2e principe et machines thermiques

Sciences physiques EXERCICES
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T40. Transformation irréversible.
Deux solides de même masse m, de même capacité thermique massique c supposée constante, et de températures
initiales T
1
et T
2
respectivement pour le solide chaud et le solide froid, sont placés dans une enceinte rigide et
adiabatique. Ils sont alors mis en contact.
1) Exprimer la température finale T
f
correspondant à l'équilibre. On pourra noter T
FR
et T
CH
les températures des deux
solides à un instant quelconque. On utilisera le premier principe.
2) Exprimer la variation d'entropie ∆S de l'ensemble. On posera ∆ S = ∆ S
FR
+ ∆ S
CH
.
Déterminer le signe de ∆ S par deux méthodes, l'une utilisant le 2
e
principe, l'autre se basant sur un calcul.
T41. Transformation réversible.
On considère deux solides de même masse et de même capacité thermique massique c supposée constante. Les deux
solides, dont les températures initiales sont respectivement T
1
(corps chaud) et T
2
(corps froid) servent de sources de
chaleur à une machine idéale, supposée motrice, fonctionnant par cycles réversibles entre ces deux sources seulement.
L'ensemble est placé dans une enceinte adiabatique.
1) Quelle est la température T
f
au bout d'un temps très long ? (Comparer à l'exercice précédent). On notera T
FR
et T
CH
les températures des deux solides à un instant quelconque.
2) Quel est le travail obtenu ? Vérifier son signe par un calcul.
T42. Variation d'entropie d'un gaz parfait.
1) Une mole d'hélium (assimilé à un gaz parfait) est enfermée dans un cylindre dont les parois sont perméables à la
chaleur, lui-même plongé dans un thermostat à T
0
= 273 K. Initialement, le gaz est à la température T
1
= 300 K. On le
laisse refroidir à pression constante. Calculer la variation d'entropie du gaz, du thermostat et de l'univers (c'est-à-dire
de l'ensemble). On prendra C
VM
= 3 R/2 pour l'hélium, R = 8,314 J.K
-1
.mol
-1
.
2) Partant de l'équilibre précédent, on réduit de moitié le volume du gaz de manière isotherme et réversible. Calculer
la variation d'entropie du gaz, du thermostat et de l'univers.
T43. Immersion d'un bloc métallique dans un lac.
Un bloc métallique de capacité calorifique C = 150 J.K
-1
, porté à 100 °C, est immergé dans un lac à 10 °C. Quelle sont
les variations d'entropie du bloc métallique ( ∆ S), du lac ( ∆ S
s
) et de l'univers ( ∆ S
u
) ?
Rappel : En thermodynamique, "l'univers" est constitué du système qu'on étudie et de tous les accessoires
thermodynamiques (thermostats, réservoirs de volume, etc.) avec lesquels ils interagissent, si bien qu'on peut considérer
l'ensemble comme isolé. Il s'agit donc là d'une définition très restrictive.
T44. Gaz dans un cylindre à deux compartiments.
Les deux compartiments d'un cylindre isolé, de volume V contiennent initialement un gaz parfait monoatomique à la
même température T = T
1
= T
2
= 300 K, sous les pressions p
1
= 1 bar et p
2
= 2 bar ; les volumes initiaux sont égaux :
V
1
= V
2
= ½V = 1 L. La paroi diatherme qui sépare les deux compartiments est rendue libre. Quelles sont la
température finale T
f
, la pression finale p
f
et la variation totale d'entropie ∆ S ?
T45. Moteur idéal.
Deux corps identiques, de capacité calorifique constante C, ont initialement des températures T
1
et T
2
< T
1
. Un moteur
(S) les utilise comme sources chaude et froide pour produire un travail W ; à la fin du processus, (S) retrouve son
état initial, et les deux corps sont à une même température T
0
. Trouver la valeur maximale de W, et la valeur de T
0
quand W atteint son maximum.
T46. Climatiseur.
Un local, de capacité thermique C = 4.10
3
kJ/K, est initialement à la température de l'air extérieur T
0
= 305 K. Un
climatiseur, fonctionnant de façon cyclique réversible ditherme entre l'air extérieur comme source chaude et le local
comme source froide, ramène la température du local à 293 K en 1 h.
1) Exprimer l'efficacité frigorifique et montrer qu'elle décroît au cours de l'expérience.
2) Utiliser cette efficacité pour exprimer la quantité de travail élémentaire consommé pendant la durée dt en fonction
de la quantité de chaleur élémentaire évacuée par le local.
