Classes de Steinitz et Classes galoisiennes réalisables d`extensions

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Titre : Structure de Modules Galoisiens : Classes de Steinitz et Classes galoisiennes réalisables
d’extensions non abéliennes
Financement prévu : un financement
Cofinancement éventuel :
externe est obligatoire
Directeur de thèse : Bouchaïb SODAÏGUI
E-mail : bouchaib.sodaigui@univ-valenciennes.fr
Co-directeur de thèse :
E-mail :
Laboratoire : LAMAV (Laboratoire de Mathématiques et ses Applications de Valenciennes). EA 4015
Equipe : Théorie des Nombres et Topologie Algébrique
Le domaine est la théorie algébrique des nombres (Mathématiques Pures). Le
cadre est l'étude de la structure galoisienne relative d'anneaux d'entiers de corps de nombres.
L'origine du problème est la recherche d'un analogue entier du théorème de la base normale
dans les extensions galoisiennes finies.
Soient G un groupe fini et k un corps de nombres. Soit N/k une extension galoisienne
modérément ramifiée et à groupe de Galois isomorphe à G. Soient O l'anneau des entiers de
N et o celui de k. La structure de O en tant que o-module est complètement déterminée par la
classe de Steinitz de O dans Cl(k) le groupe de classes de k ; l'ensemble R(k, G) de telles
classes est appelé l'ensemble des classes de Steinitz réalisables. La structure de O en tant
que o[G]-module est déterminée par sa classe dans Cl(o[G]) le groupe de classes des o[G]modules localement libres (l’anneau de groupe o[G] est aussi un ordre arithmétique de o dans
l'algèbre semi-simple k[G]) ; l'ensemble R(o[G]) de telles classes est appelé l'ensemble des
classes galoisiennes réalisables. Une conjecture, vraie dans le cas où G est abélien, est :
R(k, G) et R(o[G]) sont des sous-groupes respectifs de Cl(k) et Cl(o[G]).
Le sujet de la thèse est l'étude de cette conjecture dans le cas où G est non abélien dans la
suite des travaux de B. Sodaïgui et ses collaborateurs (Voir MathScinet). Une attention
particulière sera portée au cas où G est un groupe simple et au lien avec la théorie des codes
cycliques.
Des bases nécessaires et utiles pour aborder le sujet sont : Théorie de Galois, Ramification,
Corps locaux, Théorie du corps de classes, Représentations linéaires des groupes finis,
Algèbres semi-simples, la Hom-description de Fröhlich (à l’aide des caractères de G) du
groupe de classes Cl(o[G]).
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