MP Topologie des evn

MP
Topologie des evn
E désignera un espace vectoriel normé.
Normes, distances :
EXERCICE 1. Quelques normes.
oo a) Montrer que (x, y) 7→ Sup |x + ty| définit une norme de R2 et tracer sa boule unité.
oo
t∈[0,1]
oo
*
Comparer
à
la
norme
euclidienne.
oo
R
oo b) Idem avec 1 |x + ty| dt (calculer en fn de x, y en discutant).
0
oo
oo c) (diff) Idem avec Sup |x + ty| .
2
oo
t∈R 1 + t
q
oo
R1
oo d) Idem avec f(0)2 + 0 f 0 (t)2 dt sur E = C 1 ([0, 1], R).
EXERCICE 2. Montrer que toute partie bornée non vide admet un diamètre :
oo
oo
δ(X) = Sup kx − yk
oo
x,y∈X
oo
oo
o Montrer que le diamètre de la terre vaut 20 000 km. Mais si !
EXERCICE 3. Soit E un espace préhilbertien (= muni d’un produit scalaire). Montrer que kxk = Sup |(x | y)|.
oo
kyk61
1 + √5 k
EXERCICE 4. Calculer d(A, Z) = Inf |n − a| quand n ∈ Z, a ∈ A =
, k ∈ N∗ (indic : penser à la quantité
2
oo conjuguée. . .)
q
√
2
EXERCICE
5. Montrer que d(x, S) = 0 quand x ∈ [−1, 1], S = {sin( n) | n ∈ N} (indic : x = sin (Arc sin x + 2kπ) .
oo
√
oo Faire un programme python pour tracer le graphe de la suite des sin n).
EXERCICE 6. On considère E = ensemble des suites bornées, avec la norme k k∞ . Soit F le sous-espace
oo vectoriel des suites qui tendent vers 0, u la suite constante égale à 1. Calculer d(u
u, F) = Inf ku
u − f k.
oo
f ∈F
oo Cette distance est-elle atteinte ? En quels points ?
oo
n
o Même question avec la suite ((−1) )n et le sev des suites convergentes.
q
R1
f(0)2 + 0 f 0 (t)2 dt sur E = C 1 ([0, 1]; R). Que pouvez-vous en
EXERCICE
7.
a)
Comparer
k
k
et
N
:
f
→
7
∞
oo
oo conclure sur les relations entre l’économie réelle et la spéculation sur les produits dérivés ?
oo b) On définit sur E = C∞ ([0, 1], R) les normes N , N , . . . , par :
1
2
oo
oo N1 (f) = |f(0)| + ||f 0 ||∞ , N2 (f) = |f(0)| + |f 0 (0)| + ||f 00 ||∞ , . . . . Les comparer.
oo c) Comparer sur E × F les trois normes
oo
q
oo
oo
k(x, y)k∞ = Max(kxk, kyk)
k(x, y)k1 = kxk + kyk
k(x, y)k2 = kxk2 + kyk2
oo
o
EXERCICE 8. On considère une partie non vide A de E et l’application f : E → R définie par
oo
oo
f(x) = d(x, A) = Inf kx − ak.
oo
a∈A
oo
oo Montrer que f est 1-lipschitzienne, et prononcez-le sans postillonner (indic : commencer par encadrer
oo
o kx − ak pour un a ∈ A fixé).
EXERCICE 9. On considère la suite des applications εn : t 7→ enit , n ∈ N, dans l’espace préhilbertien des
R2π
oo
1
oo applications continues 2π–périodiques de R dans C, muni du produit scalaire hf | gi = 2π 0 fg.
oo Montrer que cette suite ne possède aucune valeur d’adhérence.
oo Idem avec la suite des t 7→ cos(nt) dans le même espace.
