Chap 10. Probabilités - ROC Propriété : densité d`une loi uniforme

Chap 10. Probabilités - ROC
Terminale S
Propriété : densité d’une loi uniforme
Soit et deux réels tels que <
Une variable aléatoire % suit la loi uniforme sur l’intervalle '(, *+
lorsque sa densité de probabilité est la fonction constante égale
à
sur ' , +.
./0
Démonstration :
[email protected]
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Terminale S
% suit la loi uniforme sur l’intervalle ' , +.
Sa densité de probabilité est donc une fonction constante :
∀4 ∈ ' , +, 6 748 = : une constante réelle
.
.
; 6 7<8=< = 1 = ; :=< = ':<+.0 = : − : = : 7 − 8
0
donc ∀4 ∈ ' , +,
0
:7 − 8 = 1 ⟺ : =
6 74 8 =
[email protected]
-
./0
∎
1
−
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Terminale S
Propriété : espérance d’une loi uniforme
Soit % une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
l’intervalle ' , +, on note 6 sa densité
% admet une espérance
*
(+*
A7B8 = ; C×E7C8FC =
H
(
Démonstration :
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Terminale S
1
1 <
J 7%8 = ; <×67<8=< = ; <×
=< =
K M
−
−
2 0
0
0
L
L
L
7 − 87 + 8
1
− L
N − O=
=
J 7% 8 =
27 − 8
−
2
2
27 − 8
+
∎
J 7% 8 =
2
.
[email protected]
L .
.
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Propriété de durée de vie sans vieillissement :
Soit Q une variable aléatoire suivant une loi exponentielle,
pour tous réels < et ℎ positifs, STUC 7T ≥ C + W8 = S7T ≥ W8.
Démonstration :
X7Q ≥ < et Q ≥ < + ℎ8 X7Q ≥ < + ℎ8
XYUZ 7Q ≥ < + ℎ8 =
=
X 7Q ≥ < 8
X 7Q ≥ < 8
car ℎ ≥ 0
Z
/^_ Z
]
/^_
X7Q ≥ <8 = 1 − X7Q < <8 = 1 − ; \ ] =4 = 1 − \ K
M
−\ `
`
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] /^Z
1
X 7Q ≥ < 8 = 1 − \ N
−
O = 1 − b1 − ] /^Z c = ] /^Z
−\ −\
de la même façon : X7Q ≥ < + ℎ8 = ] /^7Zde8
] /^7Zde8 ] /^Z ×] /^e
/^e
XYUZ 7Q ≥ < + ℎ8 =
=
=
]
= X 7Q ≥ ℎ 8∎
/^Z
/^Z
]
]
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Terminale S
Propriété : espérance d’une loi exponentielle
Soit Q une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \ sur '0; +∞', on note 6 sa densité
Q admet une espérance
l
p
A7T8 = ijk ; C×E7C8FC =
l→dn o
q
Démonstration :
METHODE 1 en « devinant » une primitive :
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Terminale S
_
_
J 7Q8 = lim ; <×67<8=< = lim ; <×\] /^Z =<
_→dn `
_→dn `
/^Z
sous la forme
On cherche une primitive de \<]
z 7<8 = 7{< + |8] /^Z
z } 7<8 = {] /^Z − \7{< + |8] /^Z = 7−\{< − \| + {8] /^Z
Par identification :
−\
{=
= −1
−\{ = \
\
~
⟺•
−\| + { = 0
−1
|=
\
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1 /^Z
z 7<8 = •−< − ‚ ]
est une primitive de <D\] /^Z .
