Groupes abéliens discrets

Séminaire Henri Cartan
J. C ERF
Groupes abéliens discrets
Séminaire Henri Cartan, tome 1 (1948-1949), exp. no 3, p. 1-5
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1948-1949__1__A3_0>
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3-01
Séminaire H. CARTAN
1948/49. Topologie algébrique.
GROUPES ABÉLIENS DISCRETS.
sur
(Résumé
d’un
exposé
Un groupe abélien
sera
toujours noté additivenent,
l’anneau
fondent;
~~.1 ~.~~ ~ .
et
considère
module
comme
des entiers. Les notions de sous-groupe et de sous-module
Z
particulier,
en
le
J. CERF
fit
idéaux de l’anneau
les sous-groupes du groupe additif de
Z
se
con-
sont les
Z .
I.- Notions et
propriétés
(Cf. BOURBAKI,
valables pour tous les modules
chap. II).
ou
supplémentaires
de sous-groupes
de
H
recte. Un sous-groupe
G : dont
de
est facteur direct si
G
"pro,jecteur"
t~.ire. Notion de
(en
groupe quotient. Somme directe de sous-groupes
Sous-groupe,
infini). Paire
dans
un
Gs
groupe
H
G
possède
f
endomorphisme
nombre fini
est somme
supplémen-
un
tel que
projecteurs attachés à une décomposition de G en 2 sous-groupes supplémentaires ; réciproque : tout projecteur f définit 2 sous-groupes
plémentaires, à savoir le noyau de f et l’image de f .
fof = f . Paire de
(finies). Famille libre (finie ou infinie) d’éléments
G (s’il en existe) : famille libre engendrant G ; coordonnées
base (ce sont des entiers).
Combinaisons linéaires
de
G .
de
Base
relatives à
une
Un groupe abélien est
quelconque
G j
la base est
tout
libre s’il possède
système
de
générateurs
correspondance biunivoque
groupe quotient de ce groupe libre.
Si
ments.
conque
G
a une
base finie de
(Cette propriété s’étend
ayant un élément unité).
Sous-groupe de torsion d’un
qu’il
existe
entier
n ~
éléments,
n
aux
définit
G
de
G)
avec
en
base. Pour
une
et
G
un
est
groupe abélien
rue
=
0
(élément
d’ordre
tionnels).
sans
Pour
de torsion est
neau
torsion ; la réciproque
un
sans
groupe
quelconque
torsion
est inexacte
G : le
(cette propriété
(ex. :
quotient
se
de
généralise
G a n
(de
base
fini).
à
quel-
f= nie) .
de
x
G
tels
Un groupe est
0 . Tout groupe
nombres
groupe
G
un
commutatif
G : ensemble des
dit "sans torsion" si sonssous-groupe de torsion est réduit à
libre est
isomorphe à
sur un anneau
D’où : rang d’un groupe libre
(dont
groupe libre
toute autre base de
modules libres
(3 avec
groupe abélien
un
par
un
son
module
ra-
sous-groupe
sur un
an-
II.- Propriétés plus particulières tenant
tout idéal est
est un anneau principal (i.e:
1. --
Un groupe
monogène
G
nul,
Z
isomorphe à Z ; sinon, H ~, la forme nZ (multiples
G est isomorphe au groupe des entiers modulo n (n ~
est
n ~ 0 ),
et
0 ) ;
n’est pas réduit à
groupe cyclique d’ordre
Annulatour d’un groupe
tout
si
2.-
x
G
G
de
est
principal).
(engendre par un seul élément) est isomorphe au quopar un sous-groupe (idéal) H de Z. Si H est
G
(anneau)
tient du groupc
torsion,
sans
multiples d’un
compose des
se
Sous-groupes d’un
n
des entiers
G :
=
groupe
tels que
p
entier
engendré
le sous-groupe
sous-groupe
engendre
Le groupe
par les
est
des éléments de
au
lorsque la
montre que
ment
H
par les
Cj
i ,
pour j
dit, l’ensemble
i . Posons
H.
groupe des coeff. de
de
rang ~
hi ~
Corollaire : si
0
est
une
H.
=
dans
e.
rang
H
G ) ;
peut 6tre
n
sans
.
’-
(e.)
et
ou
le
=
H n G1 .
isomorphe à
dont
prenons
=
de
l’oxpression
H.
engendras
base de
est libre de rang fini
(le
n
si au contraire
directe des sous-groupes
des
G
Remarque : si
libre,
H./H! ;
somme
pour
de
Gi
G. , H!
H. 1
est
0
base du groupe libre
1 des mndices de la base
pour j
e .
isomorphe
engendre
=
groupe libre.
un
h.
