Applications du produit scalaire : Droites et Cercles. A. Droites. B

Applications du produit scalaire : Droites et Cercles.
A. Droites.
On appelle équation réduite d'une droite (d) une écriture du type
y=m x p
si (d) n'est
pas parallèle à l'axe des ordonnées une écriture de la forme
x=k
sinon.
Une équation cartésienne de la droite (d) est une écriture du type
a x b y c=0
Remarques  Ce type d'équation concerne toute droite qu'elle soit parallèle ou non à
Oy
;
•L'écriture cartésienne de (d) n'est pas unique puisque
a x b y c=0⇔3a x 3b y 3c=0⇔  a x  b y   c=0
pour tout
réel non
nul. « Elle est unique à un coefficient multiplicatif près. »
• Je peux passer d'une équation réduite à une équation cartésienne et vice et versa.
Définition. Le vecteur non nul
⃗ n
est dit vecteur normal à (d) si
⃗ n
est orthogonal à tout vecteur
directeur de (d) (autrement dit la direction de
⃗ n
est perpendiculaire à (d)
Propriété
•Si
a x b y c=0
est l'équation cartésienne de la droite (d) alors
⃗
u
(
−b
a
)
est un vecteur
directeur de (d) et
⃗
n
(
a
b
)
est un vecteur normal de (d)
Bien sûr tout vecteur non nul colinéaire à
u
est aussi directeur de (d) et tout vecteur non nul
colinéaire à
n
est normal à (d).
Exemple. Soit à déterminer une équation cartésienne de la droite passant par
A −2 ; 3
et de
vecteur normal
n 4 ;−1
Deux démarches:
➀
M x;y ∈ ⇔ AM ⋅ n=0
or
AM
x2
y−3
et
n
4
−1
ainsi
M x;y ∈ ⇔
…..................................
….......................................................................
….......................................................................
Une équation de
est .....................................
➁
n 4 ;−1
est vecteur normal à
alors une
équation de
s'écrit :
4x−1yc=0
pour déterminer c j'utilise le fait que
A∈
A −2 ; 3 ∈
alors
….......................................................................
….......................................................................
Une équation de
est ..................................
Problèmes dérivés : Équation de la médiatrice de [AB], elle passe par I milieu de [AB] et
AB
lui
est un vecteur normal....Équation d'une hauteur dans un triangle donné etc.…
B. Cercles.
1 Cercle de centre
Ω
et de rayon R donnés.
M∈C
(
Ω, R
)
⇔ΩM=R⇔ΩM2=R2
L'équation d'un cercle est de la forme :
(
x−xΩ
)
2+
(
y−yΩ
)
2=R2
Cette écriture fait clairement apparaître le centre
Ω ( xΩ,yΩ )
et le rayon
R
Exemple:
x−3
2
y5
2=8
est l'équation du cercle de centre
O 3 ;−5
de rayon
8=2 2
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Remarque: La forme développée, réduite, d'une telle écriture
x−x0
2
y−y0
2=R2
est du type
x2y2ax by c=0
mais attention une écriture de cette forme ne caractérise pas toujours un
cercle.
Exemples.
➀ Dans la plan muni d'un repère orthonormal
quel est l'ensemble des points
M x;y
vérifiant:
x2y26x−2y−5=0
?
Démarche: il faut transcrire sous leur forme
canonique les expressions en x et en y.
x2y26x−2y−5=0
⇔ x26x y2−2y −5=0
⇔ x3
2−9
y−1
2−1
−5=0
⇔ x3
2
y−1
2=15
L'ensemble cherché est le cercle de centre
⋅⋅;⋅⋅
de rayon …..........
➁ Dans la plan muni d'un repère orthonormal
quel est l'ensemble des points
M x;y
vérifiant:
x2y2−x−3y3=0
?
Même démarche
x2y2−x−3y3=0
⇔ x2−x y2−3y 3=0
⇔ x−1
2
2−1
4
y−3
2
2−9
43=0
⇔ x−1
2
2
y−3
2
2=−1
2
Une somme de deux carrés ne peut être négative
donc l'ensemble cherché est l'ensemble vide ∅.
!! A savoir !!: Soit E l'ensemble des points
M x;y
du plan qui vérifient l'équation
x−a
2
y−b
2=
où
est un nombre réel.
On a (établi les correspondance d'une flèche)
 0
✷ ✷ E est le singleton
{ a;b }
= 0
✷ ✷ E est l'ensemble vide
 0
✷ ✷ E est le cercle C de centre
a;b
de rayon
2 Cercle de diamètre donné.
M∈C ( [ AB ] ) ⇔
⃗
MA .
⃗
MB=0
Cette caractérisation du cercle de diamètre [AB] traduis que le fait
que si M est sur ce cercle alors de deux choses l'une :
•soit il est distinct de A et B et dans ce cas le triangle AMB est rectangle en M et on a bien
⃗
MA .
⃗
MB=0
.
•soit il est confondu avec A ou B et
⃗
MA .
⃗
MB=0
est toujours vrai (puisque l'un des deux
vecteurs est le vecteur
⃗
0
La réciproque se discute de même…
Exemple. Détermine l'équation du cercle C([AB]) si
A ( 4;7 )
et
B ( 7;3 )
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