GEC. TD 1,2,3 Triangles, points cocycliques 2008 Exe

GEC. TD 1,2,3 Triangles, points cocycliques 2008
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Exercice 1.1 (théorème des sinus) . Soient ABC un triangle, S sa surface et R le rayon de son
cercle circonscrit. On désignera les longueurs des côtés par a = BC, b = AC et c = AB. Montrer que :
a
sin √ A=b
sin √ B=c
sin √ C=2R. = abc
2S
Exercice 1.2 (théorème de Ménélaüs) . Soient un triangle ABC, M un point de la droite (BC), N un
point de la droite (AC), P un point de la droite (AB). Montrer que les points M, N et P sont alignés si
et seulement si: MB
MC ⋅NC NA ⋅PA PB = 1.
Exercice 1.3 (théorème de Céva) . Soient un triangle ABC, M un point de la droite (BC), N un point
de la droite (AC), P un point de la droite (AB). Montrer que les droites (AM), (BN), (CP) sont
concourantes ou parallèles si et seulement si : MB
MC ⋅NC NA ⋅PA PB = -1.
Exercice 1.4 .
1) Utiliser le théorème de Céva pour montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
2) Soit I (resp. J) le pied de la bissectrice intérieure (resp. extérieure) de l'angle en A d'un triangle
ABC.
a) Montrer que: - IB
IC
 = AB
AC = JB
JC
 (les points C, B, I et J forment une division harmonique).
b) Montrer que l'ensemble des points M du plan tels que MB
MC = AB
AC est le cercle de diamêtre [IJ].
3) Montrer que : a) les bissectrices intérieures d'un triangle sont concourantes.
b) la bissectrice intérieure d'un angle d'un triangle et les bissectrices extérieures des deux autres angles
sont concourantes.
Exercice 1.5 . Soient deux cercles de centres O et O', de rayons r et r', tangents en B et B' à la droite
(BB') et se coupant en A. Montrer que r.r' = R 2 , où R désigne le rayon du cercle circonscrit au
triangle ABB'.
Exercice 1.6 (Existence de l'orthocentre et droite d'Euler) . Soient un triangle ABC, A' le milieu
de BC, B' le milieu de AC et C' celui de AB. On désigne par O le centre du cercle circonscrit
à
ABC et par G le centre de gravité de ABC. Montrer que :
1) A'B'C' est l'homothétique de ABC dans l'homothétie h de centre G de rapport -1/2.
2) G est le centre de gravité de A'B'C'. Que sont les hauteurs de A'B'C' ?
3) Le point H = h-1(O) appartient à toutes les hauteurs du triangle ABC (on dit que H est
l'orthocentre du triangle ABC ).

Ainsi les points O, G, H sont alignés et 2 GO = - GH . La droite (OG) est la droite d'Euler
du triangle ABC.
Exercice 1.7 (cercle d'Euler) . On reprend les notations de l'exercice précédent.
1) Montrer que le centre ω du cercle circonscrit à A'B'C' est le milieu de [HO] .
2) Soit K, L, M les milieux respectifs des segments [HA], [HB], [HC]. Montrer que le quadrilatère
C'B'ML est un parallélogramme, puis que c'est un rectangle.
3) Montrer que M est sur le cercle et que [MC'], [LB'], [KA'] sont des diamètres de ce cercle.
4) Montrer enfin que les pieds des hauteurs du triangle ABC sont sur . Le cercle est le cercle
des 9 points (ou cercle d'Euler) du triangle ABC.
Exercice 2.1 . 1) Montrer que le symétrique de l'orthocentre d'un triangle par rapport à chacun des
côtés se trouve sur le cercle circonscrit à ce triangle.
2) L'orthocentre est-il le seul point à posséder cette propriété ?
Exercice 2.2 . Soient un triangle ABC et P un point n'appartenant pas aux droites (AB), (BC), (CA).
Soit T1 le triangle podaire de P par rapport au triangle ABC, c'est à dire le triangle dont les sommets
sont les projections orthogonales de P sur les côtés de ABC. On désigne par T 2 le triangle podaire de
P par rapport à T1 et par T 3 le triangle podaire de P par rapport à T 2. Montrer que les triangles ABC
et T 3 sont semblables.