3) Quelle est la puissance électrique moyenne P reçue par le climatiseur ?
Rép : 269 W
40
46
T

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T47. Cycle de l'air dans un moteur Diesel à double combustion.
Dans les moteurs Diesel actuels, le cycle décrit par l'air est celui repré
senté sur la
figure dans le diagramme de Watt (p, V) : la pression en 1 est 1 bar et la température
293 K. La pression maximale est 65 bar et la température maximale (en 4) 2 173 K.
12 et 45 sont adiabatiques.
On suppose que l'air est un gaz parfait diatomique, de masse molaire M = 29 g.mol
-1
.
On donne le taux de compression : α
v
= V
1
/V
2
= 19.
1) En quoi ce cycle diffère-t-il du cycle Diesel classique ?
2) Exprimer, en fonction de γ = C
p
/C
v
, et des températures T
1
, T
2
, T
3
, T
4
, T
5
des points
correspondants sur le diagramme, l'efficacité η
m
du moteur Diesel à double
combustion.
3) Calculer T
2
, T
3
et T
5
. En déduire la valeur de η
m
.
4) Quelle est, en kJ, la chaleur reçue par 1 kg d'air au cours de l'évolution entre les points 2 et 4 ? Quelle est la
chaleur reçue entre les points 5 et 1 ? En déduire le travail fourni par 1 kg d'air au milieu extérieur au cours d'un
cycle.
T48. Cycle Beau de Rochas.
En ce qui concerne les échanges énergétiques, le cycle du moteur à quatre
temps peut être ramené théoriquement au cycle suivant :
1°) Une compression quasistatique AB de {V
0
, T
A
} à {V
0
/a, T
B
}.
2°) Un échauffement isochore BC au cours duquel le gaz reçoit la quantité de
chaleur Q
CH
. Il atteint en C la température T
C
.
3°) Une détente quasistatique CD jusqu'au volume V
D
(la température est
alors T
D
).
4°) Un refroidissement isochore DA au cours duquel le gaz fournit à la
source froide la quantité de chaleur Q
FR
.
1) Déterminer le rendement du cycle en fonction de a et du rapport γ
supposé constant, le gaz étant considéré comme parfait.
2) En admettant pour le mélange combustible un pouvoir calorifique K
m
= 2760 J par gramme de mélange, et en
assimilant ce dernier à l'air (c
V
= 0,71 J.g
-1
.K
-1
, γ = 1,4) déterminer la température en fin d'explosion (point C du
cycle). On donne la température du milieu extérieur T
A
= 300 K, on prendra pour rapport volumétrique a = 9.
3) En imaginant une machine de Carnot idéale fonctionnant entre T
C
et T
A
, calculer son rendement, et le comparer au
rendement théorique du cycle Beau de Rochas .
T49. Pompe à chaleur.
On désire maintenir dans un appartement de capacité thermique C = 10
7
J.K
-1
une température constante T
1
= 290 K
grâce à une pompe à chaleur utilisant comme source froide un lac de température T
0
= 280 K. La température
extérieure est uniformément égale à T
0
. Il faut évidemment pour cela dépenser la puissance juste nécessaire pour
compenser les pertes de chaleur.
1) Dans le but d'évaluer ces pertes, on arrête le chauffage, la température de l'appartement étant initialement T
1
. Au
bout de ∆ t = 2 h, la température n'est plus que T
2
= 285 K.
1-a) On désigne par Φ le flux thermique à travers les parois du local, grandeur algébrique orientée des températures
chaudes vers les températures froides. On donne
dQ
dt
Φ = − .
Quelle est la dimension de Φ ? Justifier le signe "–" de la formule.
1-b) On définit la résistance thermique R
θ
par la relation T R
θ
∆ Φ
= (notez l'analogie avec la loi d'Ohm), ∆ T désignant
l'écart de température entre l'intérieur et l'extérieur : ∆ T = T – T
0
, T représentant la température de l'appartement.
Exprimer la quantité élémentaire de chaleur δ Q échangée par l'appartement pendant la durée élémentaire dt en
fonction de T, T
0
et R
θ
.
1-c) L'appartement est assimilé à un système de capacité thermique C
V
≈ C
P
= C = 10
7
J.K
-1
.
Exprimer δ Q en fonction de C et de la variation élémentaire de température dT. En déduire la résistance thermique
des parois en fonction de C,
∆ t et des températures. Application numérique.
2) Sachant que le coefficient d'efficacité réel de la machine n'est que la fraction x = 40 % de l'efficacité théorique
optimale, quelle est la puissance P à fournir pour maintenir une température T
1
constante dans l'appartement ?
