Dual

La dualit´e en programmation lin´eaire
•Motivation : recherche de bornes
•Dual d’un probl`eme canonique
•R`egles de dualisation
•Th´eor`emes de dualit´e faible et forte
•Th´eor`emes des ´ecarts compl´ementaires
•Interpr´etation ´economique des variables duales `a l’optimum
•Lemme de Farkas
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 97

Rappels sur les in´equations
•Toute combinaison conique (c.-`a-d. `a coefficients non n´egatifs)
d’in´equations du mˆeme type fournit une in´equation valide.
2x1+x2≤3×3
5x1−3x2≤5×1
11x1≤14
•Toute combinaison lin´eaire d’´equations fournit une ´equation valide.
•On peut combiner des in´equations et des ´equations pour obtenir une
in´equation valide.
x1+ 2x2≤3×4
3x1−x2= 5 × −1
x1+x2≥2× −2
−x1+ 7x2≤3
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 98

Comment borner la valeur optimale d’un PL ?
Soit le PL canonique
Max z=x1+ 4x2
s.c. x1−x2≤2
2x1+x2≤5
x2≤3
x1, x2≥0
x2
x1
(x1= 1, x2= 3)
z= 13
de solution optimale x∗
1= 1, x∗ 2= 3 et z∗= 13.
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 99

Consid´erons l’in´equation valide obtenue en multipliant par 4 la deuxi`eme
contrainte.
8x1+ 4x2≤20
Pour tout couple de valeurs (x1, x2)non n´egatives on a
x1+ 4x2≤8x1+ 4x2
et pour toute solution admissible du PL on a donc
z=x1+ 4x2≤8x1+ 4x2≤20.
En particulier, pour la solution optimale du PL, on a
z∗≤20.
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 100

Peut-on faire mieux ?
L’in´equation valide obtenue en additionnant la premi`ere contrainte et 5 fois
la troisi`eme est x1−x2≤2×1
x2≤3×5
x1+ 4x2≤17
Ainsi, pour toute solution admissible du PL, on a
z=x1+ 4x2≤17
et, en particulier,
z∗≤17.
J.-F. Hˆeche, ROSO-EPFL Recherche op´erationnelle SC & PH 101