Cours: Sur les variétés pseudo-riemanniennes, spin c admettant des

Cours: Sur les variétés
pseudo-riemanniennes, spin c
admettant des spineurs parallèles
Ecole Cimpa
Marrakech, 19- 31 mai 2008
Aziz IKEMAKHEN
[email protected]
Faculté des Sciences et Techniques, B.P. 549 Guéliz-Marrakech-Maroc
2
Table des matières
1 Algèbres de Clifford
1.1 Algèbres tensorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Algèbres de Clifford , Définitions et Propriétés . . . .
1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Théorème fondamental de décomposition . . . . . . . .
1.5 Algèbres de Clifford des formes quadratiques réelles . .
1.6 Algèbres de Clifford complexes . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Représentation spinorielle de l’algèbre de Clifford Clr,s
2 Groupes Spin et Spinc
2.1 Groupes Pin(r,s) et Spin(r,s) . . .
2.1.1 Représentation spinorielle
2.1.2 Multiplication de Clifford
2.2 Groupes Spinc . . . . . . . . . .
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3 Variétés pseudo-riemanniennes spin
3.1 Structures spin et spinc . . . . . .
3.2 Fibrés spinoriels . . . . . . . . . . .
3.3 Connection spinorielle . . . . . . .
3.4 Spineurs parallèles . . . . . . . . .
3.5 Connexion spinc . . . . . . . . . . .
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et spinc
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7
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23
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28
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31
31
33
36
39
41
4 Sur les variétés pseudo-riemanniennes spin c admettant
des spineurs parallèles
43
4.1 Cas pseudo-riemannien spin irréductible . . . . . . . . .
43
3
4
TABLE DES MATIÈRES
4.2
4.3
4.4
Cas Riemannien spinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cas Lorentzien spinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problème ouvert et conclusion . . . . . . . . . . . . . .
44
46
48
Introduction
La notion de variétés pseudo-riemanniennes spinc admettant des spineurs parallèles a des applications en mathématique et physique, notamment en supergravité et la théorie du ”string”. Ces variétés sont caractérisées par leur groupe d’holonomie.
Le but de ce cours est de faire un survol sur les réponses principales au
problème suivant :
(P) Quels sont les groupes d’holonomie possibles d’une variété pseudoriemannienne (simplement connexe) spinc qui supporte des spineurs parallèles non triviaux ?
Pour cela, on va rappeler la notion d’algèbres de Clifford réelle et complexe. On rappelle aussi les notions de groupes Spin, Spinc et leurs
représentations spinorielles. On parlera de la notion de dérivée spinorielle
et on donnera une caractérisation de ces variétés pseudo-riemanniennes
par leur groupe d’holonomie. Et à la fin, on énoncera les résultats intéressants
au problème (P).
5
6
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Algèbres de Clifford
1.1
Algèbres tensorielles
Soient U et V deux espaces vectoriels sur K(= R ou C). Soit M (U, V )
l’espace vectoriel engendré par U × V , i.e. l’espace vectoriel engendré par
les paires (u, v), u ∈ U , v ∈ V . Désignons par N le sous espace vectoriel
de M (U, V ) engendré par les éléments de la forme :
(u + u0 , v) − (u, v) − (u0 , v), (u, v + v 0 ) − (u, v) − (u, v 0 )
(ru, v) − r(u, v), (u, rv) − r(u, v),
où u, u0 ∈ U , v, v 0 ∈ V et r ∈ K. Le produit tensoriel de U et V est
défini par :
U ⊗ V := M (U, V )/N.
Les éléments de U ⊗ V sont de la forme
X
ui ⊗ vi , ui ∈ U, vi ∈ V.
i
On considère l’application canonique suivante
U ×V
(u, v)
ϕ
−→ U ⊗ V
−→ u ⊗ v
Le produit tensoriel possède les propriétés suivantes :
7
8
CHAPITRE 1. ALGÈBRES DE CLIFFORD
Proposition 1.1. 1) les espaces suivants sont canoniquement isomorphes :
a) U ⊗ V ∼
= V ⊗ U.
b) U ⊗ (V ⊗ W ∼
= (U ⊗ V ) ⊗ W .
c) U ∗ ⊗ V ∼
= L(U, V ).
2) Si (ei )i=1,...,n et (fj )j=1,...,m sont deux bases respectives de U et V alors
(ei ⊗ fj )i=1,...,n et j=1,...,m est une base de U ⊗ V .
Si on note Vr l’espace vectoriel
Vr = V
... ⊗ V} .
| ⊗ {z
r fois
La somme directe
T (V ) =
M
Vr
r≥0
est dite l’algèbre tensorielle de V, avec V0 = R.
Les éléments de T (V ) (resp. de Vr ) sont dits des tenseurs (resp. des
tenseurs homogènes de type r).
Pour
u = u1 ⊗ ... ⊗ ur ∈ Vr
et
v = v1 ⊗ ... ⊗ vr0 ∈ Vr0
alors
u ⊗ v = u1 ⊗ ... ⊗ ur ⊗ v1 ⊗ ... ⊗ vr0 ∈ Vr+r0
1.2. ALGÈBRES DE CLIFFORD , DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 9
1.2
Algèbres de Clifford , Définitions et Propriétés
Soit (V, q) un K-espace vectoriel de dimension finie n (K = R ou C),
muni d’une forme quadratique q. Notons Iq le bidual de l’espace tensoriel
T (V ) engendré par les éléments de la forme
v ⊗ v + q(v).1, v ∈ V,
i.e. pour tous a, b ∈ T (V ), pour tout v ∈ V ,
a ⊗ (v ⊗ v + q(v).1) ⊗ b ∈ Iq
Définition 1.1. L’algèbre
Cl(V, q) := T (V )/Iq est dite l’algèbre de Clifford de (V, q).
Le produit dans Cl(V, q) sera noté · et il est défini pour u = π(e
u),
v = π(e
v ) ∈ Cl(V, q) par
u·v =u
e ⊗ ve + Iq ,
où π : T (V ) → Cl(V, q). L’algèbre de Clifford vérifie en fait la propriété
de l’application universelle suivante :
10
CHAPITRE 1. ALGÈBRES DE CLIFFORD
Théorème 1.1. Soit A une algèbre associative unitaire et f : V → A
une application linéaire telle que, pour tout v ∈ V ,
f (v)2 := f (v) · f (v) = −q(v) · 1A ,
(1.1)
où · désigne la multiplication dans l’algèbre A et 1A son élément unité.
Alors f se prolonge en un unique homomorphisme d’algèbres
fe : Cl(V, q) → A, tel que fe ◦ iV = f,
où iV est la restriction de π à V.
V
iV ↓
Cl(V, q)
f
−→ A
fe
%
En particulier, Cl(V, q) est l’unique algèbre associative unitaire vérifiant
la propriété ci-dessus et satisfaisant :
(iV (v))2 = −q(v) · 1, ∀v ∈ V.
i.e. si C est une algèbre associative unitaire et si j : V ,→ C est une injection vérifiant (1.1) avec j(V ) engendre C et telle que toute application
linéaire f : V → C satisfaisant (1.1) se prolonge en un homomorphisme
d’algèbres
fe : C → A, tel que fe ◦ j = f.
Alors il existe un isomorphisme d’algèbres entre C et Cl(V, q).
1.2. ALGÈBRES DE CLIFFORD , DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 11
Preuve. On a
(iV (v))2 = π(v)2 = v ⊗ v + Iq = −q(v) · 1 + Iq = −q(v) · (1 + Iq )
=
−q(v) · 1
Puisque T (V ) est engendrée par V comme étant une algèbre et puisque
π est surjective, Cl(V, q) est engendrée par iV (V ).
Soit maintenant f : V → A une application linéaire satisfaisant (1.1),
alors elle se prolonge en un unique homomorphisme d’algèbres
f ⊗ : T (V ) → A.
En plus d’après (1), f ⊗ s’annule sur Iq , donc on peut passer au quotient
Cl(V, q) = T (V )/Iq i. e. on peut bien définir
fe : Cl(V, q) → A
et on a
fe ◦ iV (v) = fe ◦ π(v) = f ⊗ (v) = f (v).
Soit maintenant C une algèbre associative unitaire satisfaisant les hypothèses ci-dessus, pour f = iV puis pour f = j, il existe ieV : C →
Cl(V, q) et e
j : Cl(V, q) → C telles que ieV ◦ j = iV et e
j ◦ iV = j. Par suite
ieV ◦ e
j = id et e
j ◦ ieV = id, sur j(V ) et iV (V ).
