres
nombres ne sont pas divisibles par 5 donc ils ne sont pas divisibles par 15. 1620 = 108x15 Le stock de
livres comprend 1620 livres et chaque carton contient 108 livres

Multiples et diviseurs, critères de divisibilité, nombres premiers
Exercice 1
1. Utilisons un contre-exemple pour montrer que cette proposition est fausse:
le nombre 3 lui-même est multiple de 3, mais n'est pas multiple de 9.
2. Cette proposition est vraie: un nombre divisible par 4 s'écrit 4 x k, où k est un entier naturel.
Il s'écrit aussi 2 x 2 x k, il est donc divisible par 2.
3. Utilisons à nouveau un contre-exemple pour montrer que cette proposition est fausse:
10 est divisible par 2, mais pas par 4.
4. Cette proposition est vraie: en effet, tout nombre n multiple de 12 peut s'écrire n = k x 12 = k x 3 x 4;
ce nombre n est donc multiple de 4, ce qui signifie qu'il est divisible par 4.
5. Cette proposition est fausse: en effet, tout nombre premier est divisible seulement par 1 et par lui-même;
2 est un nombre premier divisible par 1 et par lui-même, or 2 est un nombre pair.
6. Cette proposition est fausse: en effet, 2 et 7 sont des nombres premiers, mais 2 + 7 = 9 n'est pas
un nombre premier.
Remarque: Un exemple suffit à montrer qu'une proposition est fausse; on parle dans ce cas de contre-
exemple.
Mais un exemple ou plusieurs exemples ne prouvent pas qu'une proposition est vraie.
Exercice 2
15 est multiple de 5 sans être multiple de 10 .Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5 et les multiples de
10 par 0 ; donc les multiples de 5 se terminant par 5 sont des multiples de 5 sans être des multiples de 10.
Tous les multiples de 10 sont des multiples de 5.
Plus généralement si a est un multiple de b et best multiple de c alors a est un multiple de c.
En effet si a est un multiple de b alors, il est un entier naturel q tel que a=b x q et si b est un multiple de c
alors, il est un entier naturel qʼ tel que b=c x qʼ ainsi a= c x (qʼ x q) et qʼ x q est un entier naturel donc a est
un multiple de c
282828 est égal à 28 x1000 +28x100 + 28 donc à 28x (1000+100+1) or 28=4 x 7 donc 282828= 7x 4x 1101
Cʼest donc un multiple de 7.
56 = 1 x 56, 56 = 2 x 28, 56 = 4 x 14, 56 = 7 x 8 .Les entiers naturels qui 56 pour multiples sont les diviseurs
de 56 :1, 2, 4, 7, 8, 14, 28,56.
Les diviseurs de 48 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24,48 .8, 16,24 et 48 ne sont pas des diviseurs de 12.
Mais 12 divise 48 donc tout diviseur de 12 est un diviseur de 48.
Exercice 3
Nous allons essayer dʼexprimer chacun de ces nombres en une somme de nombres divisibles par 9.
A=10a4= 1000 + 10xa + 4 = 999 + 1 + 9xa +a + 4 = 999 + 9xa + 1 + a + 4 = 999 + 9xa + a + 5.
Comme 999 et 9xa sont divisibles par 9, 999 + 9xa est divisible par 9. Pour que A soit divisible par 9, il suffit
que a+5 le soit aussi. Or a est un chiffre, il ne peut être compris quʼentre 0 et 9. La seule possibilité pour
que a+5 soit divisible par 9 est que a soit égal à 4. A = 1044
On remarque que a+5 =1+a+4 est la somme des chiffres du nombre A.
B=31a = 3x100 + 1x10 + a = 3x (99 + 1) + 1x (9+1) + a = 3x99 + 3 + 1x9 + 1 + a = 3x99 + 1x9 + 3 + 1 + a =
3x99 + 1x9 + 4+a
3x99 et 1x9 sont divisibles par 9. Pour que B soit divisible par 9, il suffit que 4+ a le soit. Comme 0≤a≤9, la
seule possibilité est que a=5. B = 315
On remarque 4+a = 3+1+a est la somme des chiffres du nombre B.