Exercice 2.3 . 1) Montrer que les hauteurs d'un triangle ABC sont bissectrices de son triangle
orthique (c'est le triangle dont les sommets sont les pieds des hauteurs du triangle initial).
2) Montrer que les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons OA, OB, OC du cercle
circonscrit.
Exercice 2.4 . 1) Soient ABC un triangle et P, Q, R des points situés respectivement sur les droites
(BC), (CA), (AB) et distincts des sommets de ABC. Montrer que les cercles (PQC), (QRA), (RPB)
ont un point en commun .
2) Montrer que les points P, Q, R sont alignés si et seulement si le point commun à ces trois cercles se
trouve sur le cercle (ABC).
De manière plus symétrique, les cercles circonscrits aux quatre triangles d'un quadrilatère complet
(c'est la figure formée par quatre droites telles que chacune coupe les trois autres) ont un point en
commun.
Exercice 2.5 (droite de Simson) . Montrer que les projetés orthogonaux d'un point M sur les côtés
d'un triangle ABC sont alignés si et seulement si le point M est sur le cercle circonscrit au triangle
ABC. Si le point M se trouve sur le cercle (ABC), la droite joignant les projetés de M sur les côtés du
triangle est la droite de Simson de M.

Exercice 2.6 (théorème des six cercles de Miquel) . Soient quatre cercles 1, 2, 3, 4 tels
que 1∩2 = A,A©
{ }
, 2∩3 = B,B©
{ }
, 3 ∩ 4 = C,C©
{ }
, 4∩1 = D,D©
{ }
. Montrer
que A, B, C, D sont cocycliques ou alignés si et seulement A', B', C', D' le sont.
Exercice 2.7 . Soit ABCD un quadrilatère inscriptible dont les milieux des côtés sont I, J, K, L. On
note I', J', K', L' les projetés orthogonaux de I, J, K, L sur les côtés opposés. Montrer que les droites
(II'), (JJ'), (KK'), (LL') ont un point en commun.
Exercice 2.9. (partiel de mars 2004, extrait) AOn considère trois cercles 1 , 2 , 3 de
centres respectifs O1 , O2 , O3 , ayant tous le même rayon R et passant tous par un même point M .
Les cercles 1 et 2 se recoupent en A3 , 2 et 3 en A1 , 3 et 1 en A2 .
1) Montrer que O1A3O2M est un losange. En déduire que O1A3
→ = MO2 → , O2A3 → = MO1 → et que
MA3
→ est perpendiculaire à O1O2 → . On a d'autres relations analogues en permutant les points.
2) Montrer que A1A3
→ = O3O1 → .
3) Quel est l'orthocentre du triangle A1A2A3 ?
4) Soit G le barycentre du triangle O1O2O3 , que vaut MO1
→ + O1A3 → + O1A2 → ?
5) Soit I le point tel que MI
→ = 3.MG → . Montrer que O1A2IA3 est un losange. En déduire que I
est le centre du cercle circonscrit à A1A2A3 et que ce cercle a pour rayon R .
BOn considère maintenant quatre cercles 1 , 2 , 3 , 4 de centres respectifs O1 , O2 , O3
, O4 , ayant tous le même rayon R et passant tous par un même point M . Les cercles 1 et 2 se
recoupent en B1 , 2 et 3 en B2 , 3 et 4 en B3 , 4 et 1 en B4 . Montrer que
B1B2B3B4 est un parallélogramme. (On pourra utiliser la question 2 de la partie A ).
Exercice 2.10. (Examen de juin 2004, extrait) On considère 4 points alignés et distincts (2 à 2) A ,
B , C , D et un cercle contenant A et B . La médiatrice de [A,B] coupe en I et J et la
droite (AB) en H . La droite (IC) (resp. (ID) ) recoupe le cercle en E (resp. F ).
1) Montrer l'égalité d'angles de droites suivante: (EF,EI) = (DF,DC) .
