Étude expérimentale du frottement solide

Frédéric Legrand
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Étude expérimentale du frottement solide
1.
Introduction
Ce document présente une étude expérimentale du frottement d'un solide en bois
sur un support en bois. La méthode du plan incliné permet d'obtenir le coecient de
frottement statique. L'étude en dynamique est faite avec un dynamomètre à jauge de
déformation. La vitesse du support étant imposée, on observe des oscillations de broutement lorsque la liaison avec le dynamomètre est élastique et lorsque la vitesse est assez
faible. Le coecient de frottement dynamique peut être obtenu avec une liaison rigide.
2.
Méthode du plan incliné
Un bloc en bois de masse m = 93 g est posé sur une plaque en bois de longueur
L = 62 cm. Après un temps de repos d'environ 1 minute, on lève lentement une extrémité
de la plaque en suivant une règle graduée disposée verticalement. Lorsque le glissement
se déclenche, on relève la hauteur H de la face inférieure de la plaque.
g
H
α
Le coecient de frottement statique est égal à la tangente de l'angle de glissement, qui
s'exprime en fonction de L et H :
H
µs = tan α = √
L2 − H 2
(1)
L'expérience est faite 10 fois. Voici les mesures et le calcul du coecient de frottement
statique (valeur moyenne et écart-type)
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import numpy
H = numpy.array([27,28,32,31,28,30,29,25,28,30],dtype=numpy.float32)
L=62.0
tab_mus = H/numpy.sqrt(L*L-H*H)
mus = numpy.mean(tab_mus)
dmus = numpy.std(tab_mus)
print((mus,dmus))
--> (0.52578744888305662, 0.044957586274585293)
3.
3.a.
Utilisation d'un dynamomètre
Dispositif expérimental
Un dynamomètre à jauge de déformation est xé sur la table. Le bloc en bois est relié
au dynamomètre par un l. Un ressort est éventuellement ajouté pour assouplir la liaison.
La plaque est déplacée manuellement à une vitesse constante. La force est enregistrée au
cours du temps avec une carte d'acquisition (SysamSP5). La distance de déplacement
étant de 50 cm, la vitesse de glissement peut être estimée à partir de l'enregistrement de
la force.
Dynamomètre
Ressort
Fil
v
La masse du bloc étant de 93 g , la force normale est de 0.91 N .
3.b.
Liaison rigide
On commence par un enregistrement avec un l rigide reliant directement le bloc au
dynamomètre.
import numpy
from matplotlib.pyplot import *
data = numpy.loadtxt("data-54.txt",skiprows=1,unpack=True)
t1 = data[0]
F1 = data[1]
te1 = t1[1]-t1[0]
figure(figsize=(12,5))
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plot(t1,F1)
xlabel('t (s)')
ylabel('F (N)')
grid()
axis([0,t1.max(),0,0.6])
print(te1)
--> 0.002
Voici un deuxième enregistrement, avec une vitesse plus rapide.
data = numpy.loadtxt("data-56.txt",skiprows=1,unpack=True)
t2 = data[0]
F2 = data[1]
te2 = t2[1]-t2[0]
figure(figsize=(12,5))
plot(t2,F2)
xlabel('t (s)')
ylabel('F (N)')
grid()
axis([0,t2.max(),0,0.6])
print(te2)
--> 0.00050000000000000001
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Le relevé de la force de déclenchement du glissement est dicile, car on ne sait pas si
l'échantillonnage est assez rapide pour saisir le moment du déclenchement. Le premier
enregistrement donne un coecient de frottement statique de 0.44, le second donne 0.57
(la fréquence d'échantillonnage est 4 fois plus grande). Pour le second enregistrement,
on remarque aussi un phénomène oscillatoire au début du mouvement.
La vitesse de glissement est de 2 cm/s pour le premier enregistrement, 6.2 cm/s pour
le second. La force de frottement est pratiquement la même dans les deux cas. On observe
d'importantes uctuations de la force, mais le glissement semble continu. Voici le calcul
de la force de frottement moyenne et de son écart-type :
n1 = int(3.0/te1)
n2 = int(26.0/te1)
mf1 = numpy.mean(F1[n1:n2])
df1 = numpy.std(F1[n1:n2])
print((mf1,df1))
--> (0.22855076696290436, 0.019994629890653086)
n1 = int(2.0/te2)
n2 = int(9.0/te2)
mf2 = numpy.mean(F2[n1:n2])
df2 = numpy.std(F2[n1:n2])
print((mf2,df2))
--> (0.23371506867281697, 0.016528040833707725)
Voici le coecient de frottement dynamique :
N = 0.91
mud1 = mf1/N
dmud1 = df1/N
mud2 = mf2/N
dmud2 = df2/N
print((mud1,dmud1))
--> (0.25115468897022458, 0.021972120758959435)
print((mud2,dmud2))
--> (0.25682974579430434, 0.018162682234843654)
Le coecient de frottement dynamique est donc environ deux fois plus petit que le
coecient de frottement statique.
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3.c.
