Cinématique

& I. Cinématique & I.1
Table des matières
1. Cinématique à une dimension...............................................................................................2
1.1 Notions élémentaires.......................................................................................................2
1.1.1 Intervalle ..................................................................................................................2
1.1.2 Axe de référence ......................................................................................................2
1.1.3 Position et espace parcouru......................................................................................2
1.2 Pour passer de la position à la vitesse, et de la vitesse à l'accélération...........................3
1.3 Pour passer de l'accélération à la vitesse, et de la vitesse à la position...........................5
1.4 Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)................................................8
2. Cinématique à plus d'une dimension.....................................................................................9
2.1 Notions élémentaires.......................................................................................................9
2.1.1 Vecteur.....................................................................................................................9
2.1.2 Projections et composantes vectorielles...................................................................9
2.2 Un problème à n dimensions = n problèmes à une dimension......................................11
3. Ne pas oublier pour les problèmes de cinématique.............................................................13
Stéphane Swillens - édition 2009

& I. Cinématique & I.2
1. Cinématique à une dimension
1.1 Notions élémentaires
1.1.1 Intervalle
Je pars de la maison à 7h14 et arrive à Erasme à 7h38. Combien de temps a duré le voyage?
24 min. Comment ai-je calculé cet intervalle de temps? En faisant la différence entre l'heure
d'arrivée et l'heure de départ:
initial
t
final
tt
−
=
∆ 1.1
& C'est tout simple, mais c'est fondamental: il ne faut pas inverser les valeurs finale et
initiale, sinon ' .
1.1.2 Axe de référence
Je fais le voyage avec un américain qui a laissé sa montre à l'heure américaine. Sa montre
indique 0h13 au départ, et 0h37 à l'arrivée. Sa référence temporelle est donc différente de la
mienne: il utilise un axe du temps possédant une autre origine (apparemment, "son minuit"
précède "mon minuit" d'à peu près 7h). Il n'empêche que lui aussi dit que le voyage a duré 24
min.
& D'une manière générale, le résultat du calcul de l'intervalle escamote l'origine de l'axe,
c'est-à-dire, le niveau de référence. &
1.1.3 Position et espace parcouru
Le totalisateur kilométrique de la voiture indique 75816 km au départ de la maison et
75840 km à l'arrivée à Erasme. Ce sont mes positions au départ et à l'arrivée par rapport à
l'axe de référence défini par le totalisateur. Quelle distance ai-je parcourue? 24 km, résultat
obtenu en faisant la différence entre la position d'arrivée x
final
et la position de départ x
initial
.
L'espace parcouru est donné par
initial
x
final
xx
−
=
∆ 1.2
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& I. Cinématique & I.3
A nouveau, cet intervalle (ici, spatial) ne dépend pas du choix de l'origine de l'axe de
référence: le compteur kilométrique journalier indiquant 352 km au départ et 376 km à
l'arrivée, j'obtiens à nouveau un espace parcouru égal à 24 km.
& Enfonçons définitivement le clou: un intervalle se calcule en faisant valeur finale moins
valeur initiale, que la variable soit un temps, une longueur ou n'importe quoi d'autre (énergie,
pression, potentiel...). &
1.2 Pour passer de la position à la vitesse, et de la vitesse à l'accélération
Mon voyage peut donc être décrit de la façon suivante: au départ il est 7h14 (la référence est
ma montre) et ma position est 352 km (la référence est le compteur kilométrique journalier),
et à l'arrivée il est 7h38 et ma position est 376 km. A quelle allure ai-je voyagé? Ai-je roulé
vite, c'est-à-dire, ai-je parcouru beaucoup de kilomètres en peu de temps? J'ai en fait parcouru
24 km en 24 min, ce qui correspond donc à une vitesse (moyenne, car elle n'a pas toujours été
la même pendant le voyage) de 60 km/h. Quel calcul ai-je fait tout naturellement?
initial
t
final
tinitial
x
final
x
t
x
moyenne
v−
−
=
∆
∆
= 1.3
Bien sûr, la vitesse a varié pendant le trajet. Si je voulais connaître ma vitesse à un instant
donné t (c'est la vitesse instantanée à cet instant t), il suffirait de trouver quelle est, à cet
instant t, la distance ∆x(t) parcourue pendant un très petit intervalle de temps ∆t.
Mathématiquement, je dois calculer cette vitesse dans le cas limite où ∆t tend vers 0: ce
passage à la limite conduit à la notion de dérivée:
dt )t(dx t)t(x
0t
lim)t(
einstantané
v=
∆
∆
→∆
=
1.4
Le calcul d'une telle dérivée requiert la connaissance de x(t), c'est-à-dire l'expression de la
position en fonction du temps. Cela dit, le principe est encore le même: qu'elle soit moyenne
ou instantanée, la vitesse est toujours le rapport entre l'espace parcouru et la durée temporelle
correspondante.