C=a6324 = ax10 000 + 6 x1000 + 3x100 + 2 x 10 + 4
= a x (9 999 + 1) + 6 x (999 +1) + 3 x (99 +1) + 2 x (9+1) + 4
= a x 9 999 + a + 6x999 + 6 + 3 x 99 + 3 + 2 x 9 + 2 + 4
= a x 9 999 + 6x999 + 3x99 + 2 x 9 + a + 6 + 3 + 2 + 4 = a x 9 999 + 6x999 + 3x99 + a+15
Pour que C soit divisible par 9, il suffit donc que a + 15 le soit. Comme 0£a£9, la seule possibilité est que
a=3. C = 36324
On remarque que a+13 = a + 4 + 3 + 2 + 4 est la somme des chiffres du nombre C.
D= a56aa = ax10 000 + 8 x 1000 + 3 x 100 + ax10 + a
= a x (9 999 +1) + 5 x (999 +1) + 6 x (99 + 1) + a x(9 +1) +a
= a x9 999 + a + 5x999 + 5 + 6x99 +6 + a x9 +a +a
= a x9 999 +5x999 +6x99 + a x9 + a+ 5 +6 +a + a = a x9 999 +5x999 +6x99 + a x9 +11 + 3xa
Pour que D soit divisible par 9 il suffit que 11+ 3xa le soit. En essayant toutes les valeurs de a comprises
entre 0 et 9, on peut constater que 11+ 3xa nʼest jamais un multiple de 9.
Il nʼy a pas de solution.
On remarque que 11+ 3xa = a+ 5 +6 +a + a est la somme des chiffres de D.
On peut alors uniquement faire une hypothèse (puisque quʼil nʼest pas possible de déduire une condition
générale en raisonnant uniquement à partir dʼexemples aussi nombreux soient-ils) concernant la condition
pour quʼun nombre soit divisible par 9 : la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 9.
Nous admettrons (sans le démontrer) que si la somme des chiffres qui composent un nombre est divisible
par 9 alors ce nombre est divisible par 9.
Exercice 4
Le tableau comprend 900 nombres.
Les nombres divisibles par 10 sont tous les nombres se terminant par le chiffre 0.
Pour chaque chiffre des centaines fixé, il y a 10 de ces nombres correspondant à un chiffre des dizaines
compris entre 0 et 9.Comme le chiffre des centaines varie entre 0 et 9, il y a alors 90 nombres se terminant
par 0 et donc divisibles par 10 dans le tableau.
Les nombres divisibles par 5 sont tous les nombres se terminant par 0 et par 5.
Ceux qui se terminent par 0 ont déjà été comptés.
Un raisonnement analogue à celui qui a permis de dénombrer les nombres divisibles par 10 montre qu'il
existe 90 nombres se terminant par 5 dans le tableau.

Le premier nombre divisible par 11 supérieur à 100 est 10 x 11 = 110; le dernier nombre divisible par 11
inférieur à 999 est 90 x 11 (91 x 11 = 1001). Les nombres du tableau divisibles par 11 sont donc de la
forme 11 x p, avec 10 ≤ p ≤ 90, p entier naturel. Il y a ainsi 81 de ces nombres. Parmi ces nombres il faut
enlever les multiples de10 et de 5 :11 x 10,11 x 15, 11x 20, 11 x 25, 11 x 30,11 x 35,11 x 40,11 x 45,
11 x 50,11 x 55, 11 x 60, 11 x 65,11 x 70, 11 x 75, 11 x80, 11x 85, 11 x 90.il reste donc 81-17 soit 64
nombres divisibles par11 mais pas par 10 ou 5
On a alors effacé en tout 90 + 90 + 64 = 244 nombres. Il reste donc 900 - 244 = 656 nombres dans le
tableau.
Exercice 5
• 1ère procédure possible
Soit abcdef l'écriture chiffrée du nombre cherché.
La deuxième condition peut se traduire par a < b < c < d < e < f.
La troisième condition peut se traduire par: les nombres ab, cd et ef sont des nombres premiers.
Les nombres premiers à deux chiffres sont:
11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59 ; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97·
En tenant compte de la deuxième condition, on trouve quatre possibilités pour le nombre cherché:
134789; 136789; 234789; 236789.
D'après la première condition, le nombre cherché est divisible par 3 et parmi les quatre possibilités
précédentes,
Seul 234789 est divisible par 3.
234789 est donc le nombre cherché.
• 2ème procédure possible
Puisque les nombres ab, cd et ef sont premiers, b, d et f sont impairs et différents de 5.
De plus, b < d < f; b ne peut être égal à 1, puisque a < b, d'où b = 3; d = 7 et f= 9·
Puisque d < e < f, e ne peut être égal qu'à 8, ef = 89 et 89 est bien un nombre premier.
