MP Topologie des evn

MP Topologie des evn
Ed´ esignera un espace vectoriel norm´ e.
Normes, distances :
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EXERCICE 1. Quelques normes.
a) Montrer que (x, y)7→Sup
t∈[0,1]
|x+ty|d´ efinit une norme de R2et tracer sa boule unit´ e.
* Comparer ` a la norme euclidienne.
b) Idem avec R1
0|x+ty|dt(calculer en fn de x, y en discutant).
c) (diff) Idem avec Sup
t∈R
|x+ty|
1+t2.
d) Idem avec qf(0)2+R1
0f0(t)2dtsur E=C1([0, 1],R).
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EXERCICE 2. Montrer que toute partie born´ ee non vide admet un diam` etre :
δ(X) = Sup
x,y∈Xkx−yk
Montrer que le diam` etre de la terre vaut 20 000 km. Mais si !
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EXERCICE 3. Soit Eun espace pr´ ehilbertien (= muni d’un produit scalaire). Montrer que kxk=Sup
kyk61
|(x|y)|.
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EXERCICE 4. Calculer d(A, Z) = Inf |n−a|quand n∈Z, a ∈A=1+√5
2k
, k ∈N∗(indic : penser ` a la quantit´ e
conjugu´ ee. . .)
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EXERCICE 5. Montrer que d(x, S) = 0quand x∈[−1, 1], S ={sin(√n)|n∈N}(indic : x=sinq(Arc sin x+2kπ)2.
Faire un programme python pour tracer le graphe de la suite des sin √n).
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EXERCICE 6. On consid` ere E=ensemble des suites born´ ees, avec la norme k k∞. Soit Fle sous-espace
vectoriel des suites qui tendent vers 0, u
u
ula suite constante ´ egale ` a 1. Calculer d(u
u
u, F) = Inf
f
f
f∈Fku
u
u−f
f
fk.
Cette distance est-elle atteinte ? En quels points ?
Mˆ eme question avec la suite ((−1)n)net le sev des suites convergentes.
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EXERCICE 7. a) Comparer k k∞et N:f7→qf(0)2+R1
0f0(t)2dtsur E=C1([0, 1]; R). Que pouvez-vous en
conclure sur les relations entre l’´ economie r´ eelle et la sp´ eculation sur les produits d´ eriv´ es ?
b) On d´ efinit sur E=C∞([0, 1],R)les normes N1, N2, . . . , par :
N1(f) = |f(0)|+||f0||∞, N2(f) = |f(0)|+|f0(0)|+||f00||∞, . . . . Les comparer.
c) Comparer sur E×Fles trois normes
k(x, y)k∞=Max(kxk,kyk)k(x, y)k1=kxk+kyk k(x, y)k2=qkxk2+kyk2

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EXERCICE 8. On consid` ere une partie non vide Ade Eet l’application f:E→Rd´ efinie par
f(x) = d(x, A) = Inf
a∈Akx−ak.
Montrer que fest 1-lipschitzienne, et prononcez-le sans postillonner (indic : commencer par encadrer
kx−akpour un a∈Afix´ e).
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EXERCICE 9. On consid` ere la suite des applications εn:t7→enit, n ∈N, dans l’espace pr´ ehilbertien des
applications continues 2π–p´ eriodiques de Rdans C, muni du produit scalaire hf|gi=1
2π R2π
0fg.
Montrer que cette suite ne poss` ede aucune valeur d’adh´ erence.
Idem avec la suite des t7→cos(nt)dans le mˆ eme espace.
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EXERCICE 10. (*) On consid` ere l’espace E={f∈ C2([0, 1]; R)|f(0) = f0(0) = 0}et on pose
||f|| =Sup
[0,1]
|f00 +2f0+f|
Montrer que ceci d´ efinit bien une norme. Montrer l’in´ egalit´ e||f||∞61−2
e||f|| (poser g(t) = etf(t)).
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EXERCICE 11. On consid` ere En={a1ε1+. . . anεn|a1, a2. . . an∈C}o` uεk:t7→eikt. C’est un sev de l’ensemble
des fonctions continues 2π-p´ eriodiques.
On fixe f∈En:f=a1ε1+. . . anεn. En calculant puis en majorant l’int´ egrale 1
2π R2π
0|f|2, montrer
∀k=1...n |ak|6Sup
j
|aj|6q|a1|2+. . . |an|26kfk∞
o` u comme toujours kfk∞=Sup
t∈R
|f(t)|(il existe, par p´ eriodicit´ e et continuit´ e de f).
En d´ eduire une constante cn(= qn(n+1)(2n+1)
6)telle que
∀f∈Enkf0k∞6cnkfk∞
Ouverts, ferm´ es :
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EXERCICE 12. Aest un sev de E. Montrer que Aest aussi un sev. En d´ eduire qu’il y a, du point de vue
topologique, deux sortes d’ hyperplans, et les qualifier.
