Applications du produit scalaire : Droites et Cercles. A. Droites. B

Applications du produit scalaire : Droites et Cercles.
A. Droites.
On appelle équation réduite d'une droite (d) une écriture du type y = m x  p si (d) n'est
pas parallèle à l'axe des ordonnées une écriture de la forme x = k sinon.
Une équation cartésienne de la droite (d) est une écriture du type a x  b y c =0
Remarques  Ce type d'équation concerne toute droite qu'elle soit parallèle ou non à  Oy  ;
• L'écriture cartésienne de (d) n'est pas unique puisque
a x  b y  c =0 ⇔ 3 a x 3 b y 3 c = 0 ⇔  a x  b y   c = 0 pour tout  réel non
nul. « Elle est unique à un coefficient multiplicatif près. »
• Je peux passer d'une équation réduite à une équation cartésienne et vice et versa.
n est dit vecteur normal à (d) si ⃗
n est orthogonal à tout vecteur
Définition. Le vecteur non nul ⃗
⃗
n
directeur de (d) (autrement dit la direction de
est perpendiculaire à (d)
Propriété
−b
• Si a x  b y c =0 est l'équation cartésienne de la droite (d) alors ⃗u
est un vecteur
a
a
directeur de (d) et ⃗n
est un vecteur normal de (d)
b
Bien sûr tout vecteur non nul colinéaire à u est aussi directeur de (d) et tout vecteur non nul
colinéaire à n est normal à (d).
( )
()
Exemple. Soit à déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A −2 ; 3  et de
vecteur normal n  4 ;−1 
Deux démarches:
AM ⋅n = 0
➀ M  x ; y  ∈ ⇔ 
x
2
4
AM
or 
et n
 y −3
−1
ainsi M  x ; y  ∈ ⇔ …..................................
….......................................................................
….......................................................................
Une équation de  est .....................................
➁ n  4 ;−1  est vecteur normal à  alors une
équation de  s'écrit :
4 x −1 y  c = 0
pour déterminer c j'utilise le fait que A ∈ 
A −2 ; 3  ∈  alors
….......................................................................
….......................................................................
Une équation de  est ..................................
Problèmes dérivés : Équation de la médiatrice de [AB], elle passe par I milieu de [AB] et 
AB lui
est un vecteur normal....Équation d'une hauteur dans un triangle donné etc.…
B. Cercles.
1
Cercle de centre Ω et de rayon R donnés.
M ∈C ( Ω , R ) ⇔ Ω M=R ⇔Ω M 2=R 2
L'équation d'un cercle est de la forme : ( x−x Ω )2+ ( y− y Ω )2=R2
Cette écriture fait clairement apparaître le centre Ω ( x Ω , y Ω ) et le rayon R
Exemple:  x − 3 2   y 5  2 = 8 est l'équation du cercle de centre O  3 ;− 5  de rayon 8 = 2  2
S. Baudet
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Applications du produit scalaire : Droites et Cercles.
Remarque: La forme développée, réduite, d'une telle écriture  x − x 0  2   y − y 0 2 = R2 est du type
x 2  y 2  ax  by  c = 0 mais attention une écriture de cette forme ne caractérise pas toujours un
cercle.
Exemples.
➀ Dans la plan muni d'un repère orthonormal
quel est l'ensemble des points M  x ; y 
vérifiant: x 2  y 2  6 x − 2 y − 5= 0 ?
➁ Dans la plan muni d'un repère orthonormal
quel est l'ensemble des points M  x ; y 
vérifiant: x 2  y 2 − x − 3 y  3 =0 ?
Démarche: il faut transcrire sous leur forme
canonique les expressions en x et en y.
x 2  y 2  6 x − 2 y − 5= 0
⇔  x 2 6 x    y 2 − 2 y  −5 = 0
⇔   x 3  2 − 9     y − 1 2 −1  − 5= 0
⇔  x  3 2   y −1  2 = 15
L'ensemble cherché est le cercle de centre
  ⋅⋅ ; ⋅⋅  de rayon …..........
Même démarche
x 2  y 2 − x − 3 y  3 =0
⇔  x 2 − x    y 2 − 3 y   3= 0
1 2 1
3 2 9
⇔ x−
−  y−
−  3= 0
2
4
2
4
1 2
3 2
1
⇔ x−
 y−
=−
2
2
2
Une somme de deux carrés ne peut être négative
donc l'ensemble cherché est l'ensemble vide ∅.


  
  
!! A savoir !!: Soit E l'ensemble des points M  x ; y  du plan qui vérifient l'équation
 x − a 2   y −b 2 = où  est un nombre réel.
On a (établi les correspondance d'une flèche)
 0 ✷
= 0 ✷
 0 ✷
2
✷ E est le singleton {  a ; b  }
✷ E est l'ensemble vide
✷ E est le cercle C de centre   a ; b  de rayon  
Cercle de diamètre donné.
M ∈C ( [ AB ] ) ⇔⃗
MA .⃗
MB=0 Cette caractérisation du cercle de diamètre [AB] traduis que le fait
que si M est sur ce cercle alors de deux choses l'une :
• soit il est distinct de A et B et dans ce cas le triangle AMB est rectangle en M et on a bien
⃗
MA .⃗
MB=0 .
• soit il est confondu avec A ou B et ⃗
MA .⃗
MB=0 est toujours vrai (puisque l'un des deux
⃗
0
vecteurs est le vecteur
La réciproque se discute de même…
Exemple. Détermine l'équation du cercle C([AB]) si A ( 4 ;7 ) et B (7 ;3 )
S. Baudet
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