o
EXERCICE 10. (*) On considère l’espace E = {f ∈ C 2 ([0, 1]; R) | f(0) = f 0 (0) = 0} et on pose
oo
oo
||f|| = Sup |f 00 + 2f 0 + f|
oo
[0,1]
oo
oo
2
oo Montrer que ceci définit bien une norme. Montrer l’inégalité ||f||∞ 6 1 − ||f|| (poser g(t) = et f(t)).
e
EXERCICE 11. On considère En = {a1 ε1 + . . . an εn | a1 , a2 . . . an ∈ C} où εk : t 7→ eikt . C’est un sev de l’ensemble
oo des fonctions continues 2π-périodiques.
oo
oo On fixe f ∈ E : f = a ε + . . . a ε . En calculant puis en majorant l’intégrale 1 R2π |f|2 , montrer
n
1 1
n n
oo
2π 0
oo
q
oo
∀k = 1 . . . n |ak | 6 Sup |aj | 6 |a1 |2 + . . . |an |2 6 kfk∞
oo
j
oo
oo
oo où comme toujours kfk∞ = Sup |f(t)| (il existe, par périodicité et continuité de f).
oo
t∈R
q
oo
oo En déduire une constante cn (= n(n+1)(2n+1)
) telle que
6
oo
oo
∀f ∈ En kf 0 k∞ 6 cn kfk∞
oo
Ouverts, fermés :
EXERCICE 12. A est un sev de E. Montrer que A est aussi un sev. En déduire qu’il y a, du point de vue
oo topologique, deux sortes d’ hyperplans, et les qualifier.
oo
o Que dire d’un sev ouvert ?
EXERCICE 13. Montrer que si A et B sont bornées alors A ∪ B, A ∩ B, A + B et A le sont.
oo En notant δ(A) = Sup ||x − y|| le diamètre de A, montrer que
oo
x,y∈A
oo
oo
oo
A ⊂ B ⇒ δ(A) 6 δ(B) et δ(A) = δ(A)
oo
EXERCICE 14. Un calcul de diamètre (définition dans l’exercice précédent). Dans le plan euclidien on trace
oo un triangle de R EULEAUX de la façon suivante : d’un point A on trace un arc de cercle d’angle 60◦ ,
oo
oo d’extrémités B et C. Puis on trace l’arc de cercle de centre B d’extrémités A et C et de même pour le
oo dernier côté. Montrer que tout point de la figure convexe obtenue est l’extrémité d’un diamètre. Voir
oo sur Internet les applications au moteur à trois temps.
2
EXERCICE 15. † On considère un sous-groupe G de (R, +). Montrer que si G n’ est pas monogène, (de la
oo forme aZ, a ∈ R∗ ), alors G est dense dans R (au sens où d(x, G) = 0 pour tout x ∈ R). Pour cela, on
oo
oo considèrera l’inf α des éléments strictement positifs de G en distinguant le cas où il est nul.
oo
oo Discuter le cas de G
x,y = {ax + by | a, b ∈ Z}. À quelle condition sur y/x est-il dense ? En déduire les
oo
oo adhérences de P = {2a .3b | (a, b) ∈ Z2 } et Sθ = {cos(nθ) | n ∈ Z} (se servir de ce que l’image continue
oo d’une partie dense est dense).
oo
o En déduire aussi que tout groupe fini de rotations du plan est cyclique.
EXERCICE 16. Soit f : R → R continue. Montrer que son graphe G = {(x, f(x)) | x ∈ R} est un fermé de R2 .
oo Montrer que la réciproque est fausse.
EXERCICE 17. Étudier expérimentalement mais soigneusement le nombre de valeurs d’adhérences de la
oo suite x
2
n+1 = 1 − λxn , x0 = 0 pour diverses valeurs de λ ∈ [0, 2].
o
EXERCICE 18. Adhérence, intérieur, d’une boule ?
EXERCICE 19. * Si A et B sont deux parties disjointes, A étant ouverte, montrer que A ∩ B = ∅. ** En déduire
oo
◦
◦
oo que si deux ouverts A, B sont disjoints il en est de même de A et B (utiliser les complémentaires).