\
_
_
1
J 7Q8 9 lim ; <D\] /^Z =< 9 lim ƒ•>< > ‚ ] /^Z „
_→dn `
_→dn
\
`
1 /^_ 1
1
1 /^_
/^_
J 7Q8 9 lim •>4 > ‚ ]
G 9 lim • > 4]
> ] ‚
_→dn
\
\ _→dn \
\
or lim ] /^_ 9 0 car \ … 0
_→dn
1 \4
/^_
et lim 4]
9 lim D ^_ 9 0
_→dn
_→dn \
]
1
donc J 7Q8 9 ∎
\
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Terminale S
METHODE 2 en intégrant par parties :
_
_
J 7Q8 = lim ; <×67<8=< = lim ; <×\] /^Z =<
_→dn `
Soit 4 > 0,
_
;
†‡ˆ‡‰
\<×] /^Z =<
` Š‹Œ•Ž•• ‘’ ד
[email protected]
_→dn `
”} = ] /^Z
• = \<
] /^Z
”=
−\
•} = \
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La formule d’IPP est :
Terminale S
*
*
; ˜′š = '˜š+*( − ; ˜š′
(
(
/^Z
_
]
]
/^Z
; \<×] =< = K\<×
M − ; \×
=<
−\ `
−\
`
`
_
/^Z _
]
]
= \4×
− 0 − K\× L M
−\
\ `
/^_
]
/^_
= −4]
−K
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/^Z _
/^_
]
1
/^_
M = −4]
−N
− O
\
\ `
\
/^Z _
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Terminale S
/^_
]
1
/^Z
/^_
; \<D] =< 9 >4]
>
G
\
\
`
or lim ] /^_ = 0 car \ > 0
_→dn
1 \4
/^_
et lim 4]
= lim × ^_ = 0
_→dn
_→dn \
]
_
1
donc J 7Q8 = ∎
\
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Terminale S
Propriété : Loi normale
Soit Q une variable aléatoire qui suit la loi normale › 70; 18,
pour tout œ ∈ +0; 1', il existe un unique réel positif ”• > 0 tel
que
S7−˜ž ≤ T ≤ ˜ž 8 = p − ž
En particulier ˜o,o ≈ p, ¢£ et ˜o,op ≈ H, ¤
Démonstration :
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Terminale S
La fonction 6 est continue donc elle admet une primitive mais
cette primitive n’est pas exprimable par les fonctions usuelles.
Pour tout ”, par symétrie de la courbe de 6748 9
‘
-
√L¦
]
§¨
/
¨
X7>” ≤ Q ≤ ”8 9 2X70 ≤ Q ≤ ”8 = 2 ; 6748=4 = 2z 7”8
`
où z est la primitive de 6 sur ℝ qui s’annule en 0.
La fonction z est continue et strictement croissante sur +0; +∞'
car 6748 > 0 sur +0; +∞'.
‘
1
De plus lim z 7”8 = lim ; 6748=4 = donc
‘→dn
‘→dn `
2
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Terminale S
”
2z 7”8
0
+∞
1
0
Pour tout œ ∈ +0; 1', 1 − œ ∈ +0; 1'
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel
positif ”• > 0 tel que
2z 7”• 8 = X7−”• ≤ Q ≤ ”• 8 = 1 − œ
De plus 2z étant monotone, le réel ”• est unique∎
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Terminale S
Espérance d’une loi normale
Q suit la loi normale › 70; 18, on note 6 sa densité
Q admet une espérance
o
l
A7T8 = ijk ; C×E7C8FC + ijk ; C×E7C8FC = o
l→/n l
Démonstration :
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l→dn o
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Terminale S
`
_
J 7Q8 9 lim ; <×67<8=< + lim ; <×67<8=<
_→/n _
`
J 7Q8 = lim ; <×
_→/n _
J 7Q8 = lim K−
_→/n
J 7Q8 = lim «
_→/n
1
√2ª
√2ª
_¨
1
√2ª
[email protected]
Z¨
/
] L =<
`
Z¨
/
] LM
]/ L − 1
J 7Q8 = 0 + 0 = 0∎
_→dn `
_
_
+ lim ; <×
_→dn `
+ lim K−
_→dn
¬ + lim «
_→dn
1
√2ª
Z¨
1 − ]/ L
√2ª
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1
√2ª
Z¨
/
] L =<
dn
Z¨
/
] LM
¬
`
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Terminale S
Intervalle de fluctuation asymptotique
Si %- suit la loi ℬ7¯; |8, alors, pour tout œ dans +0; 1' on a,
%lim X • ∈ °- ‚ = 1 − œ
-→dn
¯
³|71 − |8
³|71 − |8
, | + ”•
´
où °- = ²| − ”•
√¯
√¯
et ”• désigne le nombre réel tel que X7−”œ ≤ Q ≤ ”œ 8 = 1 − œ
lorsque Q suit la loi › 70; 18.
