Rappels de collège sur la géométrie dans le plan

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Rappels de collège sur la géométrie dans le plan
I – Rappels sur les symétries :
I . 1 Symétrie axiale :
Définition : On note I le milieu de
AB
.
On appelle médiatrice du segment
AB
la droite perpendiculaire en I à
AB
.
Propriétés : La médiatrice de
AB
est l’ensemble des points
équidistants des extrémités de
AB
:
1) Si M est un point de la médiatrice de
AB
, alors
MA MB
.
2) Si
MA MB
, alors M est un point de la médiatrice de
AB
.
Définition : On considère un point A n’appartenant pas
à une droite
D
du plan .
Dire que le point A’ est le symétrique
du point A par rapport à la droite
D
signifie que la droite
D
est la médiatrice
du segment
'AA
.
Remarque : Si le point A appartient à la droite
D
, les points A et A’ sont confondus .
I . 2 Symétrie centrale :
Définition : On considère deux points A et B distincts du plan .
Dire que le point A’ est le symétrique du point A par rapport au point B signifie
que le point B est le milieu du segment
'AA
.

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II – Rappels sur les configurations du plan :
II . 1 Droites remarquables dans un triangle :
 Médiatrices :
Définition : Une médiatrice d’un triangle est la
médiatrice d’un de ses côtés .
Propriété : Les trois médiatrices d’un triangle sont
concourantes en un point O , centre
du cercle circonscrit au triangle :
OA OB OC
 Médianes :
Définition : Une médiane d’un triangle est une droite
passant par un des trois sommets du triangle
et par le milieu du côté opposé .
Propriété : Les trois médianes d’un triangle sont
concourantes en un point G , appelé
centre de gravité du triangle .
 Hauteurs :
Définition : Une hauteur d’un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle
et perpendiculaire au côté opposé .

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Propriété : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point , appelé
orthocentre du triangle .
Définition : L’aire du triangle ABC se calcule ainsi :
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ABC
base hauteur BH AC
aire 
 Bissectrices :
Définition : La bissectrice d’un angle partage un angle
en deux angles adjacents de même mesure .
Définition : Une bissectrice d’un triangle est la
bissectrice d’un de ses trois angles .
Propriété : Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point I , centre du
cercle inscrit dans le triangle :
IP IQ IR
II . 2 Théorème de Thalès :
Théorème de Thalès : On considère un triangle ABC , M un point de
AB
et N un point de
AC
distincts de A .
Si les droites
BC
et
MN
sont parallèles , alors
AB AC BC
AM AN MN
Réciproque du théorème de Thalès :
On considère un triangle ABC .
Si les points A , B et M sont alignés dans cet ordre , si les points A , C et N sont alignés dans le
même ordre et si
AB AC
AM AN
, alors les droites
BC
et
MN
sont parallèles .

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Cas particulier de la droite des milieux :
On considère un triangle ABC .
a) Si I et J sont les milieux respectifs de
et AB AC
,
alors les droites
et IJ BC
sont parallèles et
1
2
IJ BC
.
b) Si I est le milieu de
AB
, alors la parallèle à
BC
passant
par I coupe
BC
en son milieu .
II . 3 Triangles particuliers :
 Triangle isocèle :
Définition : On appelle triangle isocèle tout triangle
ayant deux côtés de même longueur .
Propriétés : 1) Si le triangle ABC est isocèle en A ,
alors on dit que A est le sommet principal
et que
BC
est la base du triangle ABC .
2) Si le triangle ABC est isocèle en A ,
alors la médiane issue de A est aussi :
- la hauteur issue de A
- la médiatrice de
BC
- la bissectrice de
BAC
3) Cette droite est l’axe de symétrie du triangle .
4) Les angles à la base d’un triangle isocèle ont la même mesure .
 Triangle équilatéral :
Définition : On appelle triangle équilatéral tout triangle
dont les côtés ont la même longueur .
Propriétés : 1) Les angles d’un triangle équilatéral
ont la même mesure : 60° .
2) Un triangle équilatéral a trois axe de
symétrie : les médiatrices de ses côtés .
2) Les droites remarquables dans un triangle
équilatéral sont toutes confondues .

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 Triangle rectangle :
Définition : On appelle triangle rectangle tout triangle
ayant un angle droit .
Le côté opposé à l’angle droit s’appelle
l’hypoténuse .
Propriétés : 1) Dans un triangle rectangle , le milieu de
l’hypoténuse est le centre du cercle
circonscrit au triangle .
2) Si le triangle ABC est inscrit dans le cercle
de diamètre
AC
, alors ABC est
rectangle en B .
3) Théorème de Pythagore :
Si le triangle ABC est un triangle rectangle en A , alors
2 2 2
BC AB AC
.
4) Réciproque du théorème de Pythagore :
Si
2 2 2
BC AB AC
, alors le triangle ABC est rectangle en A .
5) cos
sin
tan
côté adjacent à BAC AB
BAC hypoténuse AC
côté opposé à BAC BC
BAC hypoténuse AC
côté opposé à BAC BC
BAC AB
côté adjacent à BAC
II . 4 Quadrilatères particuliers :
 Parallélogramme :
Définition : On appelle parallélogramme tout quadrilatère
ayant deux côtés opposés parallèles deux
à deux .
Propriétés : 1) Les diagonales d’un parallélogramme se
coupent en leur milieu .
2) Les côtés opposés d’un parallélogramme
sont deux à deux de la même longueur .
3) Un parallélogramme a un centre de symétrie :
le point d’intersection de ses diagonales .