EXERCICE 20. Que peut-on dire des intérieurs et adhérences de A ∪ B ? A ∩ B ? (Danger !)
oo
◦
◦
oo Montrer que si A ⊂ B alors A ⊂ B et A ⊂ B.
EXERCICE 21. A est une partie convexe (non vide) de E. Montrer que l’application f : x → d(x, A) est alors
oo convexe (faire un dessin !).
EXERCICE 22. Trouver deux fermés disjoints A, B de R2 ou R dont la distance soit nulle :
Inf
||a−b|| = 0.
(a,b)∈A×B
o
EXERCICE 23. Montrer que si A est un ouvert non vide, alors pour tout partie B non vide de E,
oo
oo
A + B = {a + b | (a, b) ∈ A × B}
oo
oo
o est ouvert. Un ouvert peut-il être, de même, somme de deux fermés (non ouverts !) ?
EXERCICE 24. * (Centrale) On considère le sous-espace C des suites convergentes dans l’evn B des suites
oo réelles bornées. Est-ce un fermé ?
◦
EXERCICE
25. Montrer que Fr A, A et E \ A forment une partition de E, quelle que soit la partie A (ces trois
oo
oo ensembles sont disjoints et leur réunion est E). De quoi E \ A est-il l’intérieur ? En déduire que A et
oo E \ A ont même frontière.
EXERCICE 26. f et g sont deux applications continues de E dans R. Montrer que les applications
oo f+ = Sup(f, 0), |f|, Sup(f, g) sont continues. Même question quand f et g sont lipschitziennes.
Matrices et topologie (5/2 ou révision) :
EXERCICE 27. Montrer que le groupe linéaire G`n (K) est dense dans Mn (K).
EXERCICE 28. Montrer que le sous-ensemble des matrices diagonalisables de Mn (C) est dense. Montrer
oo qu’il n’en est pas de même dans le cas réel (considérer la matrice A = ( 0 1 )).
−1 0
EXERCICE 29. (X) * Montrer que l’adhérence de R = {A ∈ M2 (C) | ∃n ∈ N∗
oo matrices dont les valeurs propres sont sur le cercle unité.
3
An = I} est l’ensemble des
EXERCICE 30. On considère une matrice réelle diagonalisable A telle que Sp(A) ⊂]0, +∞[, c’est à dire
oo qu’il existe P inversible et des réels > 0 λ . . . λ tels que P−1 AP soit égale à la matrice diagonale
1
n
oo  λ1 0 ... 0 
oo
0 λ2 ... 0
oo  .
. . .. . On pose
..
oo
. .
0 ... ... λn
oo
1
oo
U0 = A
et
∀n ∈ N Un+1 = (Un + A.U−1
n )
oo
2
oo
oo Montrer que cette suite est bien définie et converge (on pourra commencer par étudier les suites
oo
1
λ
)). Quelle est sa limite ? Que se passera-t-il avec une matrice
oo numériques vérifiant un+1 = (un +
2
u
n
oo
o moins sympathique ?
EXERCICE 31. On considère une matrice complexe A et l’ensemble des matrices qui lui sont semblables :
oo O = {PAP−1 | P ∈ G` (C)}. Montrer que cet ensemble est fermé ⇐⇒ A est diagonalisable.
(X)
A
n
o
4
Continuité d’applications linéaires :
Pn
EXERCICE 32. E = R[X] muni de ||P|| = || k=0 ak Xk || = Sup |an |.
oo
n
oo Continuité des applications suivantes :
oo
oo • P 7→ P(c), c ∈ C fixé (discuter).
Même question en
oo
prenant
norme
•
P
→
7
P.Q
(Q
∈
E
fixé).
oo
qla
R1
oo • P 7→ R1 P.
||P||2 =
|P|2 .
0
0
oo
R
X
oo • P 7→ P 0 , P 7→
P
0
EXERCICE 33. On munit l’espace C des applications continues de [0, 1] → R de la norme kfk1 =
oo
o c ∈]0, 1[, montrer que la forme linéaire Φ : f 7→ f(c) n’est pas continue.
