Examen Mesures de Risque de Marché

ESILV
D. Herlemont
2011
Mesures de Risque de Marché I
Examen Mesures de Risque de Marché
Durée: 2 heures. Documents non autorisés et calculatrices simples autorisées.
1 pt
1. Quelle est l’interprétation d’une ”Value-at-Risk” à 99% sur 10 jours de 1 million d’euros:
a) perdre au moins 1 millions d’euros 10 jours par an
b) perdre plus que 1 million d’euros sur 10 jours 1 jour sur 100
c) perdre au moins 1 million d’euros un jour sur 100
d) aucune de ces réponses
Justifier la réponse.
Corrigé: Réponse b)
résulte de la définition même de la VaR: P roba[P &L(10jours) < −V aR] = 1/100
2 pt
2. Suivant BALE II, quelle est la relation entre le besoin en capital relatif au risque de marché
d’une part et la Valeur à risque d’autre part dont on précisera les paramètres. Quel sont les
mécanismes permettant de vérifier cette relation.
Corrigé: Le besoin en capital pour le risque de marché est M RC ≈ kV aR(99%, 10jours). Le
facteur k est fixé à trois, il peut monter jusqu’à 4 en fonction des résultats des backtests.
1 pt
3. Sous l’hypothèse de normalité, montrer qu’une VaR à 95% sur un mois est très proche d’une
VaR à 99% à 10 jours. Que penser de cette hypothèse de normalité ?
Corrigé:
Sous hypothèse de normalité, une VaR à 95% sur un mois est V ar(.95, 20jours) =
√
z.95 20σ = 1.64 ∗ 4.47σ =
√ 7.36σ, avec σ la volatilité quotidienne de la position en euros. De même
V ar(.99, 10jours) = z.99 10σ = 7.36σ,
1 pt
4. On suppose que le modèle de VaR à 95% est correct. Quelle est la probabilité d’observer
aucune exception lors d’un backtest sur un an (250 jours),
a) 0
b) 8.1 %
c) 20.5%
d) 91.9 %
Justifier la réponse (en détaillant les calculs).
Corrigé: Réponse a)
. Le nombre d’exception suit une loi binomiale de paramètre n = 250 et p = 1 − α = 1% La
probabilité d’observer k exception
P [Ne = k] = Cnk pk (1 − p)n−k
La probabilité d’observer aucune exception est
P [Ne = 0] = 2.697126537899e − 06
Daniel Herlemont
1
4 pt
5. On considère deux actifs (obligations par exemple) indépendants A et B dont la valeur est de
V0 = 100 C. La valeur future de ces actifs est V1 = 0 avec une probabilité p1 = 0.8%, V2 = 50C
avec une probabilité p2 = 3%, V3 = 120C avec une probabilité de p3 = 96.2%. On considère un
portefeuille constitué d’un actif A ou B
ˆ Calculer et Représenter graphiquement la fonction de répartition du P&L du portefeuille
ˆ Calculer les Value at Risk à 99% et 95% du portefeuille
On constitue un portefeuille composé des deux actifs A et B. Même questions que dans le cas d’un
seul actif Commenter les résultats.
