Cours: Sur les variétés pseudo-riemanniennes, spin c admettant des

Cours: Sur les vari´et´es
pseudo-riemanniennes, spin c
admettant des spineurs parall`eles
Ecole Cimpa
Marrakech, 19- 31 mai 2008
Aziz IKEMAKHEN
[e-mail]
Facult´e des Sciences et Techniques, B.P. 549 Gu´eliz-Marrakech-Maroc

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Table des mati`eres
1 Alg`ebres de Clifford 7
1.1 Alg`ebres tensorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Alg`ebres de Clifford , D´efinitions et Propri´et´es . . . . . 9
1.3 Exemples .......................... 12
1.4 Th´eor`eme fondamental de d´ecomposition . . . . . . . . . 15
1.5 Alg`ebres de Clifford des formes quadratiques r´eelles . . . 15
1.6 Alg`ebres de Clifford complexes . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Repr´esentation spinorielle de l’alg`ebre de Clifford Clr,s . 21
2 Groupes Spin et Spinc23
2.1 Groupes Pin(r,s) et Spin(r,s) . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Repr´esentation spinorielle . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Multiplication de Clifford . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Groupes Spinc....................... 29
3 Vari´et´es pseudo-riemanniennes spin et spinc 31
3.1 Structures spin et spinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Fibr´es spinoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Connection spinorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Spineurs parall`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Connexionspinc....................... 41
4 Sur les vari´et´es pseudo-riemanniennes spin c admettant
des spineurs parall`eles 43
4.1 Cas pseudo-riemannien spin irr´eductible . . . . . . . . . 43
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4TABLE DES MATI ` ERES
4.2 Cas Riemannien spinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Cas Lorentzien spinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Probl`eme ouvert et conclusion . . . . . . . . . . . . . . 48

Introduction
La notion de vari´et´es pseudo-riemanniennes spinc admettant des spi-
neurs parall`eles a des applications en math´ematique et physique, no-
tamment en supergravit´e et la th´eorie du ”string”. Ces vari´et´es sont ca-
ract´eris´ees par leur groupe d’holonomie.
Le but de ce cours est de faire un survol sur les r´eponses principales au
probl`eme suivant :
(P) Quels sont les groupes d’holonomie possibles d’une vari´et´e pseudo-
riemannienne (simplement connexe) spinc qui supporte des spineurs pa-
rall`eles non triviaux ?
Pour cela, on va rappeler la notion d’alg`ebres de Clifford r´eelle et com-
plexe. On rappelle aussi les notions de groupes Spin, Spinc et leurs
repr´esentations spinorielles. On parlera de la notion de d´eriv´ee spinorielle
et on donnera une caract´erisation de ces vari´et´es pseudo-riemanniennes
par leur groupe d’holonomie. Et `a la fin, on ´enoncera les r´esultats int´eressants
au probl`eme (P).
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