Que dire d’un sev ouvert ?
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EXERCICE 13. Montrer que si Aet Bsont born´ ees alors A∪B,A∩B,A+Bet Ale sont.
En notant δ(A) = Sup
x,y∈A
||x−y|| le diam` etre de A, montrer que
A⊂B⇒δ(A)6δ(B)et δ(A) = δ(A)
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EXERCICE 14. Un calcul de diam` etre (d´ efinition dans l’exercice pr´ ec´ edent). Dans le plan euclidien on trace
un triangle de REULEAUX de la fac¸on suivante : d’un point A on trace un arc de cercle d’angle 60◦,
d’extr´ emit´ es B et C. Puis on trace l’arc de cercle de centre B d’extr´ emit´ es A et C et de mˆ eme pour le
dernier cˆ ot´ e. Montrer que tout point de la figure convexe obtenue est l’extr´ emit´ e d’un diam` etre. Voir
sur Internet les applications au moteur ` a trois temps.
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EXERCICE 15. †On consid` ere un sous-groupe Gde (R,+). Montrer que si Gn’ est pas monog` ene, (de la
forme aZ, a ∈R∗), alors Gest dense dans R(au sens o ` ud(x, G) = 0pour tout x∈R). Pour cela, on
consid` erera l’inf αdes ´ el´ ements strictement positifs de Gen distinguant le cas o ` u il est nul.
Discuter le cas de Gx,y ={ax +by |a, b ∈Z}.` A quelle condition sur y/x est-il dense ? En d´ eduire les
adh´ erences de P={2a.3b|(a, b)∈Z2}et Sθ={cos(nθ)|n∈Z}(se servir de ce que l’image continue
d’une partie dense est dense).
En d´ eduire aussi que tout groupe fini de rotations du plan est cyclique.
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EXERCICE 16. Soit f:R→Rcontinue. Montrer que son graphe G={(x, f(x)) |x∈R}est un ferm´ e de R2.
Montrer que la r´ eciproque est fausse.
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EXERCICE 17. ´ Etudier exp´ erimentalement mais soigneusement le nombre de valeurs d’adh´ erences de la
suite xn+1=1−λx2
n, x0=0pour diverses valeurs de λ∈[0, 2].
EXERCICE 18. Adh´ erence, int´ erieur, d’une boule ?
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EXERCICE 19. * Si Aet Bsont deux parties disjointes, A´ etant ouverte, montrer que A∩B=∅. ** En d´ eduire
que si deux ouverts A, B sont disjoints il en est de mˆ eme de
◦
Aet
◦
B(utiliser les compl´ ementaires).
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EXERCICE 20. Que peut-on dire des int´ erieurs et adh´ erences de A∪B?A∩B? (Danger !)
Montrer que si A⊂Balors ◦ A⊂◦ Bet A⊂B.
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EXERCICE 21. Aest une partie convexe (non vide) de E. Montrer que l’application f:x→d(x, A)est alors
convexe (faire un dessin !).
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EXERCICE 22. Trouver deux ferm´ es disjoints A, B de R2ou Rdont la distance soit nulle : Inf
(a,b)∈A×B||a−b|| =0.
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EXERCICE 23. Montrer que si Aest un ouvert non vide, alors pour tout partie Bnon vide de E,
A+B={a+b|(a, b)∈A×B}
est ouvert. Un ouvert peut-il ˆ etre, de mˆ eme, somme de deux ferm´ es (non ouverts !) ?
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EXERCICE 24. * (Centrale) On consid` ere le sous-espace Cdes suites convergentes dans l’evn Bdes suites
r´ eelles born´ ees. Est-ce un ferm´ e ?
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EXERCICE 25. Montrer que Fr A, ◦ Aet E\Aforment une partition de E, quelle que soit la partie A(ces trois
ensembles sont disjoints et leur r´ eunion est E). De quoi E\Aest-il l’int´ erieur ? En d´ eduire que Aet
E\Aont mˆ eme fronti` ere.
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EXERCICE 26. fet gsont deux applications continues de Edans R. Montrer que les applications
f+=Sup(f, 0),|f|,Sup(f, g)sont continues. Mˆ eme question quand fet gsont lipschitziennes.
Matrices et topologie (5/2 ou r´ evision) :
EXERCICE 27. Montrer que le groupe lin´ eaire G`n(K)est dense dans Mn(K).
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EXERCICE 28. Montrer que le sous-ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C)est dense. Montrer
qu’il n’en est pas de mˆ eme dans le cas r´ eel (consid´ erer la matrice A= ( 0 1
−1 0 )).
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EXERCICE 29. (X) * Montrer que l’adh´ erence de R={A∈ M2(C)|∃n∈N∗An=I}est l’ensemble des
matrices dont les valeurs propres sont sur le cercle unit´ e.
