Chap 2. Les nombres complexes

Chap 2. Les Nombres Complexes
Terminale S
Abraham de Moivre (1667-1754)
Mathématicien surtout connu pour l'introduction des quantités imaginaires dans le
calcul trigonométrique. Il s'intéressa également au calcul des probabilités : il énonça la
règle des probabilités composées et un théorème « limite », montrant que la loi normale
est une bonne approximation de la loi binomiale ; il étudia la théorie des séries récurrentes et employa la méthode des équations
aux différences finies.
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I. Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition
On admet l’existence d’un ensemble noté ℂ, appelé ensemble
des nombres complexes qui possèdent les propriétés suivantes :
•ℝ ⊂ ℂ
• l’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes avec les mêmes règles de calcul
• il existe un nombre complexe noté tel que ! = −$
• tout nombre complexe % s’écrit de manière unique % = & + (
où & ∈ ℝ et ( ∈ ℝ.
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Définition :
La notation % = + + , s’appelle la forme algébrique du
nombre complexe %.
Le nombre réel & est appelé la partie réelle de z notée ℛ/0%1
Le nombre réel ( est la partie imaginaire de z notée ℐ30%1.
Exemples :
3−4
7
3
√2 +
Vocabulaire :
Lorsque ( = 0, % = & est un nombre réel
Lorsque & = 0, % = , est un imaginaire pur
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Propriétés :
Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils
ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Tout nombre complexe admet un opposé.
Tout nombre complexe non nul admet un inverse.
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Exemple :
On pose %9 = 3 + 2 et %: = 5 − 4
Mettre sous forme algébrique
%9 + %: = ⋯
%9 − %: = ⋯
%9 ×%: = ⋯
%9
=⋯
%:
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II. Equation du second degré dans ℂ
Propriété :
Soit @ ∈ ℝ∗ , l’équation % : = @ possèdent deux solutions dans ℂ.
• si @ > 0 alors les solutions sont √@ et −√@.
• si @ < 0 alors les solutions sont √−@ et − √−@.
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Soit @, J, K ∈ ℝ avec @ ≠ 0,
Théorème :
L'équation QR! + SR + T = U, de discriminant Δ = J : − 4@K
admet dans ℂ :
• si Δ = 0, une unique solution % =
WX
:Y
• si Δ ≠ 0, deux solutions
réelles si Δ > 0, R$ =
WSW√Z
!Q
et R! =
complexes conjuguées si Δ < 0, R$ =
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WS[√Z
!Q
WS[ ]|Z|
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!Q
et R! =
WSW ]|Z|
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!Q
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Remarque :
Pour tout % ∈ ℂ, Q` ! + S` + T = Q0R − R$ 10R − R! 1.
Exemple :
Résoudre dans ℂ l’équation :
% : − √3% + 1 = 0
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III. Le plan complexe
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O, c
de, fe)
Définition : Affixe d’un point
• A tout nombre complexe % = & + (, on associe le point g de
coordonnées 0& ; (1 appelé image de % ;
• A tout point g de coordonnées
0& ; (1 est associé le nombre complexe % = & + ( appelé affixe du
point g.
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Axe des imaginaires purs
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Axe des
réels
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Définition : Affixe d’un vecteur
• A tout nombre complexe % = & + (, on associe le vecteur du
plan fe de coordonnées 0& ; (1;
• A tout vecteur du plan fe de coordonnées 0& ; (1, on associe le
nombre complexe % = & + ( appelé affixe du vecteur fe.
Théorème
Soit c
de et fe deux vecteurs d’affixe respective %ide et %jde
• le vecteur somme c
de + fe a pour affixe Rkde[lde = Rkde + Rdle ;
• le vecteur mc
de a pour affixe Rnkde = nRkde .
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Théorème
Soit o et p deux points d’affixes respectives %q et %r ∶
ddddde a pour affixe Rdddddde = Ru − Rt ;
le vecteur op
tu
le milieu v de wopx a pour affixe Ry =
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Rt [Ru
!
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.
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Exemple
On considère les points o, p, z et { d’affixes respectives : %q =
3 + 2 , %r = −1 + , %| = 1 − et %} = 5.
Que peut-on dire du quadrilatère opz{ ?
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IV. Conjugué d’un nombre complexe
Définition
On appelle conjugué du nombre complexe % = & + (, le nombre
complexe noté %̅ = & − (.
Remarque : Les points g et g’ d’affixe % et %̅ sont symétriques
par rapport à l’axe des abscisses.
Propriétés :
Pour tout % ∈ ℂ : R• = R ; R + R€ = !•‚0R1 ; R − R€ = ! ƒ„0R1
Si % ∈ ℝ alors %̅ = % et si % est imaginaire pur alors %̅ = −%.
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Propriétés :
Pour tout % ∈ ℂ et %′ ∈ ℂ et pour tout † ∈ ℕ∗
€€€€€€€€
ˆ
R
+ R′ = R€ + R′
€€€€€€
R×R′ = R€×Rˆ′
0€€€€€€
R‰ 1 = 0R€1‰
€€€€€
$
$
Š ‹ = Œ• R ≠ U
R
R€
€€€€€€
ˆ
R′
R′
Ž •=
Œ• R ≠ U
R
R€
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V. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Le plan étant rapporté au repère orthonormal (O, c
de, fe)
Définition :
Soit % = & + ( ∈ ℂ,
On appelle module de % et on note |%| le réel positif défini par
|R| = ]+! + ,!
Remarque :
Dans le plan complexe, si g est le point d’affixe z alors
|R| = •‘
Propriété :
∀% ∈ ℂ |R|! = R×R€
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Définition :
On appelle argument de % ≠ 0 noté “”•0R1 une mesure en radddddde™.
dian de l’angle orienté –c
de, OM
Soit θ un argument de %, les autres arguments de % sont de la forme θ + 2š›
avec š ∈ œ, donc
arg0R1 " θ w!•x
Définition :
La notation R " |R|0žŸŒ θ ' Œ• θ1 où arg0%1 " θ w2›x s’appelle
la forme trigonométrique du nombre complexe %.
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Méthode : On détermine l’argument en calculant son cosinus et son sinus :
+
partie réelle
£ cos 0arg R1 =
=
|R|
module
¢sin 0arg R1 = , = partie imaginaire
¡
|R|
module
Exemples :
Soit le nombre %9 = −2 + 2 donné sous forme algébrique,
donner sa forme trigonométrique.
¤
Soit le nombre %: tel que |%: | = 2 et arg 0%: 1 = − , donner sa
¥
forme algébrique.
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Propriétés :
Pour tout % ∈ ∗
|#R| " |R|
et arg0#R1 " arg0R1 ' • w!•x
|R€| " |R|
et arg0R€1 " # arg0R1 w!•x
Propriétés :
Pour tout % ∈ ∗
% ∈ si et seulement si arg0%1 " 0 w›x
¤
% est un imaginaire pur si et seulement si arg0%1 " w›x
:
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