Exercices de mathématiques des oraux de^ l`Ecole

SERGE FRANCINOU
HERVÉ GIANELLA
SERGE NICOLAS
Exercices de mathématiques
des oraux
de^ l'Ecole polytechnique
et des Écoles normales supérieures
Algèbre. Tome I
CASSINI

Table des matières
Introduction
Chapitre 1. Combinatoire 5
1.1. Nombres de Fibonacci 6
1.2. Nombre de dérangements (1) 8
1.3. Nombre de dérangements (2) 9
1.4. Nombre de dérangements (3) 11
1.5. Nombres de Bell 12
1.6. Cardinal d'une relation d'équivalence 14
1.7. Cardinal de GLn(K) et SLn(K) 15
1.8. Cardinal de SO2(Z/pZ) 16
1.9. Nombre d'involutions 17
1.10. Partitions d'un entier 19
1.11. Un problème de théorie extrémale des ensembles 23
1.12. Ensembles définis par récurrence 24
1.13. Distribution du premier chiffre des puissances de 2 26
1.14. Un théorème de Gauss 28
1.15. Théorème de Beatty (1926) 30
1.16. Un exercice du concours général 31
1.17. Un exercice d'Olympiades 33
Chapitre 2. Théorie des groupes 35
2.1. Existence d'un idempotent 35
2.2. Groupes dont l'ensemble des sous-groupes est fini 36
2.3. Morphismes de Q dans Z 36
2.4. Equivalence Ker/ = Ker/2 -<=> Im/ = Im/2 37
2.5. Sous-groupes finis de Q/Z 38
2.6. Groupes abéliens de cardinal pq 39
2.7. Un cas particulier du lemme de Cauchy 39
2.8. Exposant d'un groupe abélien fini 41
2.9. Puissances dans un groupe abélien d'exposant fini 42
2.10. Lemme de Cauchy 45
2.11. Centre d'un p-groupe 46
2.12. Nombre de classes de conjugaison 47
2.13. Un théorème de Frobenius (1895) 48
2.14. Classes de conjugaison 49
2.15. Sous-groupes finis de SÛ3(R) 50
339

340 TABLE DES MATIERES
2.16. Groupes quasi-cycliques de Prùfer 54
2.17. Le groupe modulaire 55-
2.18. Unicité dans le théorème de structure des groupes abéliens
finis 59
2.19. Génération du groupe symétrique 62
2.20. Plongement de Sn dans An+2 64
2.21. Morphismes de S4 dans 1S3 64
2.22. Automorphismes de Sn 69
Chapitre 3. Anneaux et corps 73
3.1. Calcul d'inverse 74
3.2. Anneaux tels que x3 = x 74
3.3. Commutativité ou anti-commutativité 75
3.4. Anneaux réguliers 76
3.5. Idéaux principaux 78
3.6. Anneau des décimaux 79
3.7. Anneau Z[X] 79
3.8. Anneaux factoriels 80
3.9. Anneaux euclidiens 83
3.10. Anneau des entiers de Gauss (1) 87
3.11. Anneau des entiers de Gauss (2) 89
3.12. Une extension de C[X] 93
3.13. Anneau sans idéal non premier 95
3.14. Automorphismes de Q(\/2) 96
3.15. Le corps Q(v^) 97
3.16. Valuations sur Q 98
3.17. Valeurs absolues non-archimédiennes sur C(X) 99
3.18. Indépendance des valeurs absolues sur Q 101
Chapitre 4. Arithmétique 103
4.1. Étude de l'irréductibilité d'une fraction 104
4.2. Équation ab = ba dans N 106
4.3. Points du réseau Z™ visibles de l'origine 107
4.4. Produits d'entiers consécutifs 108
4.5. Parties de N additivement stables 109
4.6. Un exercice pour les années impaires 110
4.7. Équation du second degré dans Z/pZ 111
4.8. Un problème de congruence 111
4.9. Un multiple de 1996 qui ne s'écrit qu'avec des 4 112
4.10. Somme des puissances fc-ièmes dans Z/pZ 112
4.11. Théorème de Wilson (1759) 113
4.12. Cyclicité du groupe multiplicatif (Z/pZ)* 113