Donc sur C et Cl(V, q). D’où le théorème.
Remarques 1.1. 1) iV (V ) engendre multicativement Cl(V, q), donc on
peut considérer V comme étant un sous-espace vectoriel de Cl(V, q).
2) A un isomorphisme près, Cl(V, q) est l’unique algèbre unitaire associative engendrée par V et satisfaisant pour tous x, y ∈ V ,
x · y + y · x = −2 < x, y > ·1,
où <, > est la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique
q.
Dans la suite on notera Cl(r,s) = (Rr+s , <>r,s ) où
< x, x >r,s =
r
X
i=1
x2i
−
r+s
X
i=r+1
x2i .
12
1.3
CHAPITRE 1. ALGÈBRES DE CLIFFORD
Exemples
Exemple 1.1. Cl(1,0) ∼
= C.
En effet, soit f : R → A une application linéaire à valeurs dans une
algèbre associative unitaire A, telle que f (x)2 = −x2 .1. Plongeons R dans
C par l’injection : iR (x) = ix.1R qui vérifie (iR (x))2 = −x2 . Définissons
fe : C → A par fe(x + iy) = x1 + yf (1). On a bien fe ◦ iR = f et fe
est bien un homomorphisme d’algèbres. Donc d’après le théorème 1.1,
Cl(1,0) ∼
= C.
Exemple 1.2. Cl(0,1) ∼
= R2 = R ⊕ R.
En effet, soit f : R → A une application linéaire à valeurs dans une
algèbre associative unitaire A, telle que f (x)2 = +x2 .1A . Plongeons R
dans R2 par l’injection : iR (x) = (x, −x).
iR vérifie (iR (x))2 = x2 1R2 . Définissons fe : R2 → A par
1
1
fe(x, y) = (x − y)f (1) + (x + y)1A .
2
2
On a bien fe ◦ iR = f et fe est bien un homomorphisme d’algèbres. Donc
d’après le théorème 1.1, Cl(0,1) ∼
= R2 .
Exemple 1.3. Cl(2,0) ∼
= H.
Soit (e1 , e2 ) une base <, >2,0 -orthonormée. Si on pose e3 = e1 · e2 , on a
alors
e21 = e22 = e23 = −1
et
e1 · e2 = e3 , e3 · e1 = e2 et e2 · e3 = e1 .
Comme algèbre, Cl(2,0) est engendrée par 1, e1 , e2 , e3 . D’où Cl(2,0) ∼
= H.
1.3. EXEMPLES
13
V
Exemple 1.4. Cl(V, 0) ∼
= V , i. e. l’algèbre de Clifford associée à l’espace V muni de la forme quadratique nulle est l’algèbre extérieure de
V.
Exercice 1.1. Montrer que
a) Cl(0,2) ∼
= R(2) (l’espace des matrices carrées réelles).
∼
b) Cl(3,0) = H ⊕ H.
c) Cl(0,3) ∼
= C(2) (l’espace des matrices carrées complexes).
Comme application du Théoréme 1.1, on a
Corollaire 1.1. 1) Soit f : (V, q) → (V 0 , q 0 )) une isométrie linéaire.
Alors f induit un unique isomorphisme d’algèbres
Cl(f ) : Cl(V, q) → Cl(V 0 , q 0 )).
2) Si g : (V 0 , q 0 ) → (V ”, q”) est une autre isométrie, on a
Cl(g ◦ f ) = Cl(g) ◦ Cl(f ).
(1.2)
En particulier, si on note O(E, q) le groupe des isométries de (E, q) et
Aut(Cl(V, q)) le groupe des automorphismes de Cl(V, q), alors
Cl : O(E, q) → Aut(Cl(V, q))
f
→
Cl(f )
est un homomorphisme de groupes.
Preuve. Considérons l’application fe = iV 0 ◦ f : V → Cl(V 0 , q 0 )).
Puisque f vérifie q(v) = q 0 (f (v)), on a alors
fe(v)2 = (iV 0 ◦ f (v))2 = −q 0 (f (v)) · 1 = −q(v) · 1.
Donc fe induit un isomorphisme unique
Cl(f ) : Cl(V, q) → Cl(V 0 , q 0 ).
L’unicité implique (1.2).
14
CHAPITRE 1. ALGÈBRES DE CLIFFORD
Remarque 1.1. L’involution
α: → V
v → −v
est une isométrie donc d’après le Corollaire 1.2, elle se prolonge en une
involution de Cl(V, q) notée aussi α. D’où la décomposition
Cl(V, q) = Cl0 (V, q) ⊕ Cl1 (V, q),
où
Cli (V, q) = {ϕ ∈ Cl(V, q) / α(ϕ) = (−1)i ϕ} (sous-espace propre de α), (i = 0, 1).
Cette décomposition fait de Cl(V, q) une Z2 -algèbre graduée :
Cli (V, q) · Clj (V, q) = Cli+j (V, q).
Cl0 (V, q) est dite la partie paire de Cl(V, q) et Cl1 (V, q) la partie impaire.
Proposition 1.2. Soient v, w ∈ V , on a :
v · w + w · v = −2 < v, w > 1.
Preuve. On va calculer (v + w)2 de deux manières :
(v + w)2 = v 2 + w2 + v · w + w · v
et
(v + w)2 = − < v + w, v + w > 1 = (v 2 + w2 ) − 2 < v, w > 1.
D’où la relation.
1.4. THÉORÈME FONDAMENTAL DE DÉCOMPOSITION
1.4
15
Théorème fondamental de décomposition
Soient A et B deux algèbres graduiées d’éléments unités respectivement 1A et 1B . Le produit tensoriel de A et B, noté A ⊗ B est défini par :
pour a, a0 ∈ A et b, b0 ∈ B,
(a ⊗ b) · (a0 ⊗ b0 ) = a · a0 ⊗ b · b0 .
On considère l’élément volume
ε = e1 · ... · e(r+s) ,
où (ei ) est une base q-orthonormée. Cet élément de volume ne dépend
pas de la base choisie. Si (e0i ) est une autre base q-orthonormée et
P ∈ SO(r, s) la matrice de passage de (ei ) à (e0i ), alors on a
ε = e1 · ... · e(r+s) = det(P ) e01 · ... · e0(r+s) = e01 · ... · e0(r+s)
1.5
Algèbres de Clifford des formes quadratiques réelles
Dans cette section, nous déterminons les algèbres de Clifford Cl(r,s) .
On pose n = r + s et on considère (e1 , ..., en ) une base orthonormée de
Rr,s = (Rn , <, >(r,s) ). Donc elle vérifie :
k ei k= +1, pour i = 1, ..., r et k ej k= −1, pour j = r + 1, ..., n.
ei · ej + ej · ei = ±2δij 1 pour i, j = 1, ..., n.
Proposition 1.3. a)
½
ε2 =
ε2 = (−1)
n(n−1)
+r
2
;
r
(−1) , si n = 0, 1 [4];
(−1)r+1 , si n = 2, 3 [4];
b)
v · ε = (−1)n−1 ε · v, ∀ v ∈ Rn .
En particulier,
si n est impair, ε est central dans Cl(r,s) et
si n est pair, v · ε + ε · v = 0.
16
CHAPITRE 1. ALGÈBRES DE CLIFFORD
Preuve. a)
ε2 =
=
=
=
e1 · ... · en · e1 · ... · en
(−1)n−1 e21 · e2 ... · en · e2 · ... · en
(−1)(n−1)+(n−2)+....+1 e21 · e22 · .... · e2n
n(n−1)
(−1) 2 +r 1
b) On a, pour tout i,
ε ei = (−1)(n−1) ei ε,
d’où b).
Définition 1.2. Cl(r,s) est dite positive si ε2 = +1,
elle est dite négative si ε2 = −1.
Théorème 1.2. Soit (V, q) = (V1 ⊕ V2 , q1 ⊕ q2 ) avec la dimension de V1
paire. Alors
Cl(V, q) ∼
= Cl(V1 , q1 ) ⊗ Cl(V2 , ±q2 ).
Le signe ± est choisi selon que Cl(V1 , q1 ) est positive ou négative.