H ./H!
px
(annulateur
n ~ 0
à l’aide de la base. Ce groupe est donc nul
de
Z . S’il est isomorphe à Z , choisissons un élément
dans
G
libre.
est infinie. Bien-ordonnons l’ensemble
Gi
si
1’
(réciproque inexacte).
0
La démonstration utilise l’axiomc de choix
G . Notons
de l’entier
n.
Théorème 1.- Tout sous-groupe d’un groupe libre est
G
des entiers
que
~~u
par les
l’image
h. 0
h. ;
=
. On
autre-
H e
n, tout sous-groupe
que
H
H
de
G
est
identique à G ).
soit
est facteur direct d’un groupe libre
G ~
le p.roupe quo-
G/H est libre (puisqu’il s’identifie à un sous-groupe de G ). Rappelons
la réciproque (qui, elle, est valable pour tout module sur un anneau commutatif
avec élément unité) : si
G/H est libre, H est facteur direct de G (prendre
une base d’un sous-groupe supplémentaire de
H ).
tient
3.- Contenu d’un élément d’un groupe libre : c’est le p.g,c.d, des coordonnées
latives à
une
baseô
G
sition directe de
d’un élément
Gl
et
G2.
x
de
ce
en
G
p.g.c.d.
est
indépendant
2 sous-groupes
est le
p.g.c.d.
de la base. Pour toute
(supplémentaires) Gl
contenus de
ses
et
G~ ~
composantes
re-
décompole contenu
suivant
quotient de G libre par le sous-groupe H engendré par un
G soit sans torsion, il faut et il suffit que le contenu de x soit égal
(évident). Mais il y a plus :
Pour que le
de
un
Si le contenu d’un élément
Lemme.-
le sous-groupe
existe
une
engendré
H
base de
G
En
effet, soit
G . Puisque les
de
dont
x =
entiers
H ,
4.- Position d’un
Soit
H
est facteur direct do
possède
H
tout à l’heure que ceci
verra
tenu de tout élément de
Prenons
e~
fini dans
au
moins
et il existe
G ,
~L
élément
et
ment de
te
f(x)
est
un
G’
dans
de
est
G. L’ensemble des
que
élément minimal
n~ , dans le
H divise
n , il est égal à nl .
n1 divise (au sens large) le con-
un
f(H)
f(x) =
ceci
minimal,
(le contenu
f
de
G
le sous-groupe
sur
contient
H1 ~
a
Hl =
divise
n
x
H n
Gl engendré
Gl engendré
engendré
par
Soit
x
un
sa
composan-
donc est
G~ ,
le contenu de
n ~ et
le sous-groupe
sur
où
hl =
on a
sous-groupe de
un
donc divise
contenu
Le
H ,
projecteur
applique H
comme
tel que
Il
f
effet, f(H)
En
h~ .
par
de
hl
un
Je dis que
par
libre.
groupe
H .
élément
un
implique
un
groupe libre
suivants si le contenu d’un élément do
sens
=
G .
quelconque d’un
sous-groupe
contenus des éléments de
On
=
sous-groupe de
un
par suite il
G
03A3ai ~i)x
associons l’élément
H
à un,
l’expression de x à l’aide d’une base (e. )
n. 1 (nuls sauf un nombre fini) sont premiers entre
a.
tels que ~ a.n.
1 . A chaque y
~~,c.
1 l
-Adéfinit
un
de
de H. Ceci
G sur
projecteur
eux, il existe des entiers
et par suite
égal
à
partie).
fasse
x
03A3i niei
est facteur dircct de
x
par
est
G
d’un groupe libre
x
x
n~ .
divise celui de
que
n
éié-
nI . Mais puisque ni
f(H) = H~ .
fortiori divise
nl ; ainsi
projecteur f définit une décomposition de G suivant Gl
f ; dans cette décomposition, H est décomposé suivant Hl
implique
un
=
et le noyau
et
.
x
H’
=
sens
H n G’ . Je dis que le contenu de tout
large)
est dans
nimale de
de
H )
ni .
En
effet,
si.
divise le contenu de
n ,
il est
à
égal
n ,
élément de
est dans
x
et divise
ce
qui prouve
est
un
multiple (au
(qui
le contenu de
H’ ,
x
H’
d’après
que
ni
la
propriété
mi-
divise le contenu de
x.
