Polarisation électrique dans les cristaux

Master Sciences de la matière Stage 2013–2014
École Normale Supérieure de Lyon Frédéric Combes
Université Claude Bernard Lyon I M2 Physique
Polarisation électrique dans les cristaux
Résumé :Ce rapport présente la travail effectué sur la polarisation électrique dans les cristaux. Il expose
les approches connues, à savoir la description classique et l’approche de Vanderbilt et Resta, avant de
se focaliser sur l’utilisation des fonctions de Green afin de permettre un calcul thermodynamique et afin
de donner accès à la polarisabilité électrique. Les différentes approches connues et calculs effectués sont
comparés au travers de deux modèles jouets unidimensionnels, la chaîne de dimère et le modèle de Rice-
Mele, qui sont explorés analytiquement ou numériquement.
Mots clefs :polarisation électrique, cristaux, modèle de Rice-Mele, fonction de Green, localisation
Stage encadré par :
Jean-Noël Fuchs
jean-noel.f[email protected]
Frédéric Piéchon
[e-mail]
Laboratoire de Physique du Solide
UMR 8502, Université Paris Sud, bat. 510
91405 Orsay
https://www.lps.u-psud.fr/

Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier mes deux responsables de stage, Frédéric et Jean-Noël, pour le sujet, le
stage, et les discussion enrichissantes, ainsi que toutes les autres personnes du groupe théorie, stagiaires, docto-
rants, post-docs et permanents !
Table des matières
1 La polarisation, introduction et motivations 1
1.1 Situation du problème .......................................... 1
1.2 Approche classique de la polarisation .................................. 1
1.3 Théorie moderne de la polarisation : approche de Vanderbilt-Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Motivations ................................................ 2
2 Modèles jouets : chaîne de dimères et modèle de Rice-Mele 3
2.1 Chaîne de dimères ............................................ 3
2.2 Modèle de Rice-Mele ........................................... 3
3 Polarisation classique et approche de Vanderbilt et Resta 4
3.1 Chaîne de dimères ............................................ 4
3.1.1 Calcul thermodynamique .................................... 4
3.1.2 Calcul classique .......................................... 5
3.1.3 Approche de Vanderbilt et Resta ................................ 5
3.2 Modèle de Rice-Mele ........................................... 5
3.2.1 Système fini avec bords ..................................... 6
3.2.2 Système sans bord, périodique ................................. 8
4 Fonction de Green, développement pertubatif 9
4.1 Notions préliminaires ........................................... 9
4.1.1 Approche thermodynamique et fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.2 Choix de la jauge électromagnétique .............................. 9
4.1.3 Échelle de Wannier-Starck .................................... 10
4.2 Approche indépendante de jauge (Chen et Lee) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.1 Dérivation ............................................. 10
4.2.2 Application à la chaine de dimères ............................... 11
4.2.3 Application au modèle de Rice-Mele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Nouvelle approche : fonctions d’onde localisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3.1 Fonctions de Wannier et développement de la fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3.2 Premier ordre de la fonction de Green et polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.3 Deuxième ordre de la fonction de Green et polarisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Application aux modèles ......................................... 14
4.4.1 Chaîne de dimères ........................................ 14
4.4.2 Modèle de Rice-Mele ....................................... 15
4.5 Discussion ................................................. 15
4.5.1 Invariance de jauge ........................................ 15
4.5.2 Bases localisées .......................................... 16
5 Conclusion - perspectives 17
A Théorie moderne de la polarisation 18
B Hamiltonien de Bloch 19

Polarisation électrique dans les cristaux Frédéric Combes
αa
a
Figure 1 – Cristal constitué d’un ion (en rouge) par cellule unité. L’électron (en noir) est situé à une distance αa
de l’ion à sa droite. Les deux choix de cellule unité (encadrés en pointillés) conduisent à deux valeurs distinctes
de la polarisation.
1 La polarisation, introduction et motivations
1.1 Situation du problème
L’objet d’étude de ce stage est la polarisation électrique dans les solides cristallins isolants, plus particuliè-
rement, l’étude se focalise sur les modèles de liaisons fortes à demi-remplissage. Le potentiel chimique est donc
situé dans le gap, et chaque état des bandes occupées l’est deux fois (aucune interaction électron-électron), de
sorte à ce que la charge totale soit nulle - condition sans quoi la polarisation n’est pas définie.
La définition de la polarisation provient de la thermodynamique
Pν=−1
V
∂
∂Eν
Ω(T, µ, ...)E=0
(1)
ou Ωest le grand potentiel, Eνle champ dans la direction spatiale ν(x,you z), Pla polarisation et µle
potentiel chimique.
Ce rapport introduit d’abord les approches connues de la polarisation (point de vue classique et théorie de
Vanderbilt et Resta), afin de pouvoir motiver l’intérêt porté à la polarisation durant ce stage.
1.2 Approche classique de la polarisation
Pour une distribution neutre de charges, la polarisation est simplement le premier moment de la distribution
de charges par unités de volume. En appliquant cette définition à une approche classique d’un cristal dans lequel
les ions et les électrons sont des charges ponctuelles localisées, la polarisation d’un cristal est
P=1
VX
e−
(−e)xe−+1
VX
ion
qionxion =X
e−∈cell.
(−e)xe−+X
ion∈cell.
qionxion (2)
où xreprésente la position de la charge et qion la charge de l’ion. e−∈cell. indique que la somme a lieu sur les
électrons à l’intérieur de la cellule unité. L’exemple le plus simple, un cristal contenant un ion et un électron
par maille, est immédiatement instructif : selon le choix de la cellule unité le calcul de la polarisation donne
P= (−e)αa ou P=−(−e)(1 −α)a. Les deux choix de cellule unité utilisés pour ce calcul sont présentés par la
figure 1.
D’autres choix de la cellule unité conduiraient à de nouvelles valeurs de la polarisation différant de la valeur
(−e)αa d’un multiple entier de (−e)a. Une telle ambiguïté est naturelle du fait de la périodicité du cristal :
décaler tous les électrons d’une cellule unité vers la droite ne modifie pas le système, cependant, une telle
transformation modifie la polarisation de (−e)a. Cette quantité, (−e)aest en général appelé “quantum de po-
larisation”. Dans la suite, on fixe la charge de l’électron à (−e) = −1et la taille de la cellule unité à a= 1, ainsi
l’ambiguïté dans la polarisation (le quantum de polarisation) est 1.
Si on souhaite étendre cette approche à une description quantique des électrons, on est amené à considérer
des distributions continues de charges. Pour une distribution de charge continue, l’approche classique s’étend
naturellement à
P=Zxρ(x)dx(3)
avec la condition de neutralité électrique Rρ(x)dx= 0, où ρ(x) = ρe−(x) + ρions(x)est la densité de charge.
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