R1
0
|f|. Soit
EXERCICE 34. On considère l’espace vectoriel Lc (E) des endomorphismes continus de E. On pose pour tout
oo
ku(x)k
oo u ∈ Lc (E), N(u) = Sup
. Montrer que N est une norme, et que de plus N(u ◦ v)) 6 N(u) × N(v).
oo
x∈E,x6=0 kxk
EXERCICE 35. E = Mn (K) muni de la norme que vous préférez. Montrez que les applications suivantes :
oo
oo
A 7→ det A (A, B) 7→ A.B A 7→ A42 et A 7→ A−1
oo
oo
o sont continues, respectivement de E → K, E2 → E, E → E, GL (K) dans lui-même.
n
Compacts :
EXERCICE 36. On considère une application f du compact K dans lui-même, qui diminue les distances ie
oo
oo
∀x, y ∈ K (x =
/ y) ⇒ ||f(x) − f(y)|| < ||x − y||
oo
oo
o En étudiant une application de K dans R, montrer que f possède un et un seul point fixe.
EXERCICE 37. A, B sont deux fermés de E et A est de plus compacte. Montrer que A+B = {a+b | (a, b) ∈ A×B}
oo est fermée. Est-ce encore vrai si A n’est plus compacte ?
EXERCICE 38. Soit f une bijection continue du compact K dans K 0 , montrer que la réciproque de f est
oo aussi continue (on dit que f est un homéomorphisme) (classique). Utiliser, soit la caractérisation de la
oo
oo convergence d’une suite dans un compact par l’unicité de la valeur d’adhérence, soit la caractérisation
oo de la continuité par les images inverses de fermés.
oo Donner un exemple d’application bijective continue, mais non bicontinue.
o
EXERCICE 39. Compacité des ensembles suivants ?
oo Le groupe orthogonal = O (R) = {A ∈ M (R) | AtA = Id} Une conique. Une réunion finie de compacts.
n
n
oo
La somme A + B = {a + b} de deux compacts.
oo SLn (R) = {A ∈ Mn (R) | det A = 1}
oo La sphère unité de C0 ([0, 1], R) munie de la norme sup.
oo La boule unité fermée de R[X] muni de la norme k P a Xk k = Max |a |.
k
k
oo
o * L’ensemble des valeurs d’une suite convergente.
EXERCICE 40. Montrer que la distance d’un point à un compact d(a, K) est atteinte. En déduire (en dimenoo sion finie) que la distance d’un point à un fermé est atteinte aussi.
oo
oo De même, si K est un compact, montrer qu’il existe un couple (a, b) de points de K tels que le diamètre
oo de K y soit atteint : δ(K) = ||a − b||.
oo Montrer que a, b sont des points de la frontière de K, càd qu’aucun des deux ne peut être un point
oo
o intérieur (dessin !).
EXERCICE 41. On considère l’ensemble Un des polynômes unitaires de degré n : P ∈ Un ⇐⇒ P(X) =
oo Xn + . . . + a . Montrer que la norme kPk = Sup |P| atteint un minimum a sur U . Calculer a , a . *
0
n
n
1
2
oo
[−1,1]
lim
(a
)
?
n
oo n→∞
5
Dorénavant E est de dimension finie sauf mention explicite du contraire :
EXERCICE 42. Soit u ∈ L(E). On suppose que la suite de terme général (un )n∈N converge dans L(E) (pour la
oo norme que vous préférez). Montrez que sa limite est un projecteur.
