SERGE FRANCINOU HERVÉ GIANELLA SERGE NICOLAS Exercices de mathématiques des oraux de^ l'Ecole polytechnique et des Écoles normales supérieures Algèbre. Tome I CASSINI Table des matières Introduction Chapitre 1. Combinatoire 5 1.1. Nombres de Fibonacci 1.2. Nombre de dérangements (1) 1.3. Nombre de dérangements (2) 1.4. Nombre de dérangements (3) 1.5. Nombres de Bell 1.6. Cardinal d'une relation d'équivalence 1.7. Cardinal de GLn(K) et SLn(K) 1.8. Cardinal de SO2(Z/pZ) 1.9. Nombre d'involutions 1.10. Partitions d'un entier 1.11. Un problème de théorie extrémale des ensembles 1.12. Ensembles définis par récurrence 1.13. Distribution du premier chiffre des puissances de 2 1.14. Un théorème de Gauss 1.15. Théorème de Beatty (1926) 1.16. Un exercice du concours général 1.17. Un exercice d'Olympiades 6 8 9 11 12 14 15 16 17 19 23 24 26 28 30 31 33 Chapitre 2. Théorie des groupes 35 2.1. Existence d'un idempotent 2.2. Groupes dont l'ensemble des sous-groupes est 2.3. Morphismes de Q dans Z 2.4. Equivalence K e r / = K e r / 2 -<=> I m / = I m / 2 2.5. Sous-groupes finis de Q/Z 2.6. Groupes abéliens de cardinal pq 2.7. Un cas particulier du lemme de Cauchy 2.8. Exposant d'un groupe abélien fini 2.9. Puissances dans un groupe abélien d'exposant 2.10. Lemme de Cauchy 2.11. Centre d'un p-groupe 2.12. Nombre de classes de conjugaison 2.13. Un théorème de Frobenius (1895) 2.14. Classes de conjugaison 2.15. Sous-groupes finis de SÛ3(R) 339 fini fini 35 36 36 37 38 39 39 41 42 45 46 47 48 49 50 340 TABLE DES MATIERES 2.16. Groupes quasi-cycliques de Prùfer 54 2.17. Le groupe modulaire 552.18. Unicité dans le théorème de structure des groupes abéliens finis 59 2.19. Génération du groupe symétrique 62 2.20. Plongement de Sn dans An+2 64 2.21. Morphismes de S4 dans 1S3 64 2.22. Automorphismes de Sn 69 Chapitre 3. Anneaux et corps 73 3.1. Calcul d'inverse 3.2. Anneaux tels que x3 = x 3.3. Commutativité ou anti-commutativité 3.4. Anneaux réguliers 3.5. Idéaux principaux 3.6. Anneau des décimaux 3.7. Anneau Z[X] 3.8. Anneaux factoriels 3.9. Anneaux euclidiens 3.10. Anneau des entiers de Gauss (1) 3.11. Anneau des entiers de Gauss (2) 3.12. Une extension de C[X] 3.13. Anneau sans idéal non premier 3.14. Automorphismes de Q(\/2) 3.15. Le corps Q(v^) 3.16. Valuations sur Q 3.17. Valeurs absolues non-archimédiennes sur C(X) 3.18. Indépendance des valeurs absolues sur Q 74 74 75 76 78 79 79 80 83 87 89 93 95 96 97 98 99 101 Chapitre 4. Arithmétique 103 4.1. Étude de l'irréductibilité d'une fraction 4.2. Équation ab = ba dans N 4.3. Points du réseau Z™ visibles de l'origine 4.4. Produits d'entiers consécutifs 4.5. Parties de N additivement stables 4.6. Un exercice pour les années impaires 4.7. Équation du second degré dans Z/pZ 4.8. Un problème de congruence 4.9. Un multiple de 1996 qui ne s'écrit qu'avec des 4 4.10. Somme des puissances fc-ièmes dans Z/pZ 4.11. Théorème de Wilson (1759) 4.12. Cyclicité du groupe multiplicatif (Z/pZ)* 104 106 107 108 109 110 111 111 112 112 113 113 TABLE DES MATIERES 341 4.13. Critères de primalité 4.14. Diviseurs premiers communs aux termes d'une suite arithmétique 4.15. Nombres de Fermât 4.16. Infinité des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 . . . . 