Le problème de l`espace - Sophus Lie, Freidrich Engel et

Avant-propos xxi
Table des matières
Partie I Introduction philosophique générale
Chap.1. L’ouvertureriemannienne....................................... 1
1.1.Circonstanceshistoriques......................................... 1
1.2.Appréciationsd’universalité....................................... 4
1.3.Assemblerl’inachevé.............................................. 5
1.4. Le mystère des notions primitives de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.Fondementsdelagéométrie...................................... 7
1.6.Lerenversementriemannien...................................... 9
1.7. Décider l’ouverture problématique du conceptuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8. Nécessité, suffisance, bifurcation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9. L’influence épistémologique de Herbart sur Riemann . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10. Le réalisme dialectique modéré de Herbart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11.Laméthodedesrelations........................................ 19
1.12. La méthode de la spéculation et les graphes de concepts . . . . . . . . 20
1.13. La méthode des plus petits changements conceptuels . . . . . . . . . . . 25
1.14. Modes amétriques de détermination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.15.Genèsedumultidimensionnel.................................... 31
1.16. Conditions pour la détermination des rapports métriques . . . . . . . . . 34
1.17. Genèse des métriques riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.18. Surfaces de courbure constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.19. Courbure sectionnelle de Riemann-Christoffel-Lipschitz . . . . . . . . . . 44
1.20. Caractérisation de l’euclidéanité par annulation de la courbure . . . 49
Chap. 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1. Le problème de Riemann-Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.Incomplétudesriemanniennes..................................... 52
2.3. Rendre objectives les propositions de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4. Les quatre axiomes de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.Linéarisationdel’isotropie......................................... 62
2.6. Critique par Lie de l’erreur principale de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7.Calculshelmholtziens............................................. 67
2.8.Insuffisancesetreprises.......................................... 72
2.9. L’approche infinitésimale systématique de Engel et de Lie . . . . . . . . . 73
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xxii Joël Merker
Partie II Introduction mathématique à la théorie de
Lie
Prologue. Trois principes de pensée qui gouvernent la théorie de Lie . . . . . . . . 79
Chap. 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations . . . . . 83
3.1.Paramètresessentiels............................................. 83
3.2. Concept de groupe de Lie local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3. Principe de raison suffisante et axiome d’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4. Introduction des transformations infinitésimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5. Équations différentielles fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7. Le théorème de Clebsch–Lie-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.8. Constantes de structure et correspondance fondamentale . . . . . . . . . 131
3.9. Le problème de la classification des groupes de transformations. . . 155
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Partie III Traduction française commentée et anno-
tée
Sophus LIE, unter Mitwirkung von Friedrich ENGEL
Theorie der Transformationsgruppen, Dritter und letzter Absch-
nitt, Abtheilung V 1
Divis. V. Recherches sur les fondements de la Géométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Chap. 20. Détermination des groupes de R3relativement auxquels les paires
de points possèdent un, et un seul invariant, tandis que s > 2points
n’ontpasd’invariantessentiel...................................
166
§ 85. Propriétés caractéristiques des groupes recherchés. . . . . . . . . . . . . . 167
§ 86. Groupes primitifs parmi les groupes recherchés. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 87. Groupes imprimitifs parmi les groupes recherchés . . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 88................................................................... 204
§ 89. Résolution du problème pour les groupes réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
§ 90................................................................... 216
Chap. 21. Critique des recherches helmholtziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 91.Lesaxiomeshelmholtziens...................................... 221
§ 92. Conséquences des axiomes helmholtziens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
§ 93. Formulation des axiomes helmholtziens en termes de théorie des
groupes...............................................................
235
§ 94. Critique des conclusions que Monsieur de Helmholtz tire de ses
axiomes...............................................................
237
§ 95. Considérations se rattachant aux calculs helmholtziens . . . . . . . . . . 248

Avant-propos xxiii
§ 96. Quelles conclusions peut-on tirer des axiomes helmholtziens ? . . . 253
Chap. 22. Première solution du problème de Riemann-Helmholtz . . . . . . . . . . . 260
§ 97................................................................... 261
§ 98................................................................... 266
§ 99................................................................... 270
§ 100. Sur le discours d’habilitation de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Chap. 23. Deuxième solution du problème de Riemann-Helmholtz . . . . . . . . . . 289
§ 101.................................................................. 291
§ 102.................................................................. 298
§ 103.................................................................. 307
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Bibliographie
Bibliographie .......................................... 317
1LIE, S. : Theorie der transformationsgruppen. Dritter und Letzter Abschnitt. Un-
ter Mitwirkung von Prof. Dr. Friedrich Engel, bearbeitet von Sophus Lie, B.G. Teub-
ner, Leipzig, 1893. Reprinted by Chelsea Publishing Co. (New York, N.Y., 1970).