Corrigé: Réponse
La fonction de répartition des P&L d’un actif

100



3.8
F (x) =
0.8



0
est
si
si
si
si
20 ≤ x
−50 ≤ x < 20
−100 ≤ x < −50
x < −100
(1)
Les VaRs d’un actif sont ,
ˆ V aRA (95%) = V aRB (95%) = −inf (x; F (x) ≥ 0.05) = −20
ˆ V aRA (99%) = V aRB (99%) = −inf (x; F (x) ≥ 0.01) = 50
La loi du P&L du portefeuille se trouve en calculant la loi jointe. Les actifs étant indépendants
P [A = a et B = b] = P [A = a].P [B = b]
[1,]
[2,]
[3,]
[4,]
[5,]
[6,]
[7,]
[8,]
[9,]
Prob A
a Prob B
b Prob(A=a et B=b) P&L (a+b-200)
0.8
0
0.8
0
0.0064
-200
0.8
0
3.0 50
0.0240
-150
0.8
0
96.2 120
0.7696
-80
3.0 50
0.8
0
0.0240
-150
3.0 50
3.0 50
0.0900
-100
3.0 50
96.2 120
2.8860
-30
96.2 120
0.8
0
0.7696
-80
96.2 120
3.0 50
2.8860
-30
96.2 120
96.2 120
92.5444
40
Fonction de densité et répartition du P&L du portefeuille
1
2
3
4
5
6
PL (xi) dentisté P[PL=xi] répartition F(xi)=P[PL<=xi]
-200
0.0064
0.0064
-150
0.0480
0.0544
-100
0.0900
0.1444
-80
1.5392
1.6836
-30
5.7720
7.4556
40
92.5444
100.0000
Les VaR du portefeuille sont
ˆ V aRA+B (95%) = −inf (x; F (x) ≥ 0.05) = 30
ˆ V aRA+B (99%) = −inf (x; F (x) ≥ 0.01) = 80
Si on compare la VaR du portefeuille avec la somme des VaR des positions isolées, on obtient
ˆ à 95%, on a 30 = V aRA+B > V aRA + V aRB = −40
ˆ à 99%, on a 80 = V aRA+B <= V aRA + V aRB = 100
Le VaR du portefeuille A+B peut apparaı̂tre plus élevé que la somme des VaR de A et B.
La VaR n’inciterait pas à toujours diversifier. Cette incohérence n’apparaı̂t pas dans le modèle
gaussien, car σA+B ≤ σA + σB .
Daniel Herlemont
2
5 pt
6. Un trader intervient sur les marchés à terme des actions et obligations long terme. Son
investissement est de W1 = 1 millions d’euros en actions et W2 = 3 millions d’euros en obligations.
La volatilité mensuelle du marché actions est de σ1 = 6%, celle du marché de taux est de σ2 = 2%,
la corrélation entre ces marchés est de ρ = −0.2. On s’interesse ici à la VaR à 95% sur un mois.
1. Quelles sont les VaR des positions en actions et obligations prises isolément.
2. Quelle est la VaR du portefeuille ?
3. Comparer cette VaR du portefeuille à la somme des VaR isolées. Commentaires ?
4. Calculer les VaR Marginales (MVAR), ainsi que les contributions au risque en pourcentage
(PCTR) des positions en actions et taux.
5. Le trader augmente son exposition en actions de 1000 euros et réduit son exposition taux
d’un même montant. Calculer l’impact sur la VaR du portefeuille.
6. Le trader souhaite changer ses positions, sans modifier la VaR de son portefeuille qui lui est
imposée. Quelle doit la relation entre la position en actions et la position en obligations pour
respecter la même VaR ?
Rappel: M V ARi = ∂V aRp /∂(πi V ) et P CT Ri = πi /V aRp ∂V aRp /∂(πi ) avec V aRp et avec
V aRp la VaR du portefeuille, πi la proportion investie dans l’actif i et V la valeur du portefeuille.
On rappellera l’expression de MVAR et PCTR dans le cas normalement distribué.
Corrigé:
1. Les VaR des positions en actions et obligations prises isolément sont en millions d’euros
ˆ V AR1 = z.95 σ1 W1 = 98.7
ˆ V AR2 = z.95 σ2 W2 = 98.7.
2. La volatilité en millions d’euros du portefeuille est
q
σe = W12 σ12 + W22 σ22 + 2ρ ∗ W1 σ1 W2 σ2 = 75.9
ou en taux de rendement σr = σe /W = 1.90% avec W = W1 + W2 , la valeur du portefeuille.
La Var est alors V AR = z.95 ∗ σe = 125 millions d’euros.
3. On constate que V AR < V AR1 + V AR2, il y aurait égalité ssi les actifs étaient parfaitement
corrélés.