Preuve. D’après la proposition 1.5, pour ε = e1 · ... · en ∈ Cl(V1 , q1 ),
on a vε + εv = 0, pour v ∈ V1 ⊂ Cl(V1 , q1 ).
On défini
ϕ : V1 ⊕ V2 → Cl(V1 , q1 ) ⊗ Cl(V2 , ±q2 )
v1 + v2
→ v1 ⊗ 1 + ε 1 ⊗ v2 .
ϕ(v1 + v2 )2 =
=
=
=
(v1 ⊗ 1)2 + (ε ⊗ v2 )2 + (v1 ⊗ 1)(ε 1 ⊗ v2 ) + (ε 1 ⊗ v2 )(v1 ⊗ 1)
v12 ⊗ 1 + ε2 ⊗ v22 + εv1 ⊗ v2 − εv1 ⊗ v2
v12 ⊗ 1 ± 1 ⊗ v22
−(q1 (v1 ) ± q2 (v2 )(1 ⊗ 1).
Si ε2 = −1, on prend v2 ∈ Cl(V2 , −q2 ). D’après le théorème 1.1, il existe
un homomorphisme d’algèbres ϕ
e : Cl(V, q) → Cl(V1 , q1 ) ⊗ Cl(V2 , ±q2 ).
ϕ(Cl(V,
e
q)) contient V1 ⊗ 1 et 1 ⊗ V2 donc aussi V1 ⊗ V2 . Par suite elle
contient Cl(V1 , q1 ) ⊗ Cl(V2 , ±q2 ). Et puisque les deux algèbres ont même
dimension, elle sont égales.
1.5. ALGÈBRES DE CLIFFORD DES FORMES QUADRATIQUES RÉELLES 17
Proposition 1.4. Si la dimension n de V est paire et Cl(V, q) est positive. Alors Cl(V, q) ∼
= Cl(V, −q)
Preuve. On consière i± : V ,→ Cl(V, ±q) , ε± = i± (e1 )...i± (en ) et
l’application f définie par f (v) = i+ (v).ε+ . Puisque n est paire, f vérifie
f (v)2 = −i+ (v)2 .(ε+ )2 = +q(v)1 = −(−q(v)1).
Par suite, il existe fe telle que le diagramme suivant commute :
V
i− ↓
Cl(V, −q)
f
−→ Cl(V, q)
fe
%
D’où fe(i− (v)) = i+ (v).ε+ .
Par conséquent
fe(ε− .i− (v)) = fe(ε− ) · fe(i− (v))
= i+ (e1 ) · ε+ · ... · i+ (en ) · ε+ · i+ (v) · ε+
n(n−1)
= (−1) 2 (ε+ )(n+2) · i+ (v) = ±i+ (v).
Donc fe(Cl(V, −q)) contient Cl(V, q). Ainsi fe est surjective et par suite
bijective.
Exemple 1.5. Les algèbres Cl0,1 , Cl1,1 , Cl3,0 , Cl0,8 ∼
= Cl8,0 sont positives
et les algèbres Cl0,2 , Cl2,0 et Cl0,6 sont négatives.
En utilisant le théorème 1.2 et la proposition 1.4, on obtient la classification complète des algèbres de Clifford Clr,s .
Proposition 1.5. On a :
Cl1,0 = C,
Cl0,1 = R ⊕ R,
Cl2,0 = H,
Cl0,2 = R(2),
Cl1,1 = R(2),
Cl0,8 ∼
= Cl8,0 ∼
= R(16)
18
CHAPITRE 1. ALGÈBRES DE CLIFFORD
Lemme 1.1.
R(m) ⊗ R(n) ∼
= R(mn);
R(n) ⊗ K ∼
= K(n), pour K = C ou H;
C ⊗R C ∼
= C ⊕ C;
C(n) ⊗R C ∼
= C(n) ⊕ C(n);
C ⊗R H ∼
= C(2);
H ⊗R H ∼
= R(4).
Théorème 1.3. i)
Cl0,n+2 ∼
= Cln,0 ⊗ Cl0,2 = Cln,0 ⊗ R(2);
Cln+2,0 ∼
= Cl0,n ⊗ Cl2,0 = Cl0,n ⊗ H;
Cl0,n+8 ∼
= Cl0,n ⊗ R(16);
Cln+8,0 ∼
= Cln,0 ⊗ R(16).
ii)
iii)
Clr+1,s+1 ∼
= Clr,s ⊗ Cl1,1 = Clr,s ⊗ R(2);
Clr+p,s+p ∼
= Clr,s ⊗ R(2p );
½
Clr−s,0 ⊗ R(2s ), si r > s,
∼
Clr,s =
Cl0,s−r ⊗ R(2r ), si r < s;
Clr+8,s ∼
= Clr,s+8 ∼
= Clr,s ⊗ Cl8,0 = Clr,s ⊗ R(16).
1.5. ALGÈBRES DE CLIFFORD DES FORMES QUADRATIQUES RÉELLES 19
Preuve. Cl0,2 et Cl0,2 sont négatives, donc d’après le théorème 1.2,
on obtient les deux premières relations de i). De ces relations et le fait
que R(l) ⊗ R(m) = R(lm), on endéduit la troisième.
Cl1,1 est positive, donc d’après le théorème 1.2, on obtient la première
relation de ii).
En appliquant cette relation r ou s fois et le fait que Cll,l ∼
= R(2l ), on
obtient la deuxième relation.
Cl0,8 ∼
= Cl8,0 = R(16) est positive, donc d’après le théorème 1.2, on
obtient la relation iii).
Exercice 1.2. Montrer les relations suivantes
1) Clr+1,s ' Clr,s+1
2) Clr−4,s+4 ' Clr,s , pour r ≥ 4.
3)
Cln,0
Cl0,n
1
C
R⊕R
2
H
R(2)
3
H⊕H
C(2)
4
H(2)
H(2)
5
C(4)
H(2) ⊕ H(2)
6
R(8)
H(4)
7 R(8) ⊕ R(8)
C(8)
8
R(16)
R(16)
20
CHAPITRE 1. ALGÈBRES DE CLIFFORD
1.6
Algèbres de Clifford complexes
Soit (V, g) un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire de signature (r, s). On note (V C , g C ) son complexifié défini par
g C (v ⊗ z, v 0 ⊗ z 0 ) = g(v, v 0 ).zz 0 .
Si A est une algèbre réelle, sa complexification notée par A ⊗ C a pour
structure
(a ⊗ z) · (a0 ⊗ z 0 ) = (aa0 ) ⊗ (zz 0 ).
Par suite, A ⊗ C est une algèbre complexe.
Proposition 1.6. Soit (V, g) un espace vectoriel réel muni d’un produit
scalaire et (V C , g C ) sa complexification. Alors
Cl(V C , g C ) = Cl(V, g) ⊗R C.
Preuve. Soit
f : V ⊗R C −→
Cl(V, g) ⊗R C
v ⊗ z −→ f (v ⊗ z) = v ⊗ z,
on a
f (v ⊗ z)2 = (v ⊗ z)2 = v 2 ⊗ z 2
= −g(v, v)z 2 1 ⊗ 1 = −g C (v ⊗ z, v ⊗ z) · 1.
Donc, on peut prolonger f en un homomorphisme d’algèbres complexes
fe : Cl(V C , g C ) −→ Cl(V, g) ⊗R C.
Il estcx facile de vérifier que fe est un isomorphisme.
D’après le lemme 1.1 et le théorème 1.2, on endéduit le
Corollaire 1.2. Si on note Cl(Cn , z12 + ... + z12 ) par Cln , alors on a
Cln = Clr,s ⊗R C, pour r + s = n;
Cln+2 ∼
= Cln ⊗ Cl2 ∼
= Cln ⊗ C(2);
Si m = 2k est pair,
k
Cl2k ∼
= C(2k ) = End(C2 );
Si m = 2k + 1 est impair,
k
k
Cl2k+1 ∼
= C(2k ) ⊕ C(2k ) = End(C2 ) ⊕ End(C2 ).