Démonstration ROC :
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Terminale S
%- ↪ ℬ7¯; |8
J 7%- 8 9 ¯| et ¶7%- 8 9 ³¯|71 > |8
D’après le théorème de Moivre-Laplace
La variable centrée réduite ¸- =
et
:
.
lim X7¸- ∈ ' , +8 = ;
-→dn
où Q ↪ › 70; 18
0
1
√2ª
¹º /-»
³-»7-/»8
_¨
] / L =4
vérifie pour tous réels
= X7 ≤ Q ≤ 8
or pour tout œ dans +0; 1', il existe un unique réel positif ”• > 0
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Terminale S
tel que X7−”• ≤ Q ≤ ”• 8 = 1 − œ
lim X7−”• ≤ ¸- ≤ ”• 8 = X7−”• ≤ Q ≤ ”• 8 = 1 − œ
-→dn
= lim X ¼¯| − ”• ³¯|71 − |8 ≤ %- ≤ ¯| + ”• ³¯|71 − |8½
-→dn
= lim X ¾| − ”•
-→dn
³|71 − |8
√¯
%³|71 − |8
≤
≤ | + ”•
¿
¯
√¯
%lim X • ∈ °- ‚ = 1 − œ ∎
-→dn
¯
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Terminale S
Exemple 1 :
D’après les lois génétiques de Mendel, certains croisements de
différentes variétés de pois devraient donner des pois jaunes et
verts dans une proportion égale à 3 pour 1.
Lors d’une expérience, on a obtenu un échantillon, que l’on peut
considérer comme aléatoire, présentant 176 pois jaunes et 48
pois verts.
Ces résultats sont-ils cohérents avec la théorie de Mendel ?
Les conditions sont remplies car
¯ = 224 ≥ 30, ¯| = 168 ≥ 5 et ¯71 − |8 = 56 ≥ 5
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176
176
69
9
≈ 0,7857
176 G 48 224
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est
3 1
3 1Æ
Â
Ã
Ã
× 3
×
3
4 4
4 4Å
Á
; + 1,96
° = − 1,96
Á4
√224 4
√224 Å
À
Ä
3
√3 3
√3
= K − 1,96
; + 1,96
M = '0,693 ; 0,807+
4
16√14 4
16√14
donc 6 ∈ ° donc ce résultat est conforme
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Terminale S
Remarque :
L’intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95% vu
É
É
nde
en 2 était Ç| > ; | G È 9 Ç >
; G
È9
Ê
LLÊ
Ê
LLÊ
√
√
√
√
'0,683; 0,817+
L’intervalle de fluctuation de la fréquence est moins précis que
l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%∎
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Terminale S
Exemple 2 :
Un grossiste a acheté 50000 clés USB à un fabriquant qui lui a
certifié que 60% avait une capacité de 4 Go et 40% une capacité
de 2 Go. Un technicien prélève au hasard 50 clés USB parmi lesquelles 23 ont une capacité de 4 Go.
Le technicien doit-il alerter son patron ?