Préface
par Jean-Jacques Szczeciniarz1
S’il arrivait même en dormant . . . qu’un géomètre inventât quel-
que nouvelle démonstration, son sommeil ne l’empêcherait pas d’être
vraie. DESCARTES, Discours de la méthode IVème partie A. T. VI 39
(citation tirée de [26] que je dédie à la mémoire de Laurent Schwarz).
Le travail qui vous est livré est le résultat d’une réflexion qui s’ef-
fectue sur trois registres, philosophique, mathématique et historique.
Par ces trois voies, il doit permettre au lecteur d’entrer dans l’œuvre pro-
fonde et difficile du mathématicien Sophus Lie. Si Lie est connu pour
les concepts fondamentaux qu’il a introduits (groupes et algèbres de
Lie, omniprésents dans les mathématiques), on connaît peu son œuvre
gigantesque dans son ensemble, ses lignes directrices et ses objectifs,
et surtout son unité. C’est à ces travaux trop vastes pour être maîtrisés,
écrits en norvégien et en allemand, que la présentation de Joël Mer-
ker nous introduit d’abord. Mais le lecteur qui le suivra dépassera le
stade déjà remarquable d’une introduction : il comprendra à quelle stra-
tégie d’ensemble obéit ce singulier mathématicien qui, dans son genre,
domine la fin du 19ème siècle ; le lecteur saisira aussi quelle singulière
obstination et quelle forme de puissance productrice — celles d’un ma-
thématicien — ont présidé au travail de Lie.
Nous voudrions présenter quelques réflexions que suggère le genre
de travail auquel nous avons affaire. Les trois catégories de personnages
théoriques qui occupent l’espace des recherches qui sont présentées ici
travaillent et doivent travailler nécessairement dans la plus étroite colla-
boration, et pourtant, le statut de leurs productions les rend absolument
autonomes. Le texte philosophique possède ses énoncés et sa cohérence
propre, comme le travail mathématique qui est exposé et prolongé, de
la même façon que les questions d’histoire et d’historiographie qui sont
1Professeur à l’Université Paris Diderot.

iv Jean-Jacques Szczeciniarz
déployées devant nous. Nous nous adresserons successivement à ces
trois personnages.
Aux philosophes. Il est impossible de nier le lien qui existe entre philo-
sophie et mathématiques, lien d’une nature extrêmement complexe. Ce
que ne fait pas la philosophie — au stade de son histoire — et ce qui
n’est pas en son pouvoir ni de son ressort : elle ne résout pas de ques-
tions mathématiques. Elle ne peut que décrire et amplifier les modes
d’ouverture théorique à cette singulière et pourtant universelle forme de
pensée que sont les mathématiques. Elle ne peut que reproduire sur son
propre terrain de déploiement la réflexivité qui caractérise le travail ma-
thématique en profondeur. Elle produit donc un autre type de réflexion
et de réflexivité. En aucun cas comme philosophie elle ne peut recourir
aux arguments d’autorité des résultats produits par les mathématiques.
En revanche, le type de réflexion et de réflexivité que les mathéma-
tiques produisent est en mesure de permettre, et par ressemblance et par
différence, la problématisation philosophique. La divergence se mani-
feste là où la réflexivité philosophique se replie sur elle-même et sur son
questionnement, en interrogeant par exemple, la nature des types d’êtres
qu’elle se voit constituer, pour rejoindre de façon particulière le corpus
philosophique de questionnements classiques qu’elle renouvelle.
De ce point de vue, Riemann (et c’est aussi le cas de Lie), se situe
bien en deçà, et au-delà en même temps, des philosophies mathéma-
tiques qui se sont développées et opposées au début du 20ème siècle :
le logicisme, l’intuitionnisme et le formalisme. Par delà les fossilisa-
tions aseptisantes auxquelles elles ont donné lieu, elles présentaient
elles aussi dans la virtualité de leurs déploiements et dans les dévelop-
pements de leurs premiers tenants un authentique questionnement phi-
losophique. Entendons-nous bien : une théorie des modèles ou même
une forme de logique peut avec intérêt pour le mathématicien et pour
le philosophe reproduire des résultats mathématiques sur les groupes
de transformations en ouvrant des développements dans le cadre de la
théorie des langages formels par exemple, cela ne ferait qu’un élément
de plus à prendre en compte pour le philosophe dans sa réflexion.
Il est impossible de nier également le sentiment de malaise dans le-
quel la philosophie dite des mathématiques met le mathématicien. Dans
la majorité des cas, il ne reconnaît rien, ni de sa pratique ni de sa théo-
rie : les philosophes parlent de loin, dans le suave mari magno d’une
extériorité rassurante, de mathématiques qui ne sont que rarement dif-
ficiles, et même quand c’est le cas, le problème de déployer l’ouver-
ture qui fait la profondeur de la difficulté n’est pas même abordé. Or la