1.7. REPRÉSENTATION SPINORIELLE DE L’ALGÈBRE DE CLIFFORD CLR,S 21
1.7
Représentation spinorielle de l’algèbre
de Clifford Clr,s
La proposition qui suit nous permet de trouver explicitement la représentation
spinorielle de l’algèbre de Clifford Clr,s
Proposition
µ
¶1.7. Soient
µ
¶
µ
¶
µ
¶
0 i
0 −1
1 0
−1 0
U=
, V =
, E=
et T =
.
i 0
1 0
0 1
0 1
Alors on a les isomorphismes naturels suivants :
pour n = r + s = 2k, Φr,s : Clr,s → C(2k ) défini par
Φ(r,s) (e2j−1 ) = τ2j−1 |E ⊗ {z
... ⊗ E} ⊗U |⊗T ⊗{z... ⊗ T}
(k-j)-fois
(j-1)-fois
Φr,s (e2j ) = τ2j E ⊗ ... ⊗ E ⊗ V ⊗ T
... ⊗ T},
| ⊗ {z
(j-1)-fois
(1.3)
avec (e1 , ..., en ) une base orthonormée de Rr,s , τj = i si εj = −1 et τj = 1
si εj = 1.
Pour n = 2k + 1, Φr,s : Clr,s → C(2k ) ⊕ C(2k ) est défini par
½
Φr,s (ej ) = (Φr,s−1 (ej ), Φr,s−1 (ej )), j = 1, ..., n − 1;
(1.4)
Φr,s (en ) = (iT ⊗ ... ⊗ T, −iT ⊗ ... ⊗ T ).
Définition 1.3. La représentation spinorielle de l’algèbre de
Clifford Clr,s est Φr,s , si n est pair et Φr,s ◦ pr1 , si n est impair ; où
pr1 : C(2k ) ⊕ C(2k ) −→ C(2k ) est la première projection.
k
∆r,s := C2 est dit l’espace des spineurs complexes.
Une base usuelle de ∆r,s est
2k
u(νn , ..., ν1 ) := u(νn )µ⊗ ...¶⊗ u(ν1 ) ∈ ⊗m Cµ2 ' C
¶ ;
1
0
où νj = ±1, u(1) =
et u(−1) =
∈ C2 .
0
1
22
CHAPITRE 1. ALGÈBRES DE CLIFFORD
Chapitre 2
Groupes Spin et Spinc
2.1
Groupes Pin(r,s) et Spin(r,s)
On notera Rr,s = (Rr+s , <>r,s ) et k x k=< x, x >r,s , où
< x, x >r,s =
r
X
i=1
x2i
r+s
X
−
x2i .
i=r+1
Le groupe multiplicative dans l’algèbre de Clifford Clr,s est
×
Clr,s
:= {ϕ ∈ Clr,s ; ∃ ϕ−1 / ϕ · ϕ−1 = ϕ−1 · ϕ = 1}
×
si k x k6= 0, alors x ∈ Clr,s
et son inverse est
x−1 = −
x
.
kxk
×
Le groupe P in(r, s) est le sous groupe de Clr,s
défini par
P in(r, s) := {x1 · ... · xl ; xj ∈ Rr,s , k xj k= ±1, j = 1, ..., l ∈ N}
Le groupe Spin(r, s) est le sous groupe de P in(r, s) défini par
0
Spin(r, s) := P in(r, s) ∩ Clr,s
= { x1 · ... · x2k ∈ P in(r, s); k ∈ N}
On défini
Spin+ (r, s) := { x1 ·...·x2k ∈ P in(r, s); / radical{xj / k xj k= −1} est pair}.
23
CHAPITRE 2. GROUPES SPIN ET SP IN C
24
Proposition 2.1. 1) le groupe SO(n) est connexe ; π1 (SO(n)) = Z2 ,
pour n ≥ 3 ; π1 (SO(2)) = Z.
2) le groupe SO(r, s) , pour r, s ≥ 1, admet exactement deux composantes connexes.
3) π1 (SO(1, 1)) = Z2 ; π1 (SO(2, 2)) = Z × Z ; π1 (SO(2, s)) = Z × Z2 ,
pour s ≥ 3 ; π1 (SO(r, s)) = Z2 × Z2 , pour r, s ≥ 3.
Preuve. Exercice.
Théorème 2.1. Les suites courtes suivantes sont exactes, pour tous r,s :
0 −→ Z2 −→ Spin(r, s) −→ SO(r, s) −→ 1;
0 −→ Z2 −→ P in(r, s) −→ O(r, s) −→ 1.
En plus, si (r, s) 6= (1, 1), les deux revêtements à deux feuillets sont non
triviaux sur chaque composante de O(r, s). En particulier, pour le cas
spécial
λ
0 −→ Z2 −→ Spin(n) −→ SO(n) −→ 1;
la représentation adjointe λ représente le revêtement universel de SO(n),
pour n ≥ 3. Où λ est définie par λ(v)(x) = v · x · v −1 , pour v ∈ P in(r, s)
et x ∈ Rn .
Preuve.
Lemme 2.1. Pour v ∈ Rr,s non isotrope,
λ(v)(x) = −x + 2
< v, x >
v;
kvk
i. e. −λ(v) est la symétrie sv de Rn par rapport à l’yperplan v ⊥
En effet ;
k v k λ(v)(x) = k v k (v · x · v −1 ) = − k v k ×
= −v(−vx − 2 < v, x >)
= − k v k x + 2 < v, x > v.
1
(vxv)
kvk
2.1. GROUPES PIN(R,S) ET SPIN(R,S)
25
En plus, on remarque que −λ(v)(v) = −v et λ(v)(x) = 0, pour x ∈ v ⊥ .
D’où le lemme.
On remarque aussi que
< λ(v)(x), λ(v)(x) >=< x, x >,
Par suite λ(v) ∈ O(r, s). Pour ϕ = v1 ...vl ∈ P in(r, s), λ(ϕ) = λ(v1 )...λ(vl ) ∈
O(r, s).
Et pour ϕ ∈ Spin(r, s), l = 2k,
λ(ϕ) = (−λ(v1 ))...(−λ(vl )) ∈ SO(r, s), puisque det(−λ(vj )) = −1, pour
j = 1, ..., 2k.
Lemme 2.2. ( Théorème de Cartan-Dieudonné)
Tout élément g ∈ O(r, s) peut s’écrire comme produit de l symétries :
g = sv1 ◦ ... ◦ svl ,
où l ≤ (r + s).
Ce lemme montre que l’homomorphisme λ : P in(r, s) −→ O(r, s) est
surjectif et que λ(Spin(r, s)) = SO(r, s).
Lemme 2.3. kerλ = Z2 .
Preuve du Lemme.
Soit g ∈ P in(r, s), on décompose
g = g0 + g1 ∈ Cl0 (r, s) ⊕ Cl1 (r, s)
en sa partie paire et sa partie impaire.
g ∈ kerλ ssi
ssi
ssi
ssi
gxg −1 = x, ∀ x ∈ Rn
gx = xg, ∀ x ∈ Rn
g0 x + g1 x = xg0 + xg1 , ∀ x ∈ Rn
g0 x = xg0 et g1 x = xg1 , ∀ x ∈ Rn .
Soit (ei ) une base orthonormée de Rr,s . On écrit g0 = a0 + e1 a1 , où a0 et
a1 ne dépendent pas de e1 , avec a0 est pair et a1 est impair.
e1 g0 = e1 a0 − k e1 k a1 = g0 e1 = a0 e1 + k e1 k a1 ,
CHAPITRE 2. GROUPES SPIN ET SP IN C
26
car a1 est impair. Ce qui implique e1 a0 = a0 e1 et a1 = 0. Par récurrence
sur n, on montre que g0 = t0 .1 avec t0 ∈ R. De même g1 = t”.1 et donc
g = t.1. Or g ∈ P in(r, s), donc t = ±1.
Pour terminer la démonstration du théorème, il reste à démontrer que le
revêtement est non trivial, lorsque (r, s) 6= (1, 1).
Pour cela soit e1 , e2 ∈ Rn tels que k e1 k=k e2 k= ±1.
La courbe
γ(t) = ±cos(2t).1 + sin(2t)e1 .e2 = (coste1 + sinte2 ).(−coste1 + sinte2 ) ∈
Spin(r, s) et vérifie γ(0) = ±1, γ( π2 ) = ∓1. D’où le théorème.
Proposition 2.2. Si on note spin(r, s) l’algèbre de Lie du groupe Spin(r, s),
munie du crochet
[α, β] = α · β − β · α,
alors
spin(r, s) := vect{ei · ej ; 1 ≤ i < j ≤ n},
où (ei )1≤i≤n est une base orthomormée de Rr,s . Et la dérivée
λ∗ : spin(r, s) → so(r, s) de λ au point 1 est un isomorphisme d’algèbres
de Lie donnée par
λ∗ (ei · ej ) = 2Eij ,
où Eij = −εj Dij +εi Dji , k ei k= εi et Dij est la base standard de gl(n, R)
avec sa (i, j)-composente est égale à 1 et toutes les autres sont nulles.