4.17. Version faible du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (1837) 4.18. Plus petit nombre premier ne divisant pas n 4.19. Théorème de Kurschak (1918) 4.20. Théorème de Legendre (1808) 4.21. Un produit de trois entiers consécutifs n'est jamais une puis- 4.22. 4.23. 4.24. 4.25. 4.26. sance k-ième Théorème de Palfy-Erdôs Valuation p-adique de C£n Congruences de Lucas (1878) Un problème de congruence Le problème de Ducci 115 116 116 119 119 122 123 124 125 126 129 129 131 132 n 4.27. Expression de Y J T ( £ ; ) 136 fc=i 4.28. 4.29. 4.30. 4.31. 4.32. 4.33. 4.34. 4.35. 4.36. 4.37. 4.38. Une majoration de a Équation faisant intervenir a Sur la fonction a Un théorème d'Erdôs (1946) Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux Écriture d'un nombre premier comme somme de deux carrés Théorème des deux carrés, preuve combinatoire Théorème des quatre carrés de Lagrange (1770) Lemme de Davenport-Cassels Une équation diophantienne Théorème de Sophie Germain (1823) 137 137 138 139 142 145 147 148 150 152 153 Chapitre 5. Polynômes 157 5.1. Égalité polynomiale 158 5.2. Une sous-algèbre de R[X] 159 5.3. Condition de divisibilité 160 5.4. Condition pour que (P') p divise Pq 161 5.5. Équation polynomiale P 2 = 1 + (X2 - 1)Q2 162 5.6. Un théorème de Liouville (1879) 164 5.7. Théorème de Mason (1984) 165 5.8. Résultant de deux polynômes 167 5.9. Caractérisation d'un polynôme par les antécédents de deux points distincts 169 342 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18. 5.19. 5.20. 5.21. 5.22. 5.23. 5.24. 5.25. 5.26. 5.27. 5.28. 5.29. 5.30. 5.31. 5.32. 5.33. 5.34. 5.35. 5.36. 5.37. 5.38. 5.39. 5.40. 5.41. 5.42. 5.43. 5.44. 5.45. 5.46. 5.47. 5.48. TABLE DES MATIÈRES Polynôme rationnel inséparable de degré 5 170 Un polynôme irréductible de Z[X] 171 Critère d'Eisenstein 172 Irréductibilité de $ p dans Q[X] 173 Décomposition de 1 + X + X2 H hX™"1 175 Polynômes complexes d'image réelle 177 Sommes de deux carrés dans R[X] 178 Polynômes positifs sur [—1,1] 178 Polynôme positif 181 Diviseurs d'un polynôme de Z[X] 181 Polynômes de Hilbert 182 Interpolation de Lagrange 183 Polynômes complexes envoyant surjectivement Q sur Q . . 184 Caractérisation des polygones réguliers 186 Polynômes entiers et fonctions polynomiales induites sur Z/p*Z 187 Un calcul de C(2) 192 Formules de Newton (1707) 193 Polynômes réels scindés 196 Un théorème de Kronecker 198 Racines réelles de nX" - X™""1 X- 1 199 Un polynôme scindé sur M 199 Dénombrement de racines réelles 200 Dérivation et polynômes réels scindés 201 Un théorème de Laguerre 202 Plans vectoriels de polynômes scindés 204 L'ouvert des polynômes scindés à racines simples sur M. dans l'ensemble des polynômes unitaires de degré n 206 Polynômes de Tchebychev 207 Inégalités de Bernstein et de Markov 210 Théorème d'Enestrôm-Kakeya 214 Construction