EXERCICE 43. Montrer que l’ensemble P ⊂ L(E) des projecteurs est un fermé.
oo * Est-ce vrai dans L (E) (endomorphismes continus) en dimension infinie ?
c
o
EXERCICE 44. Montrer que l’application A 7→ χA (polynôme caractéristique) est continue de Mn (R) dans
oo R [x].
n
EXERCICE 45. On fixe n réels distincts x1 . . . xn . À tout n−uplet (y1 . . . yn ) ∈ Rn , on associe l’unique pooo lynôme P ∈ R
n−1 [X] tel que ∀i, P(xi ) = yi . Montrer que cette application est continue. Et l’application
oo
o réciproque ?. . .
Connexes par arcs :
EXERCICE 46. Les ensembles suivants sont-ils connexes par arcs ?
oo R∗
C∗
Q
un cercle
une boule
une sphère
le ruban de M ÖBIUS
oo
3
3
la courbe y2 = x3 − 3x2 + 2x.
oo La courbe d’équation x + y = 3xy
oo L’ensemble de M ANDELBROT
Le lapin de D OUADY
Votre ours en peluche préféré.
oo (ce sont des questions très sérieuses ! cf. No spécial de Tangente)
G`n (R)
∗ G`n (C).
Une conique.
oo
oo L’ensemble des matrices diagonalisables (resp. nilpotentes) sur R, sur C.
oo Une réunion de segments du plan tels que tout segment rencontre la réunion des autres.
EXERCICE 47. Soit f une application continue du cercle unité U à valeurs dans R. Montrer que f n’est pas
oo injective. Donner un exemple d’une telle application.
EXERCICE 48. Soit A une partie bornée et étoilée en 0 (si x ∈ A alors [0, x] ⊂ A). Montrer que le complémentaire
oo de A est connexe par arcs (dessin !). Est-ce vrai si on retire l’hypothèse ”étoilé” ?
oo
oo Sur le même thème : montrer que le complémentaire du sev F de Rn est connexe par arcs ssi dim E −
oo dim F > 2.
EXERCICE 49. * Soit (un ) une suite numérique telle que un+1 − un → 0. Montrer par un exemple qu’une telle
oo suite peut diverger. Montrer que l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est un intervalle (dans un evn,
oo
oo ** est connexe par arcs). Il est conseillé de faire un dessin,√avec
des up , uq proches de deux valeurs
oo d’adhérence distinctes. Quel est l’ensemble des v.a. de sin( n) ?
EXERCICE 50. On appelle bassin d’une mer ou d’un océan M la partie des terres où toute rivière, tout ruisoo selet, toute goutte d’eau répandue, finira par s’écouler dans M. Montrer que le bassin méditerranéen
oo
o est connexe par arc (on supposera que le bord de mer l’est, négligeant quelques ı̂les au passage. . .)
Exos divers pour les plus vaillant(e)s
EXERCICE 51. La composante connexe par arcs d’un point a d’une partie X est la plus grande partie connexe
oo par arcs de X contenant a (c’est l’ensemble des x ∈ X qu’on peut relier à a).
oo
oo • On considère un sous-groupe G du groupe linéaire. Montrer que la composante connexe par arcs de
oo l’identité (ie l’élément neutre du groupe) est un sous-groupe de G.
oo • On suppose que G est un groupe topologique, c’est à dire que les applications
oo
oo
(g, h) → g.h
et
g → g−1
sont continues.
oo
oo
oo Montrer que
G est ouvert ⇐⇒ l’élément neutre est un point intérieur.
EXERCICE 52. On considère une suite d’états d’un solide en rotation autour d’un point fixe. Montrer qu’il
oo en existe une sous-suite convergente. (Quel que soit le mouvement, on peut prendre une série de photographies
oo
o sur lesquelles il semblera se figer. . .) On utilisera la compacité du groupe des rotations.
6
EXERCICE 53. Soit ε > 0 fixé et un compact A de l’evn E. Montrer que A est inclus dans la réunion d’un
oo nombre fini de boules de rayon ε (sinon on fabrique par récurrence une suite de A telle que ||up −uq || > ε
oo
oo pour tous p 6= q).
oo En déduire qu’il existe un sev F de dimension finie de E tel que d(A, F) 6 ε (un compact est pas très
oo loin d’être de dim finie).