Preuve. On vérifie facilement que l’espace vect{ei ·ej ; 1 ≤ i < j ≤ n}
est stable par le crochet. En plus,
Si k ei k=k ej k= ε, la courbe
γ(t) = cos(2t).1 + 2εsin(2t) ei ej = −ε(cost ei + sint ej )(cost ei − sint ej )
·
appartient au groupe Spin(r, s), γ(0) = 1 et γ (0) = 4εei ej ∈ spin(r, s).
Si k ei k= 1 et k ej k= −1, la courbe
γ(t) = ch(2t)1 + 2sh(2t) ei ej = (cht ei + sht ej )(−cht ei + sht ej )
appartient au groupe Spin(r, s), γ(0) = 1 et
·
γ (0) = 4ei ej ∈ spin(r, s).
2.1. GROUPES PIN(R,S) ET SPIN(R,S)
27
Donc spin(r, s) ⊃ vect{ei · ej ; 1 ≤ i < j ≤ n}.
D’après le théorème 2.1, λ∗ est un isomorphisme. Donc
dim spin(r, s) = dim so(r, s) =
n(n − 1)
.
2
Par suite
spin(r, s) = vect{ei · ej ; 1 ≤ i < j ≤ n}.
Soit γ une courbe telle que γ(0) = 1 et γ̇(0) = ei · ej , alors
·
λ (ei ej ) =
d
(λ(γ(t))t=0 .
dt
Or λ(γ(t))(x) = γ(t)xγ(t)−1 et donc (λ(γ(t))(x))0 = γ 0 (t)x − xγ 0 (t).
Par suite
d
(λ(γ(t))(x))t=0
dt
λ∗ (ei ej )
= ei ej x − xei ej
= ei ej x + (2 < x, ei > +ei x)ej
= 2(< x, ei > ej − < x, ej > ei ) = 2Eij (x).
CHAPITRE 2. GROUPES SPIN ET SP IN C
28
2.1.1
Représentation spinorielle
Nous rappelons que la représentation spinorielle de l’algébre de Clifford complexe est comme suit :
Si n = r + s est pair,
Φr,s : Cln → End(∆r,s ).
Si n est impair,
Φr,s := pr1 ◦ Φr,s : Cln → End(∆r,s );
où pr1 : End(∆r,s )⊕End(∆r,s ) −→ End(∆r,s ) est la première projection.
[n
∆r,s := C2 2 ] est l’espace des spineurs complexes. Puisque
Spin(r, s) ⊂ Cl0 (r, s) ∼
= Clr−1,s ⊂ Clr+s−1 ∼
= Cl0 ⊂ Clr+s ,
r+s
on obtient une représentation spinorielle ρr,s du groupe Spin(r, s) par la
restriction de Φr,s à Spin(r, s).
Si m = 2k est pair, alors l’espace Spin+ (r, s)-module ∆r,s se décompose
en deux sous-espaces irréductibles ∆+
νi = +1} et
r,s := {u(νn , ..., ν1 );
∆−
:=
{u(ν
,
...,
ν
);
ν
=
−1}
n
1
i
r,s
Si m = 2k + 1 est impair, alors la représentation ρr,s est irréductible
2.1.2
Multiplication de Clifford
La multiplication de Clifford sur l’espace des spineurs ∆r,s est définie
par
½
si n est pair
α · u := Φr,s (α)(u),
(2.1)
si n est impair α · u := pr1 Φr,s (α)(u),
pour α ∈ Cln et u ∈ ∆r,s .
La multiplication de Clifford d’un spineur u par une forme quelconque
X
ωi1 ...il σi1 ∧ ... ∧ σil ,
ω=
1≤i1 ≤...≤il
où (σ1 , ..., σn ) est la base duale de (e1 , ..., en ) est
X
ω·ϕ=
ωi1 ...il ei1 · ... · eil · u
1≤i1 ≤...≤il
2.2. GROUPES SP IN C
2.2
29
Groupes Spinc
Clr,s contient le groupe
S1 := {z ∈ C; k z k= 1}
et le groupe
Spin(r, s) := {X1 · ... · X2k ; < Xi , Xi >r,s = ±1; k ≥ 0}.
Puisque S1 ∩Spin((r, s)) = {−1, 1}, nous définissons le groupe Spinc (r, s)
par
Spinc (r, s) = Spin(r, s) · S1 = Spin(r, s) ×Z2 S1 .
Par conséquent, les éléments de Spinc (r, s) sont les classes [g, z] des pairs
(g, z) ∈ Spin(r, s) × S1 , sous la relation d’équivalence (g, z) ∼ (−g, −z).
Proposition 2.3. La suite suivante est exacte :
ξ
1 → Z2 → Spinc (r, s) −→ SO(r, s) × S1 → 1,
où λ(g)(x) = g · x · g −1 pour x ∈ Rm et ξ([g, z]) = (λ(g), z 2 ).
Soit (ei )1≤i≤m une base orthonormée de Rr,s ( < ei , ej >= εi δij ,
εi = −1 pour 1 ≤ i ≤ r et εi = +1 pour 1 + r ≤ i ≤ m ). On sait que
l’algèbre de Lie du groupe Spin(r, s) est
spin(r, s) := {ei · ej ; 1 ≤ i < j ≤ m}
donc celle du groupe Spinc (r, s) est
spinc (r, s) := spin(r, s) ⊕ iR.
La dérivée (au point unité ) de ξ est un isomorphisme d’algèbre de Lie
et elle est donnée par
ξ∗ (ei · ej , it) = (λ∗ (ei · ej ), it) = (2Eij , 2it),
où Eij = −εj Dij + εi Dji et Dij est la base standard de gl(m, R) avec sa
(i, j)-composente est égale à 1 et toutes les autres sont nulles.
CHAPITRE 2. GROUPES SPIN ET SP IN C
30
La représentation spinorielle du groupe Spin(r, s) se prolonge en une
représentation spinorielle du groupe Spinc (r, s) par :
½
ρr,s ([g, z])(v) = z Φr,s (g)(v) := z g · v,
ρr,s ([g, z])(v) = z pr1 Φr,s (g)(v) := z g · v,
si n est pair,
si n est impair,
(2.2)
pour v ∈ ∆r,s et [g, z] ∈ Spinc (r, s). Ainsi ∆r,s devient l’espace module
de la représentation spinorielle spinc (r, s).
Il existe un produit scalaire hermitien < ., . >∆ sur le module des spineurs
∆r,s définit par :
< v, w >∆ := i
r(r−1)
2
(e1 · ... · er · v, w); v, w ∈ ∆r,s .
(2.3)
k
où (z, z 0 ) =
2
X
k
zi · zi0 est le produit hermitien standard sur C2 .
i=1
< ., . >∆ vérifie les propriètés suivantes :
< X · v, w >∆ = (−1)r+1 < v, X · w >∆ .
(2.4)
A chaque spinor v ∈ ∆r,s , on peut lui associer un vecteur xv ∈ Rn , défini
par
g(xv , y) = ir+1 < y · v, v >∆ , pour y ∈ Rn .
(2.5)
Il est facile de voir (exercice) que
xv = ir+1
n
X
i=1
εi < ei · v, v >∆ ei
Chapitre 3
Variétés
pseudo-riemanniennes spin et
spinc
3.1
Structures spin et spinc
Soit (M, g) une variété pseudo-riemannienne connexe orientée de signature (r, s). Et soit PSO(r,s) le fibré des repères orthonormés orientés
positivement sur M.
Définition 3.1. Une structure spin f sur (M, g) est une λ-réduction
f : PSpin(r,s) → PSO(r,s) de PSO(r,s) .
i.e. f est un revêtement à deux feuillets tel que le diagramme suivant
commute :
π0
PSpin(r,s) × Spin(r, s) → PSpin(r,s) &
↓f ⊗λ
M
PSO(r,s) × SO(r, s)
où
→
PSO(r,s)
π
%
λ : Spin(r, s) → SO(r, s)
g → λ(g) : λ(g)(x) = gxg −1
est la représentation adjointe.