Les conditions sont remplies car
¯ = 50 ≥ 30, ¯| = 30 ≥ 5 et ¯71 − |8 = 20 ≥ 5
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Terminale S
23
69
= 046
50
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est
√0,6×0,4
√0,6×0,4
° = K0,6 − 1,96
; 0,6 − 1,96
M
√50
√50
= '0,464 ; 0,736+
donc 6 ∉ ° donc ce résultat n’est pas conforme, on peut rejeter
l’hypothèse selon laquelle 60% des clés USB ont une capacité de
4 Go.
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Terminale S
Remarque :
L’intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95% vu
nde
en 2 était Ç| > ; | G È 9 Ç0,6 −
; 0,6 +
È=
Ì`
Ì`
√
√
√
√
'0,459; 0,741+
L’intervalle de fluctuation de la fréquence est moins précis que
l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. En particulier pour notre exemple il ne permettrait pas de rejeter
l’hypothèse.∎
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Terminale S
Inclusion dans l’intervalle de seconde :
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% vérifie
1
1
³|71 > |8
³|71 > |8
²| > 1,96
, | G 1,96
´ ⊂ ƒ| >
;| G „
√¯
√¯
√¯
√¯
où Ç| >
-
√-
;| G
-
√-
È est l’intervalle de fluctuation utilisé en 2nde.
Démonstration :
La fonction 6 ∶ | ∈ '0; 1+ ⟼ |71 − |8 = −|L + |
1
}7 8
6 | = −2| + 1 = 0 ⟺ | =
2
6 admet un maximum atteint pour | = et qui vaut 6 ¼ ½ =
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L
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L
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Ê
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donc pour tout |
0 ≤ |71 − |8 ≤ ⟺ 0 ≤ ³|71 − |8 ≤
Ê
L
1,96
⟺ 0 ≤ 1,96³|71 − |8 ≤
<1
2
³»7-/»8
donc | + 1,96
<|+
√-
De la même façon | −
-
√-
√-
< | − 1,96
³»7-/»8
√-
∎
Pour une valeur de | fixée, l’intervalle ÇÐÑ −
Estimation
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p
Ä
, ÐÑ +
p
È
Ä
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contient, pour ¯ assez grand, la proportion | avec une probabilité au moins égale à 0,95.
Démonstration (ROC) :
%- ↪ ℬ7¯; |8
J 7%- 8 9 ¯| et ¶7%- 8 9 ³¯|71 > |8
D’après le théorème de Moivre-Laplace
¹º /-»
La variable centrée réduite ¸- =
vérifie pour tous réels
et
:
.
lim X7¸- ∈ ' , +8 = ;
-→dn
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0
³-»7-/»8
1
√2ª
_¨
] / L =4
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= X7 ≤ Q ≤ 8
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Terminale S
où Q ↪ › 70; 18
En particulier
lim X7−2 ≤ ¸- ≤ 28 = X7−2 ≤ ¸ ≤ 28 ≥ 0,9544 > 0
-→dn
Donc pour ¯ assez grand, X7−2 ≤ ¸- ≤ 28 sera très proche de
0,9544
Par exemple avec Ò = 0,0004, il existe Ó` ∈ ℕ, tel que pour tout
¯ ≥ Ó`
0,954 ≤ X7−2 ≤ ¸- ≤ 28 ≤ 0,9548
X7−2 ≤ ¸- ≤ 28 ≥ 0,95
%- − ¯|
X N−2 ≤
≤ 2O ≥ 0,95
³¯|71 − |8
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Terminale S
X ¼¯| > 2³¯|71 > |8 ≤ %- ≤ ¯| G 2³¯|71 > |8½ ≥ 0,95
X ¾| −
2³|71 − |8
√¯
%2³|71 − |8
≤
≤|+
¿ ≥ 0,95
¯
√¯
Or ³|71 − |8 ≤ pour tout | ∈ '0,1+
donc ƒ| −
-
L
L³»7-/»8
√-
et donc X ¼| −
-
√-
et enfin X ¼z- −
;| +
√-
≤ z- ≤ | +
-
√-
[email protected]
„ ⊂ Ç| −
L³»7-/»8
-
√-
≤ | ≤ z- +
½ > 0,95
-
√-
-
√-
;| +
½ > 0,95∎
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-
√-
È
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