159 Algorithme d_Euclide

159 Algorithme d'Euclide dans . Calcul de PGCD et de coefficients de Bézout.
Applications.
Chiffrement affine (Terracher) Terracher TS
Damphousse
Monier Alg MPSI
I. Algorithme d'Euclide: calcul du Pgcd.
de par :
a b
0 0
a bq r
= +
0 0
de par (si 0) :
b r r ≠
0 1 1
b r q r
= +
1 0 1
de par (si 0) :
r r r ≠
0 1 2 2
r r q r
= +
1
de par (si 0) :
n n n
r r r
−
≠
1 1 1
n n n n
r r q r
− + +
= +
II. Développement en fractions
continues.
0 1 2
1
2
1
[ , ,..., ]
1
1
1
...
n
n
a a a a
a
a
a
+ =
+
+
+
1 2 1 2
[ , ,..., ] [ , ,..., , 0,0..., 0]
n n
a a a a a a=
1 2 3
[ , , ,..., ,0,0,...]
k
aq q q q
b
+
=
III. Coefficients de Bézout, applications.
A. Calcul des coefficients de Bézout.
(MON)
(157)
1
a b
∧ =
1
a b
∧ =
2 11 1 1 2 2
1 1
11 2 1
, , ... ,
0
0 0
N N N N
N N N
N N
r r q r
a bq r b r q r
r r q
r r
r b r r
− −
− +
−
= +
= + = +
=
< <
< < < <
1
N
r a b
= ∧ =
2 1 3 2 1 1
1 2 2 1 1
1,
,
N N N N N N N
r r q r r q r
b r q r a bq r
− − − − − −
= + = +
= + = +
B. Chiffrement affine.
(TER)
. 103-302-304.
{
}
{
}
[ ]
0,1,..., 25 0,1,..., 25
:
( ) 17 22 26
f
x f x x
→
≡ +
IV. Equation ax+by = Pgcd(a,b)
(TER)
.
A. Un exemple "à la main": 62x + 43y = 1. (8)

159 Algorithme d'Euclide dans .Calcul de PGCD et de coefficients de Bézout. Applicat
os
. Chiffrement affine (Terracher) Terr, Dam, Mon.
0
0
43
, ,
62
x x k
k
y y k
= +
∈
= −
(
)
{
}
9 43 ,13 62 ,S k k k= − + − ∈
B. Avec un tableur. (dvt 306)
, où gcd( , )
ax by D D P a b
+ = =
0 1
,...
n
r r
+
a
b
gcd( , )
n
r P a b
=
•   
(0 )
k n
≤ ≤
et
k k
u v
k k k
au bv r
+ =
2 1 2
k k k k
u u u q
+ + +
= −
2 1 2
k k k k
v v v q
+ + +
= −
• 
gcd( , )
n n n
au bv r P a b
+ = =
• 
V. Notes.
0 1
...
... 0
n
r b r r > >
> > > ≥
(
)
n
r
0 0
a bq r
= +
a
b
0
a bq
−
0
r
b
0
r
b
0
r
0 0
bq r
+
a
a
b
a
b
b
0
r
(
)
(
)
0
, ,
PGCD a b PGCD b r
=
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 1 2 1
gcd , gcd , gcd , gcd , ...
i i
P a b P b r P r r P r r
− −
= = =
2 1
0
i i i
r r q
− −
= +
1
i
r
−
2
i
r
−
1
i
r
−
1
∞
1
0
∞
0 0
1 1
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
... ...
1
1
01
...
0
n
n
a a
a a
a a
a
a
+ = +
+ +
+ +
+ +
+
+
1
1
1
1
1 1 1
1
a r
q q q q
b r
b b q
q
r
r r
r
= + = + = + = +
    +
+
1 1
22
2
1
1
2
1 1
...
1 1
1
q q
q q
rq
qr
r
r
= + = + =
+ +
  +
+   

159 Algorithme d'Euclide dans .Calcul de PGCD et de coefficients de Bézout. Applicat
os
. Chiffrement affine (Terracher) Terr, Dam, Mon.
1
2
3
3
1
... 1
1
1
1
...
k
q
q
q
q
q
+
= +
+
+
+
+
1 2
1 1
...
qq q +
+ +
s
α
<
[
]
α
α
1
1 1
1
[ ] [ ]
1
[ ] ....
α α α α α
αα α
−
− −
= + < >= + < >
= + =
< > + < >
4 1 4 9 25
1 ...
2 2 2 2
π
= +
+ + + +
(
)
2
,u v ∈
1, et ,
au bv u b v a
+ = < <
( )
( )
3
*
|
, , , |
1
a bc
a b c a c
a b
∀ ∈ ⇒
∧ =
62 43 1
∧ =
0
0
43
, ,
62
x x k
k
y y k
= +
∈
= −
(
)
{
}
9 43 ,13 62 ,S k k k= − + − ∈