31
32CHAPITRE 3. VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES SPIN ET SPINC
Notons que l’existence d’une telle structure sur M est équivalent à
dire que les fonctions de transisions zij : Ui ∩Uj → SO(r, s) de PSO(r,s) ont
un choix de relevés en fonction des fonctions de transitions de PSpin(r,s) :
Ui ∩ Uj
→
Spin(r, s)
& zij
↓λ
SO(r, s).
Ou bien la suite
0 −→ Z2 −→ Spin(r, s) −→ SO(r, s) −→ 1
est exacte, donc la suite
λ∗
ω
2
H 1 (M, Spin(r, s)) −→ H 1 (M, SO(r, s)) −→
H 1 (M, Z2 )
est exacte, où H 1 (M, G) désigne l’ensemble des classes d’équivalence des
G-fibrés principaux au dessus de M dit groupe de cohomologie de Cech
à coefficient dans G. ω2 est la deuxième classe de Stiefel-Whitney.
ω2 (PSO(r,s) ) = ω2 (M ) = 0 ssi PSO(r,s) = λ∗ (PSpin(r,s) ) provient d’un
Spin(r, s)-fibré principal PSpin(r,s) . Donc l’existence d’une structure spinorielle sur M est équivalent à ce que sa seconde classe de StiefelWhitney w2 (M ) est nulle.
Définition 3.2. Une structure spinc sur (M, g) est la donnée d’un fibré
en cercle PS1 au dessus de M et d’une ξ-réduction (PSpinc ((r,s)) , Λ) du
(SO((r, s)) × S1 )-fibré principal produit PSO((r,s)) × PS1 .
i.e.
Λ : PSpinc ((r,s)) → (PSpinc ((r,s)) × PS1 )
est un revêtement à deux feuillets vérifiant :
i) PSpinc ((r,s)) est un Spinc ((r, s))-fibré principal au dessus de M ,
ii) ∀u ∈ PSpinc ((r,s)) , ∀a ∈ Spin((r, s)),
Λ(ua) = Λ(u)ξ(a).
(M, g) possède une structure spinc ssi sa seconde classe de StieflWhithney
3.2. FIBRÉS SPINORIELS
33
w2 (M ) ∈ H 2 (M, Z2 ) est la réduction modulo 2 d’une classe de cohomologie entière.
Exemple 1
Toute variété pseudo-riemannienne spin est canoniquement spinc. La
structure spinc est donnée par :
PSpinc ((r,s)) = PSpin((r,s)) ×i Spinc ((r, s)),
où PSpin((r,s)) est le fibré spinoriel et
i : Spin(r, s) ,→ Spinc (r, s) est l’injection canonique.
Le fibré en cecle associé est le fibré trivial PS1 = M × S1 .
Exemple 2
Toute variété pseudo-riemannienne kählerienne admet une structure spinc
canonique.
3.2
Fibrés spinoriels
Définition 3.3. Le fibré spinoriel associé à la structure spin PSpin(r,s)
(resp. à la structure spin c PSpinc (r,s) ) de M est le fibré vectoriel complexe :
S = PSpin(r,s) × φr,s ∆r,s ,
(resp. S = PSpinc (r,s) × ρr,s ∆r,s ),
où φr,s (resp. ρr,s : Spinc (r, s) → AutC (∆r,s ) est
la représentation spinorielle complexe de Spin(r, s) (resp. de Spinc (r, s)).
Définition 3.4. Une section ϕ de S est dite un champ spinoriel.
Localement dans un ouvert U de M , ϕ est donné par
ϕU = [e
s, σ],
où se est une section locale de PSpin(r,s) sur U et σ : U → ∆r,s .
Toute tansformation <, >r,s -orthogonale induit un automorphisme de
l’algèbre de Clifford Clr,s :
Cl : SO(r, s) −→ Aut(Clr,s )
f
−→ Cl(f ),
34CHAPITRE 3. VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES SPIN ET SPINC
(voir Corollaire 1.2) i.e. on a une représentation du groupe SO(r, s) de
module Clr,s . On a aussi une représentation du groupe Spin(r, s) :
Cl ◦ λ : Spin(r, s) → Aut(Clr,s ).
On peut définir alors le fibré de Clifford sur M par :
Cl(M ) = PSO(r,s) ×Cl Clr,s ∼
= PSpin(r,s) ×Cl◦λ Clr,s .
Définition 3.5. La multilication de Clifford sur le fibré spinoriel S
est l’action fibre par fibre de la multiplication de Clifford sur l’espace des
spineurs ∆r,s
m : Cl(M ) ⊗ S
−→ S
ϕ ⊗ ψ = [e
s, α] ⊗ [e
s, σ] −→ ϕ · ψ := [e
s, φ(α)σ].
Grace à l’inclusion Rn ⊂ Clr,s , l’espace tangent T M devient un sousfibré du fibré de Clifford Cl(M ) :
T M = PSpin(r,s) ×λ Rn ∼
= PSO(r,s) ×SO(r,s) Rn .
D’où on peut définir la multiplication de Clifford d’un vecteur X ∈ T M
par un champ spinoriel ψ ∈ S. La multiplication de Clifford vérifient les
propriétés suivantes :
Proposition 3.1. 1) Soit ϕ ∈ Γ(S) un spineur partout non nul et
X ∈ Γ(M ). Si X · ϕ = 0 alors g(X, X) = 0.
2) X · Y + Y · X = −2g(X, Y )IdS .
Preuve. 1) Soit x ∈ M . Localement X s’écrit X = [s, v] et ϕ = [s, σ].
X · ϕ = [s, v · σ] = 0. Donc
vx · σx = 0. Ce qui implique
vx · vx · σx = −gx (vx , vx )σx = 0.
Par suite gx (vx , vx ) = gx (Xx , Xx ) = 0 pour tout x ∈ M .
2) Si on écrit localement Y = [s, w]
X · Y + Y · X = [s, v · w + w · v] = −2 < v, w >r,s [s, 1] = −2g(X, Y )IdS .
3.2. FIBRÉS SPINORIELS
35
Par la formule (2.3), on peut munir le fibré spinoriel par un produit
hermitien <, >S défini par
< ϕ, φ >S =< v, w >∆ , pour X = [s, v] et Y = [s, w].
(3.1)
Puisque <, >∆ vérifie la relation (2.4), <, >S satisfait
< X · ϕ, φ >S = (−1)r+1 < ϕ, X · φ >S ,
Pour X ∈ Γ(M ) et ϕ, ψ ∈ Γ(S).
(3.2)
36CHAPITRE 3. VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES SPIN ET SPINC
3.3
Connection spinorielle
Soit (M, g) une variété pseudo-riemannienne orientée, connexe, spinorielle, de signature (r, s). Soit D la connexion de Levi-Civita associée à g.
Alors il existe une unique 1-forme de connexion ω : T PSO(r,s) → so(r, s)
sur le fibré des repères orthonormés orientés positivement PSO(r,s) . Prenons maintenant un ouvert simplement connexe U ⊂ M . Toute section
locale s ∈ ΓU (PSO(r,s) ) se relève en une section se ∈ ΓU (PSpin(r,s) ), telle
que s = f ◦ se :
PSpin(r,s)
se % ↓ f
s
U ⊂M →
PSO(r,s) .
On peut alors définir une 1-forme de connexion
ω
e : T PSpin(r,s) −→ spin(r, s)
sur PSpin(r,s) comme l’unique forme vérifiant ω ◦ f∗ = λ∗ ◦ ω
e:
ω
e
T PSpin(r,s) → spin(r, s)
se∗ %
↓ f∗
↓ λ∗
s∗
ω
U ⊂ M → T PSO(r,s) → so(r, s)
(φr,s )∗
→
GL(∆r,s )
Soit s = (e1 , ..., en ) ∈ ΓU (PSO(r,s) ) une section locale de repères orthonormés. On notera ∇ la dérivée covariante associée à ω
e sur S. Si
ψ = [e
s, σ] ∈ ΓU (S) et X ∈ ΓU (M ), la théorie générale des connexions sur
les fibrés principaux et fibrés associés donne
∇X ψ = [e
s, X(σ) + (φr,s )∗ (e
ω ◦ se∗ (X))σ].