Si maintenant
currcnce sur
r
H
est
supposé
de rang fini
r, il vient
aussitôt,
par ré-
::
Théorème 2.- Si
H
est
un
sous-groupe de
rang
fini
r
d’un groupe libre
il existe
G ,
un
facteur direct K
et une suite d’entiers
éléments
une
décomposition
Une telle
(dont
n ,...,n
constituent
n.e.
de
de G,
base de
une
chacun divise le
suivant), tels
H)
à
la suite des entiers
terminée
G
l’appelle
ambiguïté
G/H
et
son
la suite des diviseurs élémentaires du
Corollaire :i si
que
par le groupe
soit
sans
est libre et si
G
H
torsion,
les
que
n’est pas unique ; mais il
résultera du théorème 4 ci-dessous
sans
de h ~
H.
(relative
G
~e , ... ~~:ri
base finie
est
H
est déOn
r .
(G,H) .
couple
un
de rang
H
sous-groupe
sous-grcupe de rang fini tel
G/H
est facteur direct et
est libre
3).
lisation du lenme du n°
5.- Structure des groupes abéliens de type fini
{ i . e ~ engendré s
par
un
nombre fini
d’éléments).
Un tel groupe
un
sous-groupe
te de
r
H
ceux
est
Z/e. 1 Z
groupes
pes
ser
quotient d’un groupe libre G de rang fini p,
de rang r ~ p . Le théorème 2 montre que M est somme
~~~
et de
lesquels
pour
p-r
groupes
e. =
1
isomorphes
sont réduits à
à
par
Z . Parmi les gr0u-
0 ;
on
peut les
lais-
côté. D’où i
de
Théorème 3.- Tout groupe abélien
e. /
1
sont tels
de
type fini
de groupes cycliques (on
groupe libre de rang fini et
dres
M
que chacun
est
somme
nombre
directe d’un
fini)
dont les
or-
d’eux diviselc suivant.
décomposition d’un groupe M
général plusieurs décompositions canoniques
Une telle
sera
dite canonique. Tl existe
d’un groupe donné
~~i .
Cependant
en
la
cycliques d’une décomposition est évidemment le
T de M ; quant au groupe libre de la décomposition, il
; son rang s’appelle parfois le nombre de
quotient
directe des sous-groupes
somme
sous-groupe de torsion
est
isomorphe au groupe
Betti du groupe i~r ~ c’est
un
Corollaires.- Tout groupe
invariant du groupe
sans
ments, est libre. Dans un groupe de
teur directe le quotient est libre.
Théorème 4.- Pour toute
type fini,
11 .
torsion, engendré par un nombre fini d’élétype fini, le sous-groupe de torsion est fac-
décomposition
canonique d’un groupe abélien
r1
de
le nombre des sous-groupes cycliques et leurs ordres sont toujours les
mêmes.
Les ordres des groupes
de
M
M ;
(à
une
avec
cycliques s’appellent
le nombre de Betti
i somorphie
près).
les ’’coefficients de torsion"
ils déterminent entièrement le groupe
3-05
Une
d’algèbre exElle se généraliserait
quelconque (avec élément unité). En
démonstration simple du théorème 4 fait appel à la notion
térioure
d’un module
à des modules
commutatif
sur un anneau
abéliens. Pour tout groupe abélien
en
M , on désigne par En(M) le sous-groupe de l’algèbre extérieure
formé des éléments de degré n ;
est identifié à
Supposons alors
que M soit somme directe de p groupes monogènes isomorphes respectivement
voici le
principe
dans le
cas
des groupes
1
où la suite des entiers
à des
être
nuls)
nul pour
n
> p ,
non
e
en
p ; de
les derniers
groupe des
cycles ;
un
plus, chaque
le dernier des
peuvent
par suite le groupe
n ,
est l’annulateur
e. 1 (qui peut
être
le groupe des chaînes orientées
groupe libre de rang fini. Il
chaque dimension
e.
est
algébrique.
complexe simpfiicial fini IL ,
est
dimension
(dont
lui-même.
à la topologie
on a un
n
particulier,
est l’annulateur de
(exposé 2)
Pour
nul pour
;
6.- Application
Si
1
est telle que chacun d’eux divise le suivanto Alors
du groupe
nul)
ei ~
on
peut
donc
en
est donc de même du
sous-
d’homologie de K est de type fini.
parler du nombre de Betti de K pour
n, et des coefficients de torsion de
K
pour la dimension
n.
La
connaissance des nombres de Betti et des coefficients de torsion détermine les
groupes
d’homologie
de toutes dimensions de
"
la