47
49
T

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T50. Connaissez-vous la ferme aux crocodiles ?
Une centrale nucléaire fournissant une puissance P = 1 000 MW à la turbine d'un alternateur est installée au bord
d'un fleuve dont la température est T
FR
= 300 K, et le débit q
v
= 400 m
3
/s. La température de la source chaude est T
CH
= 700 K. En admettant que le rendement réel soit seulement la fraction x = 60 % du rendement de Carnot réversible,
calculer l'élévation de température du fleuve qui résulte du fonctionnement. On donne pour l'eau : c = 4180 J.K
-1
.kg
-1
.
T51. Coefficient de performance d'un réfrigérateur, d'une pompe à chaleur.
Définir et calculer, pour un fonctionnement réversible, les coefficients de performance (ou d'efficacité) :
1) d'un réfrigérateur ; numériquement T
FR
= 4 °C, T
CH
= 20 °C.
2) d'une pompe à chaleur ; numériquement T
FR
= 0 °C, T
CH
= 20 °C.
Rép : 17,31 ; 14,65
T52. Machine frigorifique à absorption.
Les machines frigorifiques à absorption sont basées sur la variation avec la température de la solubilité des gaz dans
les liquides, et elles fonctionnent schématiquement avec trois sources de chaleur dont les températures vérifient
T
1
< T
2
< T
3
. Il n'y a aucune pièce mécanique mobile : l'apport d'énergie électrique est entièrement employé à vaporiser
une solution d'ammoniac dans un générateur à la température T
3
. L'ammoniac, après avoir été liquéfié. est envoyé
dans l'évaporateur à la température T
1
où il se vaporise en enlevant de la chaleur à la source froide. Les vapeurs vont
ensuite se dissoudre dans l'eau au niveau d'un absorbeur à la température ambiante T
2
en restituant de la chaleur au
milieu extérieur.
1) En supposant le fonctionnement idéal (i.e. réversible), exprimer le coefficient d'efficacité en fonction de T
1
, T
2
et T
3
.
On indique que e
F
= Q
1
/Q
3
..
2) Quel serait le coefficient d'efficacité d'une machine à compresseur n'utilisant que les sources T
1
et T
2
?
Applications numériques : T
1
= 265 K, T
2
= 293 K, T
3
= 373 K
T53. Cycle de Lenoir
Le premier moteur à combustion interne à 2 temps a fonctionné suivant un cycle de Lenoir
:
1
er
temps : entrée du mélange air-combustible et allumage avec explosion en 1.
2
ème
temps : entre 1 et 2, combustion fournissent de la chaleur, puis entre 2 et 3, détente
adiabatique réversible et enfin échappement isobare entre 3 et 1.
Pour un tel cycle décrit par de l'air, supposé parfait et diatomique, exprimer l'efficacité η
m
du cycle moteur en fonction du rapport de compression α
p
= p
2
/p
1
, p
2
étant la pression au
point 2 et p
l
celle au point 1. Application numérique : Calculer η
m
pour α
p
= 5.
T54. Cycle d'Ericsson.
De l'air supposé parfait parcourt, dans le sens 1 - 2 - 3 - 4, un cycle d'Ericsson constitué de
deux isothermes, de températures respectives T
1
et T
3
> T
1
et deux isobares de pressions
respectives p
1
et p
2
> p
1
. Ce cycle fut appliqué par J. Ericsson à des moteurs à air destinés à
la propulsion navale. On donne γ = 1,4 et Q
CH
= Q
2
→
3
.
1) Exprimer le travail ainsi que les quantités de chaleur reçus par le fluide au cours des
quatre étapes du cycle, en fonction de T
1
, T
3
, p
1
et p
2
.
2) En déduire l'efficacité du cycle moteur en fonction de T
1
, T
3
, p
1
et p
2
.
T55.
Turbine à gaz à cycle de Brayton
Dans une centrale thermique, de l'air, supposé parfait, décrit de
façon réversible un cycle moteur de Brayton dans le sens
1234. Il entre dans la turbine, à la pression de 7 bar et à la
température T
2
de 1 227 K, et sort à la pression de 1 bar. Un
compresseur comprime l'air qu'il reçoit, à la température
T
4
= 288 K, de 1 à 7 bar.
1) Calculer l'efficacité de la machine.
2) Comparer le travail W
f,t
fourni par la turbine au milieu
extérieur au travail W
f
fourni par la machine au milieu extérieur.
adiabatique
50
55
T