Puisque b < c < d, et puisque c7doit être premier, c peut être égal soit à 4, soit à 6 puisque 47 et 67 sont
des nombres premiers. En revanche, c ne peut être égal à 5 puisque 57 nʼest pas premier.
Il y a donc deux possibilités pour cd 17 et 67. Comme a<b a peut être égal à 1 ou à 2.
On a les possibilités suivantes pour le nombre abcdef 134789, 136789, 234789 et 236789.
Parmi ces nombres seul 234789 est divisible par 3.
Exercice 6

Exercice 7
1) Reste des divisions euclidiennes par 6 et par 3
Il s’agit ici de divisions entre entiers, avec reste, c'est-à-dire de divisions euclidiennes. La division
euclidienne de l’entier a par l’entier b non nul est la recherche des entiers q et r tels que a = b x q + r
avec 0 ≤ r < b ; q représentant le quotient et r le reste de la division.
!
Remarque :
Les sommes des chiffres qui composent 21, 51 et 4 587 (respectivement 3, 6 et 24) étant divisibles
par 3, les sommes S1, S2 et S3 sont aussi divisibles par 3 et, par conséquent le reste de la division de
ces nombres par 3 est nul.
Les trois sommes ont pour reste 3 dans la division euclidienne par 6.
Les trois sommes ont pour reste 0 dans la division euclidienne par 3.
2) a) Division par 6 de la somme de trois entiers impairs consécutifs
Méthode 1
Tout nombre impair peut s’écrire sous la forme (2n + 1) avec n entier naturel quelconque.
En considérant que (2n + 1) est le plus petit des trois, les suivants sont (2n + 3) puis (2n + 5). Leur
somme S peut donc s’écrire :
S = (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5). On a donc S = 6n + 9 = 6n + 6 + 3.
Ceci peut s’écrire : S = 6(n + 1) + 3 (on reconnaît l’égalité caractéristique de la division euclidienne par 6).
Le reste de la division euclidienne par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs est 3.
Méthode 2
En considérant que (2n - 1) est le plus petit des trois entiers impairs consécutifs, les suivants sont
(2n + 1) puis (2n + 3). Leur somme S peut donc s’écrire :
S = (2n - 1) + (2n + 1) + (2n + 3). On a donc S = 6n + 3 (on reconnaît l’égalité caractéristique de la
division euclidienne par 6).
Le reste de la division euclidienne par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs est 3.
Méthode 3
En remarquant que les trois nombres sont des impairs consécutifs, le premier est celui du milieu
moins 2, et le dernier est celui du milieu plus 2, donc la somme est égale à trois fois le terme du
milieu. Le reste de la division euclidienne de cette somme par 3 est donc 0.
Comme le nombre central est impair, il peut s’écrire sous la forme (2n + 1), la somme des trois vaut
3 x (2n + 1), soit 6n + 3, le reste de la division euclidienne de cette somme par 6 est donc 3.
Le reste de la division euclidienne par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs est 3.
2) b) Division par 3
Méthode 1
En utilisant la méthode 1 de la question 2) a), on a : S = 6n + 9, soit S = 3(2n + 3) (on reconnaît
l’écriture caractéristique d’un multiple de 3).
Le reste de la division euclidienne par 3 de la somme de trois nombres impairs consécutifs est 0.
Méthode 2
En utilisant la méthode 2 de la question 2) a), on a : S = 6n + 3, soit S = 3(2n + 1) (on reconnaît
l’écriture caractéristique d’un multiple de 3).
Le reste de la division euclidienne par 3 de la somme de trois nombres impairs consécutifs est 0.
Méthode 3
D’après la méthode 3 de la question 2) a), la somme de trois entiers consécutifs est égale à trois fois
le terme du milieu, c’est donc un multiple de 3, par conséquent, le reste de la division euclidienne de
cette somme par 3 est 0.
Le reste de la division euclidienne par 3 de la somme de trois nombres impairs consécutifs est 0.
3) Nombres impairs consécutifs de somme 12 027
Dans cette question nous utilisons les mêmes méthodes, donc les mêmes notations que dans la
question précédente.
Méthode 1
Dans la méthode 1 de la question 2) a), on a S = 6n + 9. Donc on résout l’équation 6n + 9 = 12 027,
soit 6n = 12 018. On en déduit n = 2 003.