On va donner l’expression locale de ∇. Pour cela, écrivons localement
X
s∗ ω = ω ◦ s∗ =
ωij ei ∧ ej ,
i<j
où ei ∧ ej = Eij = g(ei , .)ej − g(ej , .)ei , i < j, est une base de so(r, s). On
a alors, pour X ∈ Γ(M ),
ωij (X) = εi εj g(ω ◦ s∗ (X)ei , ej ) = εi εj g(DX ei , ej ).
3.3. CONNECTION SPINORIELLE
37
La proposition suivante donne l’expression locale de ∇ ainsi que celle de
son tenseur de courbure RS .
Proposition 3.2. 1)
ω
e (e
s(X)) =
1X
ωij (X) ei · ej .
2 i<j
2) Pour ψ ∈ Γ(S), sa dérivée covariante est donnée localement par
∇X ψ = X(ψ) +
1X
εi εj g(DX ei , ej ) ei · ej · ψ.
2 i<j
3) Si on désigne par R le tenseur de courbure associé à (M, g), on a
RS (X, Y )(ψ) =
1X
εi εj g(R(X, Y )ei , ej ) ei · ej · ψ.
2 i<j
Preuve. On a ω
e ◦ se∗ = λ−1
∗ ◦ ω ◦ s∗ , par suite
X
ω
e ◦ se∗ =
ωij (X)λ−1
∗ (Eij )
i<j
1X
ωij (X) ei · ej
=
2 i<j
2) Pour [e
s, σ] ∈ ΓU (S) et X ∈ ΓU (M ), on a
∇X ψ = [e
s, X(σ) + φ∗ (e
ω ◦ se∗ (X))σ]
= X(ψ) + [e
s, φ∗ (e
ω ◦ se∗ (X))σ]
1X
= X(ψ) + [e
s, φ∗ (
ωij (X) ei · ej )σ]
2 i<j
1X
= X(ψ) + [e
s,
ωij (X) ei · ej · σ]
2 i<j
1X
= X(ψ) +
εi εj g(DX ei , ej ) ei · ej · ψ
2 i<j
38CHAPITRE 3. VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES SPIN ET SPINC
Car ψ est linéaire, donc elle coincide avec sa différentielle au point identité.
3) De la définition de la courbure RS (X, Y ) = [∇X , ∇Y ] − ∇[X,Y ] , on
obtient 3).
Proposition 3.3. Si on désigne par Ric le tenseur de Ricci de type (1,1)
de la variété (M, g) (r(X, Y ) = g(Ric(X), Y )), alors ∀ X ∈ Γ(M ) et
∀ ψ ∈ Γ(S),
X
1
Ric(X) · ψ =
εi RS (X, ei )ψ.
(3.3)
2
1≤i≤n
Proposition 3.4. ∀ X, Y ∈ Γ(M ) et ∀ ψ, ψ1 ∈ Γ(S),
∇Y (X · ψ) = X · ∇Y (ψ) + DY X · ψ.
(3.4)
X < ψ, ψ1 >∆ = < ∇X ψ, ψ1 >∆ + < ψ, ∇X ψ1 >∆ ;
(3.5)
où D est la connexion de Levi-Civita de (M, g).
3.4. SPINEURS PARALLÈLES
3.4
39
Spineurs parallèles
Définition 3.6. Un spineur ψ ∈ Γ(S) est dit parallèle si on a ∇ψ = 0.
Si on note Ho le groupe d’holonomie de la variété (M, g) en un point
e le groupe d’holonomie de ∇ en un point au dessus de o, alors
fixé o et H
e = Ho et on a la proposition suivante
λ(H)
Proposition 3.5. L’espace des spineurs parallèles SP de (M, g) est en
bijection avec l’espace
e
VHe := {v ∈ ∆r,s : Φr,s (H)(v)
= v}
e
des spineurs invariants par H.
Preuve. On considère l’application
F : VHe → SP
,
v
→ ψv
avec
ψv (x) = [τγ (e
s(o)), v] = [e
s(x).gγ , v] = [e
s(x), Φ(gγ )v],
pour ψv (o) = [e
s(o), v], γ une courbe dans M reliant le point o au point
x et gγ est défini par le transport parallèle le long de γ de x par :
τγ (x) = x.gγ .
ψv est bien définie, car si α est une autre courbe qui relie o à x, α−1 ◦ γ
est un lacet en x. Donc
Φ(gα−1 ◦ τγ )v = v
Par suite,
Φ(gα )v = Φ(gγ )v.
Par définition de ψv , on a :
τγ (ψv (x)) = ψv (y), ∀ x, y ∈ M.
40CHAPITRE 3. VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES SPIN ET SPINC
et ∀ γ courbe reliant x à y.
Donc ψv est ∇-parallèle et l’application F est injective.
Maintenant soit ψ ∈ SP . Donc pour une représentation locale [e
s, v] de ψ
sur un ouvert U centré en o, on a :
ψv (x) = [τγ (e
s(o)), v] = [e
s(x).gγ , v] = [e
s(x), Φ(gγ )v],
i.e. ψ = ψv
Remarque. Si la variété (M, g) est simplement connexe, alors
e
{v ∈ ∆r,s : Φ(H)(v)
= v} = {v ∈ ∆ : Φ(e
h)(v) = 0},
où e
h est l’algèbre d’holonomie de ∇ (l’algèbre du groupe d’holonomie de
e
H ).
Proposition 3.6. Si une variété pseudo-riemannienne (M, g) admet un
spineur parallèle ψ alors sa courbure de Ricci vérifie
g(Ric(X), Ric(Y )) = 0, ∀ X, Y ∈ Γ(M ),
autrement dit, Ric2 = 0.
i) Si en particulier, g est définie positive, Ric = 0.
ii)Dans le cas général, tout ce qu’on peut dire est que la courbure scalaire
de (M, g) est nulle.
Preuve. Puisque ∇ψ = o, alors Rs ψ = 0. Donc d’après (3.3),
Ric(X).ψ = 0, ∀ X ∈ Γ(M ).
D’après la proposition 3.1, on obtient le résultat.
Remarque 3.1. Il existe des pseudo-riemanniennes qui admettent des
spineurs parallèles non triviaux avec une courbure de Ricci non nulle.
3.5. CONNEXION SPINC
3.5
41
Connexion spinc
Soit (M, g) une variété pseudo-riemannienne spin c et
A : T PS1 → iR une 1-forme de connexion sur le fibré en cercle PS1 .
A et la connexion de Levi-Civita D de (M, g) définissent ensemble une
1-forme de connexion sur le fibré produit PSO(r,s) × PS1 .
L’image réciproque de cette connexion définit une dérivée covariante ∇A
sur le fibré spinoriel S, dite la dérivée spinorielle associée à (M, g, S, PS1 , A).
Une variété pseudo-riemannienne spinc est la donnée de l’ensemble (M, g, S, PS1 , A),
où
(M, g) est une variété pseudo-riemannienne orientée spinc,
S le fibré spinoriel associé,
PS1 le fibré en cercle au dessus de M
et A une 1-forme de connexion sur PS1 .
e (resp. H et HA ) le groupe d’holonomie de la dérivée spiNotons par H
A
norielle ∇ (resp. de (M, g) et de la forme de connection A ).
e S1 par la connexion définie par la connexion
Si on muni le fibré PSO(p,q) ×P
de Levi-Civita D et la connection A, son groupe d’holonomie est exactee ⊂ H × HA (voir [6]).
ment ξ(H)
Nous signalons que HA = {1} si A est plate et HA = S1 sinon. Et on a
Lemme 3.1. (M, g) admet un spineur parallèle non trivial ssi il existe
0 6= v ∈ ∆p,q tel que
1
e
B · v := φp,q (λ−1
∗ (B))(v) = − itv, ∀ (B, it) ∈ ξ∗ (H) ⊂ H ⊕ HA , (3.6)
2
e H and HA les algèbres de Lie respectivement de H,
e H et HA .
avec H,
42CHAPITRE 3. VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES SPIN ET SPINC
Chapitre 4
Sur les variétés
pseudo-riemanniennes spin c
admettant des spineurs
parallèles
4.1
Cas pseudo-riemannien spin irréductible
Théorème 4.1. (M.Y. Wang (89)
Les groupes d’holonomie possibles d’une variété riemannienne spin, irréductible,
non plate, simplement connexe, complèle qui supporte des spineurs parallèles non triviaux sont (à une conjugaison près dans O(n)) les groupes
suivants :
groupe d’holonomie
SU (n) ⊂ SO(2n)
Sp(n) ⊂ SO(4n)
G2 ⊂ SO(7)
Spin(7) ⊂ SO(8)
N= dimension de SP
2
n+1
1
1
43
44CHAPITRE 4. SUR LES VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES SPIN C ADMETTA
Théorème 4.2. Théorème. (H. Baum et I. Kath (99))
Les groupes d’holonomie possibles d’une variété pseudo-riemannienne
spin, de signature (p, q), irréductible, non localement symétrique, simplement connexe, complèle qui supporte des spineurs parallèles sont (à
une conjugaison près dans O(p,q)) les groupes de la liste suivante :
groupe d’holonomie
N
0 0
0
0
SU (p , q ) ⊂ SO(2p , 2q )
2
0 0
0
0
0
Sp(p , q ) ⊂ SO(4p , 4q ) p + q 0 + 1
G2 ⊂ SO(7)
1
G02(2) ⊂ SO(4, 3)
1
C
G2 ⊂ SO(7)
2
Spin(7) ⊂ SO(8)
1
Spin(4, 3) ⊂ SO(8, 8)
1
Spin(7, C) ⊂ SO(8, 8)
1
avec N = dimension de l’espace des spineurs parallèles.