Point de vue pratique: si la position au cours du temps est donnée sous une forme analytique,
la vitesse sera déterminée en dérivant x par rapport au temps (eq 1.4). Si la position est
donnée par un graphique (généralement sous la forme d'une succession de segments de
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& I. Cinématique & I.4
droites), la vitesse en n'importe quel point d'un segment correspondra à ∆x/∆t, c'est-à-dire la
pente de ce segment (fig I.1).
t (s)
01234567
x (m)
0
1
2
3
4
5
6
v = ∆x/∆t = (5-3.1)/(4.8-1.3)
= 1.9/3.5 = 0.54 m/s
v = ∆x/∆t = (2.8-5)/(7-4.8)
= -2.2/2.2 = -1 m/s
fig I.1
Attention: je vois que ∆x peut être positif ou négatif suivant que le mobile va dans le sens de
l'axe Ox de référence ou dans le sens contraire. ∆t est toujours positif car le temps s'écoule
toujours dans le même sens (le temps est irréversible). Dès lors, si ∆x est négatif, la vitesse a
une valeur négative (pente négative).
Dans le cas des mouvements à une dimension, les mêmes techniques seront utilisées pour
déterminer l'accélération à partir de la vitesse:
initial
t
final
tinitiale
v
finale
v
t
v
moyenne
a−
−
=
∆
∆
= 1.5
L'accélération mesure donc la variation de la vitesse par rapport au temps.
Pour connaître l'accélération à un instant donné (c'est l'accélération instantanée à cet instant t),
j'utilise à nouveau un passage à la limite: je fais tendre l'intervalle de temps vers une valeur
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& I. Cinématique & I.5
extrêmement petite ce qui me fournit la dérivée de la vitesse v(t) par rapport au temps t:
dt )t(dv t)t(v
0t
lim)t(
einstantané
a=
∆
∆
→∆
=
1.6
& Connaissant x(t), position du mobile à tout instant t, je peux déterminer la vitesse v(t) et
l'accélération a(t) à tout instant, soit par un calcul de pente lorsque les données sont sous
forme graphique, soit par un calcul de dérivée lorsque les données sont sous forme
analytique. &
1.3 Pour passer de l'accélération à la vitesse, et de la vitesse à la position
Souvent, un problème de dynamique est basé sur la connaissance des forces appliquées à un
mobile. Or, comme une force communique une accélération (que je peux aisément calculer
grâce à Newton: voir chapitre II), la résolution du problème consiste à trouver la vitesse du
mobile à partir de son accélération, puis sa position à partir de sa vitesse. C'est le problème
inverse de celui que j'ai déjà envisagé ci-dessus.
Comment, par exemple, puis-je calculer la position alors que je connais la vitesse au cours du
temps? Pour comprendre, je considère d'abord le problème simple où la vitesse est constante
dans l'intervalle de temps ∆t. Alors, par définition de la vitesse (éq 1.3), j'ai
t.vx
∆
=
∆
1.7
Donc, dans un graphique où v est porté en fonction de t, l'éq 1.7 me dit que l'espace parcouru
∆x est donné par le calcul de la surface du rectangle de hauteur v et de base ∆t. Par exemple,
je vois dans la fig I.2 que la vitesse vaut 0.54 m/s entre 1.3 s et 4.8 s. Je trouve donc par l'éq
1.7 que l'espace parcouru ∆x vaut (0.54 m/s).(4.8 s-1.3 s) = 1.9 m. Attention, ce résultat ne me
dit absolument pas où le mobile se trouve au temps t = 4.8 s! Tout ce que je sais, c'est qu'il a
parcouru 1.9 m dans l'intervalle de temps 1.3 s à 4.8 s. Si je veux connaître en plus sa position
en ce temps final t = 4.8 s, je dois savoir où le mobile se trouvait au temps initial t = 1.3 s.
Alors seulement, en vertu de l'éq 1.2, je peux trouver sa position finale x
final
= x
initial
+ ∆x.
& La détermination de la position au cours du temps nécessite la connaissance de la vitesse
au cours du temps et une condition initiale (ou plus généralement, une position à un moment
donné). &
Ainsi, sachant que x(en t=1.3s) = 3.1 m et ayant calculé ∆x = 1.9 m, je trouve
x(en t=4.8s) = 3.1 m + 1.9 m = 5 m.
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