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EXERCICE 30. On consid` ere une matrice r´ eelle diagonalisable Atelle que Sp(A)⊂]0, +∞[, c’est ` a dire
qu’il existe Pinversible et des r´ eels > 0 λ1. . . λntels que P−1AP soit ´ egale ` a la matrice diagonale
λ10 ... 0
0 λ2... 0
.
.
.....
.
.
0 ... ... λn
. On pose
U0=Aet ∀n∈NUn+1=1
2(Un+A.U−1
n)
Montrer que cette suite est bien d´ efinie et converge (on pourra commencer par ´ etudier les suites
num´ eriques v´ erifiant un+1=1
2(un+λ un
)). Quelle est sa limite ? Que se passera-t-il avec une matrice
moins sympathique ?
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EXERCICE 31. On consid` ere une matrice complexe Aet l’ensemble des matrices qui lui sont semblables :
OA={PAP−1|P∈ G`n(C)}. Montrer que cet ensemble est ferm´ e⇐⇒ Aest diagonalisable. (X)
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Continuit´ e d’applications lin´ eaires :
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EXERCICE 32. E=R[X]muni de ||P|| =|| Pn
k=0akXk|| =Sup
n
|an|.
Continuit´ e des applications suivantes :
•P7→P(c),c∈Cfix´ e (discuter).
•P7→P.Q (Q∈Efix´ e).
•P7→R1
0P.
•P7→P0, P 7→RX
0P
Mˆ eme question en
prenant la norme
||P||2=qR1
0|P|2.
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EXERCICE 33. On munit l’espace Cdes applications continues de [0, 1]→Rde la norme kfk1=R1
0|f|. Soit
c∈]0, 1[, montrer que la forme lin´ eaire Φ:f7→f(c)n’est pas continue.
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EXERCICE 34. On consid` ere l’espace vectoriel Lc(E)des endomorphismes continus de E. On pose pour tout
u∈ Lc(E),N(u) = Sup
x∈E,x6=0
ku(x)k
kxk. Montrer que Nest une norme, et que de plus N(u◦v)) 6N(u)×N(v).
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EXERCICE 35. E=Mn(K)muni de la norme que vous pr´ ef´ erez. Montrez que les applications suivantes :
A7→det A(A, B)7→A.B A 7→A42 et A7→A−1
sont continues, respectivement de E→K, E2→E, E →E, GLn(K)dans lui-mˆ eme.
Compacts :
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EXERCICE 36. On consid` ere une application fdu compact Kdans lui-mˆ eme, qui diminue les distances ie
∀x, y ∈K(x=/ y)⇒||f(x) − f(y)|| <||x−y||
En ´ etudiant une application de Kdans R, montrer que fposs` ede un et un seul point fixe.
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EXERCICE 37. A, B sont deux ferm´ es de Eet Aest de plus compacte. Montrer que A+B={a+b|(a, b)∈A×B}
est ferm´ ee. Est-ce encore vrai si An’est plus compacte ?
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EXERCICE 38. Soit fune bijection continue du compact Kdans K0, montrer que la r´ eciproque de fest
aussi continue (on dit que fest un hom´ eomorphisme) (classique). Utiliser, soit la caract´ erisation de la
convergence d’une suite dans un compact par l’unicit´ e de la valeur d’adh´ erence, soit la caract´ erisation
de la continuit´ e par les images inverses de ferm´ es.
Donner un exemple d’application bijective continue, mais non bicontinue.
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EXERCICE 39. Compacit´ e des ensembles suivants ?
Le groupe orthogonal = On(R) = {A∈Mn(R)|At A=Id}Une conique. Une r´ eunion finie de compacts.
SLn(R) = {A∈Mn(R)|det A=1}La somme A+B={a+b}de deux compacts.
La sph` ere unit´ e de C0([0, 1],R)munie de la norme sup.
La boule unit´ e ferm´ ee de R[X]muni de la norme kPakXkk=Max |ak|.
* L’ensemble des valeurs d’une suite convergente.
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EXERCICE 40. Montrer que la distance d’un point ` a un compact d(a, K)est atteinte. En d´ eduire (en dimen-
sion finie) que la distance d’un point ` a un ferm´ e est atteinte aussi.
De mˆ eme, si Kest un compact, montrer qu’il existe un couple (a, b)de points de Ktels que le diam` etre
de Ky soit atteint : δ(K) = ||a−b||.
Montrer que a, b sont des points de la fronti` ere de K, c ` ad qu’aucun des deux ne peut ˆ etre un point
int´ erieur (dessin !).
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EXERCICE 41. On consid` ere l’ensemble Undes polynˆ omes unitaires de degr´ en:P∈Un⇐⇒ P(X) =
Xn+. . . +a0. Montrer que la norme kPk=Sup
[−1,1]
|P|atteint un minimum ansur Un. Calculer a1, a2. *
lim
n→∞
(an)?
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