4.2
Cas Riemannien spinc
Théorème 4.3. (A. Moroianu (97))
Une variété riemannienne (M, g) spinc, simplement connexe, complète
supporte un spineur parallèle non trivial, ssi elle est isométrique à un
produit riemannien
(M, g) ∼
= (M1 , g1 ) × (M2 , g2 )
d’une variété Kählerienne (M1 , g1 ) simplement connexe, complète
et d’une variété riemannienne spin (M2 , g2 ) simplement connexe, complète
qui supporte un spineur parallèle non trivial.
La structure spinc de (M, g) est alors le produit canonique de la structure
spinc de (M1 , g1 ) et de la structure spin de (M2 , g2 ).
4.2. CAS RIEMANNIEN SPINC
45
Théorème 4.4. (Ikemakhen (06)) Soit (M, g) une variété pseudoriemannienne spinc, irréductible, simplement connexe, complète nonlocalement symétrique de dimension m = p + q et de signature (p, q).
Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) (M, g) supporte un spineur parallèle non trivial,
(ii) ou bien (M, g) est une variété spin qui supporte un spineur parallèle
non trivial,
ou bien (M, g) est kählerienne non Ricci-plate,
(iii) ou bien le groupe d’holonomie H de (M, g) est (à une conjugaison
près dans O(p, q)) l’un des groupes de la liste 2
ou bien H = U (p0 , q 0 ), p = 2p0 et q = 2q 0 .
Pour H = U (p0 , q 0 ) la dimension de l’espace des spineurs parallèles sur
M est 1.
46CHAPITRE 4. SUR LES VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES SPIN C ADMETTA
4.3
Cas Lorentzien spinc
Théorème 4.5. (Ikemakhen (07)) Soit (M, g) une variété lorentzienne spinc, simplement connexe, complète, de dimension m = n + 2.
Si (M, g) supporte un spineur parallèle non trivial, alors
i) ou bien (M, g) est isométrique à un produit riemannien
(M, g) = (R, −dt2 ) × (M1 , g1 ) × (M2 , g2 ),
où (M1 , g1 ) est une variété kählerienne et (M2 , g2 ) est riemannienne spin
admettant un spineur parallèle. Les variétés M1 et M2 sont simplement
connexes et complètes ;
ii) ou bien le groupe d’holonomie H de (M, g) est un sous-groupe du
groupe parabolique
SO(n)nRn et sa projection H sur SO(n) est le produit direct d’un nombre
fini de sous-groupes normaux Ki et eventuellement Lj où Ki est dans
{{1}, U (p), SU (p), Sp(p), Spin(7), G2 } et Lj est le groupe d’holonomie
d’un espace symétrique kählerien, non Ricci-plate, simplement connexe
et irréducible.
Inversement, si (M, g) est un produit riemannien comme dans i), alors
c’est une variété lorentzienne spinc qui supporte un spineur parallèle non
trivial. La structure spinc de (M, g) est donc le produit canonique de la
structure spinc de (M1 , g1 ) et la structure spin de (M2 , g2 ) et celle de
(R, −dt2 ).
Si (M, g) est spinc et satisfait ii), alors elle supporte un spineur parallèle.
4.3. CAS LORENTZIEN SPINC
47
Corollaire 4.1. Soit (M, g) une variété lorentzienne spin , simplement
connexe, complète, de dimension m = n+2. Si (M, g) supporte un spineur
parallèle non trivial, alors
a) ou bien (M, g) est isométrique à un produit riemannien
(M, g) = (R, −dt2 ) × (M1 , g1 ),
où (M1 , g1 ) est une variété kählerienne et (M2 , g2 ) est riemannienne spin
admettant un spineur parallèle. La variété M1 est simplement connexe et
complète ;
b) ou bien le groupe d’holonomie H de (M, g) est un sous-groupe du
groupe parabolique
SO(n)nRn et sa projection H sur SO(n) est le produit direct d’un nombre
fini de sous-groupes normaux Ki où Ki est dans
{{1}, SU (p), Sp(p), Spin(7), G2 }.
Inversement, si (M, g) est un produit riemannien comme dans a), alors
c’est une variété lorentzienne spin qui supporte un spineur parallèle non
trivial. La structure spin de (M, g) est donc le produit de la structure
canonique spin de (R, −dt2 ) et celle de (M1 , g1 ).
Si (M, g) est spin et satisfait b), alors elle supporte un spineur parallèle.
48CHAPITRE 4. SUR LES VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES SPIN C ADMETTA
4.4
Problème ouvert et conclusion
(P) Quels sont les groupes d’holonomie possibles d’une variété pseudoriemannienne (simplement connexe) spinc qui supporte des spineurs parallèles non triviaux ?
Le théorème de Wu réduit le problème (P) au cas des variétés pseudoriemanniennes indécomposables qui stipule que
Toute variété pseudo-riemannienne est au moins localement un produit
riemannien de variétés pseudo-riemanniennes indécomposables. Le produit est global si la variété est simplement connexe et complète.
Cas riemannien.
indécomposable = irréductible.
Donc avec les résultats de Wang et Moroianu le problème (P) est résolu :
Cas pseudo-riemannien.
Il existe des variétés pseudo-riemanniennes indécomposales mais réductibles.
Le problème est résolu pour le cas lorentzien.
Mais il reste encore ouvert pour le cas général.
Bibliographie
[1] Baum, H. and Kath, I. : Parallel spinors and holonomy groups on
pseudo- Riemannian spin manifolds. Ann. Glog. Anal. Geom., 17 :117 (1999).
[2] Th. Friedrich : Dirac Operators in Riemannian Geometry. Graduate
Studies in Mathematics. Volume 25. AMS Providence, Rhode Island
(2000).
[3] F. Resse Harvey : Spinors and Calibrations, Academic Press, Inc.,
(1990).
[4] Ikemakhen, A. : , Parallel Spinors on pseudo-Riemannian SpinC Manifolds, Journal of Geometry and Phys. 56 (2006) 1473 - 1483.
[5] Ikemakhen, A. : Parallel Spinors on Lorentzian SpinC Manifolds, Differential Geometry and its Applications 25 (2007) 299-308.
[6] Kobayashi, S. and Nomizu, K. : Foundations of differentiable geometry, Vol.1, Interscience, Wiley, New York (1963).
[7] Lawson, H.B. and Michelsohn, M.-L. : Spin geometry Princeton
Univ.Press 1989.
[8] Leistner, Th. : Holonomy and Parallel Spinors in Lorentzian Geometry, PhD thesis, Humbold-University of Berlin, (2003).
[9] Leistner, Th. : Towards a classification of Lorentzian holonomy
groups. Part II : Semisimple, non-simple weak-Berger algeabras,
arXiv :math.DG0309274 v1, (2003).
[10] Moroianu, A. : Parallel and Killing Spinors on Spinc Manifolds.
Commun. Math. Phys. 187, 417-427 (1997).
49
50
BIBLIOGRAPHIE
[11] Wang, M.Y. : Parallel spinors and parallel forms, Ann. Global Anal.
Geom. 7 (1989) 1, 59-68.
[12] Wu, H. : On the de Rham decomposition theorem, Illinois J. Math.
8 (1964) 291-311.