TABLE DES MATIERES 341
4.13. Critères de primalité 115
4.14. Diviseurs premiers communs aux termes d'une suite arithmé-
tique 116
4.15. Nombres de Fermât 116
4.16. Infinité des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 .... 119
4.17. Version faible du théorème de la progression arithmétique de
Dirichlet (1837) 119
4.18. Plus petit nombre premier ne divisant pas n 122
4.19. Théorème de Kurschak (1918) 123
4.20. Théorème de Legendre (1808) 124
4.21. Un produit de trois entiers consécutifs n'est jamais une puis-
sance k-ième 125
4.22. Théorème de Palfy-Erdôs 126
4.23. Valuation p-adique de C£n 129
4.24. Congruences de Lucas (1878) 129
4.25. Un problème de congruence 131
4.26. Le problème de Ducci 132
n
4.27. Expression de YJT(£;) 136
fc=i
4.28. Une majoration de a 137
4.29. Équation faisant intervenir a 137
4.30. Sur la fonction a 138
4.31. Un théorème d'Erdôs (1946) 139
4.32. Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux 142
4.33. Écriture d'un nombre premier comme somme de deux carrés 145
4.34. Théorème des deux carrés, preuve combinatoire 147
4.35. Théorème des quatre carrés de Lagrange (1770) 148
4.36. Lemme de Davenport-Cassels 150
4.37. Une équation diophantienne 152
4.38. Théorème de Sophie Germain (1823) 153
Chapitre 5. Polynômes 157
5.1. Égalité polynomiale 158
5.2. Une sous-algèbre de R[X] 159
5.3. Condition de divisibilité 160
5.4. Condition pour que (P')p divise Pq 161
5.5. Équation polynomiale P2 = 1 + (X2 - 1)Q2 162
5.6. Un théorème de Liouville (1879) 164
5.7. Théorème de Mason (1984) 165
5.8. Résultant de deux polynômes 167
5.9. Caractérisation d'un polynôme par les antécédents de deux
points distincts 169

342 TABLE DES MATIÈRES
5.10. Polynôme rationnel inséparable de degré 5 170
5.11. Un polynôme irréductible de Z[X] 171
5.12. Critère d'Eisenstein 172
5.13. Irréductibilité de $p dans Q[X] 173
5.14. Décomposition de 1 + X + X2 H hX™"1 175
5.15. Polynômes complexes d'image réelle 177
5.16. Sommes de deux carrés dans R[X] 178
5.17. Polynômes positifs sur [—1,1] 178
5.18. Polynôme positif 181
5.19. Diviseurs d'un polynôme de Z[X] 181
5.20. Polynômes de Hilbert 182
5.21. Interpolation de Lagrange 183
5.22. Polynômes complexes envoyant surjectivement Q sur Q . . 184
5.23. Caractérisation des polygones réguliers 186
5.24. Polynômes entiers et fonctions polynomiales induites sur
Z/p*Z 187
5.25. Un calcul de C(2) 192
5.26. Formules de Newton (1707) 193
5.27. Polynômes réels scindés 196
5.28. Un théorème de Kronecker 198
5.29. Racines réelles de nX" - X™""1 X - 1 199
5.30. Un polynôme scindé sur M 199
5.31. Dénombrement de racines réelles 200
5.32. Dérivation et polynômes réels scindés 201
5.33. Un théorème de Laguerre 202
5.34. Plans vectoriels de polynômes scindés 204
5.35. L'ouvert des polynômes scindés à racines simples sur M. dans
l'ensemble des polynômes unitaires de degré n 206
5.36. Polynômes de Tchebychev 207
5.37. Inégalités de Bernstein et de Markov 210
5.38. Théorème d'Enestrôm-Kakeya 214
5.39. Construction d'un polynôme satisfaisant des conditions sur le
module de ses valeurs 215
5.40. Inégalité de Landau 216
5.41. Critère de Routh-Hurwitz pour le degré 3 217
5.42. Règle de Descartes 218
5.43. Théorème de Sturm 220
5.44. Décomposition en éléments simples 221
5.45. Inversion de la matrice de Hilbert 222
5.46. Automorphismes de K(X) 224
5.47. Approximation d'un irrationnel algébrique par des rationnels 227
5.48. Transcendance de e 229