4. Le trader souhaite changer ses positions, sans modifier la VaR de son portefeuille qui lui
imposée. il faut donc que ∆V aRp = M V AR1 ∆W1 + M V AR2 ∆W2 = 0 ou ∆V aRp /V aRp =
P
i P CT Ri ∆Wi /Wi = 0
Pdans le cas de faibles variations ou plus généralement, conserver
une volatilité constante ij Wi Wj σij
W prop
VaR beta
MVAR PCTR
1
1 0.25 0.0987 2.000 0.0624 0.5
2
3 0.75 0.0987 0.667 0.0208 0.5
total 4 1.00 0.1974
NA
NA 1.0
Daniel Herlemont
3
6 pt
7. Un portefeuille est constitué par la vente d’une option d’achat (short call) à la monnaie et
d’échéance T = 10 jours. On suppose que le taux de rendement du sous jacent suit une loi normale
de moyenne nulle et volatilité journalière σ = 2%. La valeur initiale du sous jacent est S0 = 100
euros. Autrement dit (ST − S0 )/S0 est normalement distribué de moyenne nulle et variance σ 2 T .
La valeur du call à la date 0 est c0 = 2.52. Dans la suite, on s’intéresse à la VaR à 99% à 10 jours
(c’est à dire lorsque l’option arrive à maturité).
1. Quelle est l’espérance de la valeur de ce portefeuille à maturité ?
2. Tracer l’allure du P&L X du portefeuille à maturité, en fonction de la valeur S du sous
jacent. Le P&L est il monotone en fonction de S ?
3. Quelle sont les signes du delta et du gamma ? Quelle est la valeur approximative du delta ?
4. Tracer l’allure de la densité de ce P&L. Commenter l’allure de cette distribution en terme
de symétrie.
5. Quel est la VaR du portefeuille dans la méthode dite delta normale (que l’on décrira).
6. Calculer la volatilité du portefeuille en utilisant le développement limité en delta/gamma
dont on rappellera l’expression. La valeur absolue du Gamma est 0.063
7. Calculer la borne de la VaR en utilisant la volatilité calculée précédemment et l’inégalité de
Bienaymé-Tchebychev (indication: la distribution n’est pas symétrique)
8. Calculer la valeur exacte de la VaR en utilisant des propriétés de monotonie du P&L. Pour
quelle valeur du sous -jacent la VaR est elle atteinte ? La VaR effective est elle supérieure
ou inférieure à l’approximation delta normale (utiliser un argument simple)
9. Comparer et commenter les différents calculs de la VaR.
10. Citer et décrire d’autres méthodes de calcul de la VaR en présence d’options.
11. Au portefeuille précédent, on ajoute la vente d’une option de vente (vente d’un straddle).
Représenter graphiquement la valeur du portefeuille à maturité ainsi que l’allure de la distribution du P&L. Calculer la valeur exacte de la VaR
Corrigé:
1. La valeur du portefeuille est V0 = −c0 . Autrement dit, on encaisse la prime de la vente.
2. A maturité, l’espérance de la valeur du sous jacent sans tendance est toujours égale à sa
valeur initiale donc au strike, l’option étant à la monnaie, la valeur de l’option à maturité
est nulle, de même pour la valeur du portefeuille.
3. La valeur du portefeuille à la date T est VT = −cT avec cT = max(S − K, 0), la valeur du
call a maturité et le strike K = S0 car le call est à la monnaie. Le P&L est X = VT − V0 =
−cT − (−c0 ) = c0 − cT .
Daniel Herlemont
4
P&L
−15
−10
prix
−5
0
à la date t
a l'échéance
80
90
100
110
120
prix sous−jacent
Le P&L est décroissant avec le prix du sous-jacent.
4. ∆ ≈ −0.5 car on est à la monnaie et Γ < 0.
Daniel Herlemont
5
0.15
0.00
0.05
0.10
Density
0.20
0.25
0.30
Histogramme des P&Ls
−20
−15
−10
−5
0
P&L
5.