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Liaison souple
Un ressort de raideur K = 0.082 N/cm est introduit dans la liaison entre le bloc et le
dynamomètre. Le ressort est accroché directement au dynamomètre. L'autre extrémité
est reliée au bloc par un l.
data = numpy.loadtxt("data-44.txt",skiprows=1,unpack=True)
t3 = data[0]
F3 = data[1]
te3 = t3[1]-t3[0]
figure(figsize=(12,5))
plot(t3,F3)
xlabel('t (s)')
ylabel('F (N)')
grid()
axis([0,t3.max(),0,0.6])
data = numpy.loadtxt("data-47.txt",skiprows=1,unpack=True)
t4 = data[0]
F4 = data[1]
te4 = t4[1]-t4[0]
figure(figsize=(12,5))
plot(t4,F4)
xlabel('t (s)')
ylabel('F (N)')
grid()
axis([0,t4.max(),0,0.6])
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La force au déclenchement du glissement permet d'obtenir le coecient de frottement
statique. La reproductibilité est meilleure que dans le cas d'une liaison laire rigide. On
obtient un coecient statique de 0.57. Le glissement ne se fait pas en continu, mais
par une alternance de phases d'adhérence et de glissement. Il s'agit du phénomène de
broutement (stick-slip).
On voit que la force du premier glissement est nettement supérieure à la force qui
déclenche les glissements suivants.
Voyons le résultat avec une vitesse de déplacement de la plaque plus grande :
data = numpy.loadtxt("data-45.txt",skiprows=1,unpack=True)
t5 = data[0]
F5 = data[1]
te5 = t5[1]-t5[0]
figure(figsize=(12,5))
plot(t5,F5)
xlabel('t (s)')
ylabel('F (N)')
grid()
axis([0,t5.max(),0,0.6])
Les oscillations sont sinusoïdales, sans interruption du glissement.
La gure suivante montre un enregistrement obtenu avec un ressort de raideur K =
0.44 N/cm.
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data = numpy.loadtxt("data-51.txt",skiprows=1,unpack=True)
t6 = data[0]
F6 = data[1]
te6 = t6[1]-t6[0]
figure(figsize=(12,5))
plot(t6,F6)
xlabel('t (s)')
ylabel('F (N)')
grid()
axis([0,t6.max(),0,0.6])
On observe le même type d'oscillations, d'amplitude similaire mais avec une fréquence
plus grande.
4.
Modélisation
Les lois du Coulomb permettent de modéliser le frottement de glissement. Le programme suivant eectue une simulation de mouvement correspondant à l'expérience où
la plaque est tirée à vitesse constante. L'équation diérentielle du mouvement est intégrée
avec la méthode d'Euler.
v0=0.04 # vitesse de glissement
mus=0.37 # coefficient de frottement statique
mu=0.25 # coefficient dynamique
g = 9.8
m=0.1 # masse
k=8.0 # coefficient de raideur
def integration(tmax,h):
t = 0.0
x = 0.0
v = v0
vg = 0.0
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glissement = False
sens_frottement = 1
liste_t = numpy.array([t])
liste_x = numpy.array([x])
liste_vg = numpy.array([vg])
while t<tmax:
t += h
if glissement:
frottement = sens_frottement*mu*m*g
acceleration = (frottement-k*x)/m
v += acceleration*h
vg = v-v0
x += v*h
if vg*sens_frottement > 0:
glissement = False
else:
v = v0
vg = 0.0
x += v0*h
if k*x >= mus*m*g:
glissement = True
liste_t = numpy.append(liste_t,t)
liste_x = numpy.append(liste_x,x)
liste_vg = numpy.append(liste_vg,vg)
return (liste_t,liste_x,liste_vg)
tmax = 10.0
(t,x,vg) = integration(tmax,1e-3)
f = k*x
figure()
plot(t,f)
xlabel("t (s)")
ylabel("F (N)")
axis([0,t.max(),0,0.6])
grid()
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figure()
plot(t,vg)
xlabel("t (s)")
ylabel("v gliss (m/s)")
max = abs(vg.min())
axis([0,t.max(),-max,max])
grid()
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Le coecient de frottement statique a été choisi pour correspondre à peu près à celui
observé dans la phase stationnaire du mouvement. Le coecient dynamique est celui
obtenu avec la liaison rigide
Voyons le résultat avec une vitesse plus grande :
v0=0.15
tmax = 10.0
(t,x,vg) = integration(tmax,1e-3)
f = k*x
figure()
plot(t,f)
xlabel("t (s)")
ylabel("F (N)")
axis([0,t.max(),0,0.6])
grid()
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figure()
plot(t,vg)
xlabel("t (s)")
ylabel("v gliss (m/s)")
max = abs(vg.min())
axis([0,t.max(),-max,max])
grid()
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On a dans ce cas des oscillations sinusoïdales avec un glissement presque permanent.
L'amplitude d'oscillation de la force est plus grande que pour les oscillations de broutement. Expérimentalement, on observe au contraire une réduction de l'amplitude des
oscillations lorsqu'on augmente la vitesse.