d'un polynôme satisfaisant des conditions sur le module de ses valeurs 215 Inégalité de Landau 216 Critère de Routh-Hurwitz pour le degré 3 217 Règle de Descartes 218 Théorème de Sturm 220 Décomposition en éléments simples 221 Inversion de la matrice de Hilbert 222 Automorphismes de K(X) 224 Approximation d'un irrationnel algébrique par des rationnels 227 Transcendance de e 229 TABLE DES MATIERES 343 5.49. Polynômes à plusieurs variables à valeurs entières 5.50. Un théorème de Bezout 232 234 Chapitre 6. Espaces vectoriels. Algèbres 237 6.1. Intersection de sous-espaces 6.2. Supplémentaire commun 6.3. Drapeaux 6.4. Lemmes de factorisation 6.5. Condition pour que rgg ^ r g / 6.6. Endomorphismes stabilisant les sous-espaces de dimension k 6.7. Exemple d'utilisation des espaces quotients 6.8. Majoration de l'indice de nilpotence 6.9. Produit commutatif d'endomorphismes nilpotents 6.10. Inégalité de Sylvester 6.11. Pseudo-inverse 6.12. Endomorphismes u tels que Ker u = Imu 6.13. Endomorphismes u tels que Ker u ® Imu = E 6.14. Décomposition de Fitting 6.15. Endomorphismes tels que E = Ker u © Imu 6.16. Endomorphisme annulé par un polynôme de degré 2 à racines simples 6.17. Équation linéaire dans £(E) 6.18. Projecteurs 6.19. Une somme de projecteurs 6.20. Endomorphismes de C[X] 6.21. Formule de Burnside 6.22. Théorème de Maschke 6.23. Automorphismes de la K-algèbre £(E) 6.24. Simplicité de £(E) 6.25. Idéaux à gauche de £(E) 6.26. Idéaux à droite de £(E) 6.27. Orthogonalité duale en dimension quelconque 6.28. Familles libres d'applications 6.29. Familles positivement génératrices 6.30. Familles positivement génératrices de E* 6.31. Sous-algèbres de dimension finie de C°(R,R) 6.32. Racine carrée de la dérivation 6.33. ^-dérivation (1) 6.34. ^-dérivation (2) 6.35. ^-dérivation (3) 6.36. Étude d'une algèbre 238 239 241 244 246 248 248 249 250 250 253 254 255 256 25S 259 260 263 264 265 268 271 273 274 275 277 27g 280 282 283 287 287 288 289 291 292 344 TABLE DES MATIERES Chapitre 7. Matrices 295 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. Condition pour que igg ^ r g / Fonctions multiplicatives et inversibilite Degré et valuation du polynôme det(XA + B) Endomorphismes de yVfn(C) stabilisant le groupe linéaire . . Endomorphismes de .A/fra(C) conservant le rang Équation matricielle X + *X = (TrX)A Dual de Mn(K) Tout hyperplan de M.n{K) coupe GLra(K) Dimension maximale de sous-espaces de matrices de rang inférieur ou égal h p 7.10. Orthogonalité duale 7.11. Crochets de Lie de Mn(K) 7.12. Traces modulo p 7.13. Matrices monotones 7.14. Puissances d'une matrice strictement stochastique 7.15. Théorème de Frobenius-Kônig (1912-1916) 7.16. Décomposition de Bruhat et drapeaux 7.17. Bases d'un groupe abélien 7.18. Première colonne d'une matrice inversible de M.n{"L) . . . . 7.19. Matrices équivalentes dans Mn(Z) 7.20. Structure des groupes abéliens finis 7.21. Lemme de Siegel 296 297 298 299 300 304 305 306 Table des matières 339 Index 345 307 311 312 314 315 318 320 322 325 328 329 333 335