EXERCICE 54. (Thm de R IESZ)
oo À l’aide de la notion de compacité, montrer que la distance d’un point à un sous-espace de dimension
oo
oo finie est toujours atteinte.
oo En déduire, si F est un sev strict de dim finie de E, qu’il existe
oo
oo
x ∈ E tel que ||x|| = 1 = d(x, F)
oo
oo
oo puis qu’en dimension infinie, on peut construire une suite de vecteurs unitaires (xn ) dont les distances
oo
oo mutuelles sont supérieures à 1. Une telle suite peut-elle admettre une sous-suite convergente ?
oo Ceci démontre qu’un evn est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.
7
Indications – pour ceux qui ont tout essayé. . .
1) a) Ce sup vaut en fait Max(|x|, [x+y|) donc la boule est un parallèlogramme limité par les droites x = ±1, x+y =
±1.
R
R1
−x/y
b) Ici on trouve ±(x + y2 ) ou ± 0
x + ty dt − −x/y x + ty dt . Ce dernier cas donne des bouts d’ellipse pour
la boule.
x + ty
atteint la valeur 1 sans la dépasser quand la droite, graphe de la fonction t 7→ x + yt et la
c) Astuce :
1 + t2
parabole, graphe de t 7→ 1 + t2 , sont tangentes. On trouve une boule qui est intersection de deux paraboles.
d) P.S.
3) Utiliser Cauchy-Schwarz.
1 + √5 n 1 − √5 n
4) Cette distance est nulle :
+
est un entier et le deuxième terme est aussi petit que l’on
2
2
veut.
5) Prendre pour n la partie entière de θ = (Arc sin x + 2kπ)2 avec k grand. La fonction sin est continue (liptschitzienne) et les valeurs sont de plus en proches les unes des autres.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.linspace(0,1000,1001)
p1=plt.plot(x,np.sin(np.sqrt(x)),marker=’v’)
plt.show()
6) un inf de sup. . . Une suite qui reste entre 0 et 2 est à distance 6 1.
Deuxième cas : la distance est au moins Max(|` ± 1|) donc une suite convergente la plus proche a pour limite
0.
7) a) Les normes ne sont pas équivalentes : on fabrique une suite de fonctions (fn ) tq kfk∞ soit bornée mais
N(fn ) → ∞ par exemple.
c) Trouver les meilleures constantes !
8) Partir de kx √
− ak 6 ky − ak + kx − yk et utiliser deux fois la définition d’un inf.
9) kεn − εp k = 2 pour n 6= p.
10) f 00 + 2f 0R+ f = 0 ET f(0) = f R0 (0) = 0 impose f = 0 (fonction nulle). g 00 (t) = et (f 00 + 2f 0 + f) ce qui permet de majorer
x
x
g 0 (x) = 0 g 00 , puis g(x) = 0 g 0 .
R2π
1 R2π 2 P
|f| =
|ak |2 en développant f × f et en remarquant que 0 εk = 0 sauf quand k = 0.
11) Déjà
0
2π
Ensuite on a pour tout t ∈ R
|f 0 (t)| = |(i)
12)
15)
16)
17)
19)
20)
21)
X
kak εk (t)| 6
X
k Sup |ak || 6
X
kkfk∞ =
n(n + 1)
kfk∞
2
q
pP pP
On peut faire mieux avec Cauchy-Schwarz (
k2
|ak |2 donne cn = n(n+1)(2n+1)
). En rusant beaucoup,
6
on peut réduire cn à n (inégalité de B ERNSTEIN).
Utiliser les suites.
Si α = 0, il y a des éléments arbitrairement petits, i.e. des 0 < g < ε. Alors pour tout réel x on a d(x, gZ) < ε.
Si α > 0 le problème est qu’on ne sait pas que α ∈ G, il faut le prouver : pour ça on utilise que α est limite
d’une suite (gn ) d’éléments de G et on montre que cette suite est obligée de stationner.