(On aura intérêt à montrer que les triangles IFJ et IHD sont rectangles).
2) En déduire que les points C , D , E et F sont cocycliques.
3) Montrer que: (AF,AI) = (DF,DA) . En déduire que la droite (AI) est tangente en A au
cercle (AFD) (circonscrit au triangle AFD ).
4) On note OD le centre du cercle (AFD) . Montrer que OD ∈ (AJ) . Quel est le lieu de OD quand
D varie sur la droite (AB) privée de A et B ( , A , B , I et J restant fixes) ?
5) On note α = JAB
^ = JBA ^ et r(AFD) le rayon du cercle (AFD) .Montrer que r(AFD) = AD
2cos(α)
6) Quand D varie sur l'intervalle ]AB[ , montrer que r(AFD) + r(BFD) reste constant.
Exercice 3.1 . Soient ABC un triangle et I, J, K les points de contact du cercle inscrit avec les côtés
[BC], [CA], [AB] du triangle. Montrer que les droites (AI), (BJ), (CK) sont concourantes.

Exercice 3.2 . Soient ABC un triangle et A', B', C' des points situés respectivement sur les droites
(BC), (CA) et (AB) et distincts des sommets du triangle. On suppose que les droites (AA'), (BB'),
(CC') sont concourantes. Montrer que si les côtés homologues des triangles ABC et A'B'C' se coupent
en P, Q et R, ces trois points sont alignés.
On donnera quelques exemples de cette configuration.
Exercice 3.3 . La droite de Simson d'un point M peut-elle être un côté du triangle ABC ? une hauteur
de ce triangle ? une médiane ?
Exercice 3.4 . 1) Soient M un point de (ABC) et U le point où la perpendiculaire à (BC) issue
de M recoupe le cercle (ABC). Montrer que (AU) et la droite de Simson de M sont parallèles.
2) Soient M et M' deux points du cercle circonscrit à un triangle ABC et O le centre de ce cercle. On
désigne par
σ
et
σ
' les droites de Simson de ces deux points. Montrer que σ , σ ©
( )
=d,OM
( )
où d
est la médiatrice de MM'.
Exercice 3.5 (droite de Steiner) . Soient un triangle ABC et M un point de son cercle circonscrit.
1) Montrer que les symétriques de M par rapport aux côtés du triangle sont alignés sur une droite
nommée droite de Steiner de M.
2 ) Montrer que la droite de Steiner de M passe par l'orthocentre de ABC. (On pourra considérer les
symétries s et s' par rapport à la droite (BC) et au diamètre de (ABC) parallèle à (BC) et l'image de
(AU) par ss' (notation de l'exercice 3.4).
3) Montrer que les orthocentres des quatre triangles définis par un quadrilatère complet (exercice 2.4)
sont alignés.
Exercice 3.6 . En prenant pour bases les cotés [AB], [BC], [CA] d'un triangle ABC, on construit, à
l'extérieur du triangle ABC, trois triangles isocèles semblables ABC', BCA', CAB'.
On se propose de montrer que les droites (AA'), (BB'), (CC') sont concourantes.
1) Soit M le point (AC) ∩ (BB') . En utilisant le théorème des sinus dans les triangles ABM et
CBM, calculer le rapport MA
MC en fonction des sinus des angles
√
A,
√
C, A
√
BM , C
√
BM .
2) Montrer que sin A
√
BM
sin C√ BM = sin(
√
A+√ u)
sin( √ C+√ u) (au signe près) si
√
u désigne l'angle à la base des triangles
isocèles.
3) Montrer le résultat en utilisant le théorème de Céva.
(On traitera à part le cas où ABC a un angle obtus dont la somme avec
√
u dépasse 180°.)
Exercice 3.7 . Soient d et d' deux droites du plan, A un point n'appartenant pas à ces droites et s une
droite passant par A. On note
δ (resp. δ ') la droite symétrique de s par rapport à d (resp d'). A quelle
condition les droites δ et δ ' sont-elles sécantes ? Si cette condition est réalisée, déterminer le lieu de
leur point d'intersection quand s varie en restant assujettie à passer par A.