La densité a une forte asymétrie négative. Les pertes peuvent être très grandes alors que les
gains sont ”capés” à la valeur initiale du call.
6. Dans la méthode dite delta normale, on effectue un développement limité au premier ordre.
VT − V0 ≈ ∆(ST − S0 ) = ∆rT S0 . Avec rT = (ST − S0 )/S0 , le taux de rendement du sous
jacent à l’horizon T . La VaR delta normale est alors
√
V aR = zα ∆σ T S0 = 7.36
En réalité la VaR est bien plus élevée, en raison de la forte asymétrie négative.
7. Dans un développement delta gamma, on approche les P&Ls par
1
VT − V0 ≈ ∆rT S0 + ΓrT2 S02
2
L’espérance est
µ∆Γ =
et la volatilité (voir cours et TD)
r
σ∆Γ =
1 2 2
Γσ T S0 == −1.26
2
1
∆2 σ 2 T S02 + Γ2 σ 4 T 2 S04 = 3.63
2
et la VaR delta gamma est
V aR∆Γ = −µ∆Γ + zα σ∆Γ = 9.7
Daniel Herlemont
6
La méthode précédente suppose que la distribution est normalement distribuée ce qui est
loin d’être le cas. On pourrait corriger en utilisant l’approximation de Cornish Fisher. Mais
ici, on peut aussi utiliser le fait que l’approximation delta gamma du P&L est une fonction
décroissante√de S−S0 , le quantile à 1% du P&L correspond au quantile à 99% de S−S0 qui est
q = 2.33∗σ T ∗S0 et une autre expression de VaR delta gamma est alors −∆q − 21 Γq 2 = 14.2
8. Dans le cas de distribution non symétrique la borne de la VaR est (voir TD1)
σ∆Γ
V aR = √
= 36.3
1−α
9. Le P&L est une fonction décroisssante du sous jacent. La VaR de niveau α correspond donc
au P&L du quantile à α du sous jacent
√
S ∗ = S0 (1 + 2.33σ T ) = 115
et la VaR exacte est max(S ∗ − K) − c0 = 12.2
10. La VaR delta normale sous estime largement la vraie VaR alors que la borne de la VaR
paraı̂t assez grossière. La VaR delta gamma parait acceptable.
Parmi les autres méthodes, citons (voir cours)
ˆ Les méthodes de simulation:
– La méthode de Monté Carlo qui consiste a générer des scénarii de prix futurs suivant
la distribution de ces prix (lognormale), évaluer le portefeuille pour chacun de ces
prix, puis les P&L, puis calculer le quantile à partir de l’échantillon des P&Ls
simulés.
– L’échantillon des prix futurs peut également être généré à partir de l’historique des
prix, dans ce cas on parle de simulation historique.
ˆ La méthode dite de Cornish Fischer qui consiste en un développement limité du quantile de la distribution par rapport au quantile normal. Ce développement limité fait
intervenir l’asymétrie de la distribution, ainsi que l’excès de Kurtosis.
11. Si on ajoute la vente d’un put, on obtient un straddle dont la valeur initiale est V0 = −2 ∗ c0
Le P&L à maturité est VT − V0 = 2 ∗ c0 − |ST − S0 |. La VaR est telle que
P [2 ∗ c0 − |ST − S0 | < −V aR] = 1 − α
apres transformation on trouve que
√
V aR = z(1+α)/2 S0 σ T − 2c0 = 11.2
On remarque que la VaR tend vers ∞ lorsque α tend vers 1.
Si on avait eu un achat de straddle, on aurait un ‘P&L de VT − V0 = |ST − S0 | − 2 ∗ c0 et
√
V aRlong,straddle = 2 ∗ c0 − z1−α/2 S0 σ T
Cette VaR est toujours inférieure à la valeur initiale du contrat (2 ∗ c0 ).
Fin de l’énoncé, noté sur 20 points
Daniel Herlemont
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