Rappels sur les tableaux et l`algorithme du simplexe

Rappels sur les tableaux et l’algorithme du simplexe
•` A tout tableau est associ´ee non seulement une base du probl`eme initial
(primal) mais ´egalement une base du probl`eme dual.
•Les valeurs des variables basiques primales se lisent dans la derni`ere
colonne du tableau.
•Les valeurs de la solution basique duale se lisent dans la derni`ere ligne
du tableau.
•Les variables de d´ecision du dual sont associ´ees aux variables d’´ecart du
primal. R´eciproquement, les variables d’´ecart du dual sont associ´ees aux
variables de d´ecision du primal.
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 125

•Les solutions basiques primale et duale associ´ees `a un tableau ont mˆeme
valeur et v´erifient les ´ecarts compl´ementaires.
•Dans tous les tableaux visit´es par l’algorithme du simplexe la solution
basique primale est toujours admissible.
•L’algorithme s’arrˆete d`es qu’une solution basique duale admissible est
atteinte, le tableau ´etant alors optimal.
•Le tableau optimal contient non seulement la solution (optimale) du
probl`eme initial mais ´egalement celle de son dual.
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 126

L’algorithme dual du simplexe (phase II)
Consid´erons le PL canonique
Max z=−x1−2x2
s.c.2x1+x2≤6
−x1−x2≤ −4
x1, x2≥0
de tableau initial
T0=
x1x2x3x4z
2 1 1 0 0 6
−1−1 0 1 0 −4
1 2 0 0 1 0
T0n’est pas (primal-)admissible mais est dual-admissible !
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 127

On peut donc chercher `a r´esoudre le probl`eme dual tout en travaillant dans
le tableau primal.
Dans T0, la fonction objectif duale (`a minimiser) s’´ecrit w=yb. Il faut
donc augmenter une variable de d´ecision duale associ´ee `a un ´el´ement bi<0
afin de diminuer w.
Le seul candidat est b2=−4, la variable primale x4va donc quitter la base
primale et la variable duale y2associ´ee va entrer dans la base duale. Afin de
conserver l’admissibilit´e duale, le pivot doit ˆetre choisi dans une colonne r
v´erifiant −γr
α2r
= max !−γk
α2k
|α2k<0".
Comme −γ1/α21 =−1et −γ2/α22 =−2, il faut pivoter sur α21 et faire
entrer x1dans la base en lieu et place de x4.
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 128

T0=
x1x2x3x4z
2 1 1 0 0 6
−1−1 0 1 0 −4
1 2 0 0 1 0
T1=
x1x2x3x4z
0−11 2 0 −2
1 1 0 −1 0 4
0 1 0 1 1 −4
y3y4y1y2
Le tableau T1est toujours dual-admissible mais, maintenant, β1est
n´egatif, x3va donc quitter la base primale et y1entrer dans la base duale.
Le seul pivot n´egatif dans la premi`ere ligne est α12 =−1.
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 129