Un groupe de rotations fini : elles ont forcément même centre. Les angles sont dans un θZ + 2πZ.
Pour le contrex définir une fonction par morceaux.
En augmentant λ il y a 1, 2, 4, 8. . . valeurs d’adhérences puis ça se complique !
Un point éventuel de l’intersection serait à distance nulle de B mais aussi dans une boule incluse dans A.
Dessin.
Pour la suite : partir de A ⊂ (E \ B), prendre l’adhérence, etc.
La réunion des intérieurs n’est pas forcément égale à l’intérieur de la réunion.
Choisir a, b ∈ A tels que f(x), f(y) soient très proches de kx − ak, ky − bk et faire le dessin pour voir à quoi
comparer f(λx + (1 − λ)y).
8
24) Ah, les suites de suites. . .
Si oui, il faut montrer qu’une suite de plus en plus proche d’une suite convergente finit par converger aussi.
Sinon faire une suite de suites convergentes, dont la limite est une suite divergente.
26) Diverses caractérisations possibles de la continuité. Pourquoi pas par les suites.
1
27) Prendre Ap = A − In . Justifier que Det Ap ne peut s’annuler que pour un nombre fini de valeurs de p.
p
L’exo suivant fonctionne sur un principe similaire, mais en ajoutant des valeurs diagonales 2 à 2 distinctes
quoique tendant vers 0.
29) C’est dur. Raisonner sur le polynôme caractéristique : si An → A alors χAn → χA .
1
λ
30) Se ramener par diagonalisation à la suite de Babylone : un+1 = (un +
) dans R+ .
2
un
31) On peut prendre la négation de l’équivalence.
32) P 7→ P(c) est continue pour |c| < 1. Sinon faire une suite de polynômes qui fait exploser la norme.
P 7→ P 0 est discontinue (même technique).
33) Fabriquer une suite de fonctions telles que kfn k1 soit bornée, mais fn (c) → ∞.
35) Pour A−1 penser à la formule.
45) Donner la formule explicite.
36) kf(x) − xk atteint un minimum. Finir quia absurdum.
37) Utiliser les suites.
38) Fermé = compact ici. Et l’application réciproque de f−1 est f, qui envoie un compact sur un compact !
39) La sphère unité n’est jamais compacte en dim infinie en fait, cf. exo 54.
40) inf = limite de suite. . .
41) Distance de Xn à un sev.
46) On pourra souvent faire un dessin pour montrer l’existence du chemin requis. Pour les matrices, essayer
de trigonaliser ou diagonaliser selon le cas.
47) Il faut penser à retirer un point et à regarder ce qui se passe alors. . .
48) Projeter de 0 pour aller jusqu’à un cercle (une sphère) qui enclôt A.
49) Dans un evn, dur dur, cf. corrigé Agrégation interne 2012. Dans R, supposant qu’il y ait deux v.a. `1 < `2 ,
soit x ∈]`1 , `2 [ et ε > 0 fixé. Fabriquer N 6 N1 < N2 tq un1 < x < uN2 et |un+1 − un | < ε ∀n > N. Considérer
Max{n | n1 6 n 6 N2 et un < x} pour conclure.
50) C’est un exemple de “composante connexe par arcs”, cf. exo 51
51) • vérifier la caractérisation du sous-groupe : si x, y sont reliés à e = In , trouver un chemin qui relie xy−1 à e.
• Un sens est évident. Si e est un point intérieur, soit B = B(e, r) une boule contenue dans le sous-groupe.
Montrer que g.B pour un g ∈ G est un ouvert ⊂ G contenant g.
52) Un état du solide (= une photo) est caractérisé par une rotation. Considérer la suite de ces rotations.
1
y.
54) Si y ∈
/ F fermé alors d(y, F) 6= 0. Soustraire de y le point de F où la distance est atteinte, puis poser x =
d(y, F)
Poser F1 = Vect(x1 ) et embrayer une récurrence.
9