Examen Mesures de Risque de Marché

ESILV 2011
D. Herlemont Mesures de Risque de March´e I
Examen Mesures de Risque de March´e
Dur´ee: 2 heures. Documents non autoris´es et calculatrices simples autoris´ees.
1.1 pt Quelle est l’interpr´etation d’une ”Value-at-Risk” `a 99% sur 10 jours de 1 million d’euros:
a) perdre au moins 1 millions d’euros 10 jours par an
b) perdre plus que 1 million d’euros sur 10 jours 1 jour sur 100
c) perdre au moins 1 million d’euros un jour sur 100
d) aucune de ces r´eponses
Justifier la r´eponse.
Corrig´e: R´eponse b)
r´esulte de la d´efinition mˆeme de la VaR: P roba[P&L(10jours)<−V aR] = 1/100
2.2 pt Suivant BALE II, quelle est la relation entre le besoin en capital relatif au risque de march´e
d’une part et la Valeur `a risque d’autre part dont on pr´ecisera les param`etres. Quel sont les
m´ecanismes permettant de v´erifier cette relation.
Corrig´e: Le besoin en capital pour le risque de march´e est M RC ≈kV aR(99%,10jours). Le
facteur kest fix´e `a trois, il peut monter jusqu’`a 4 en fonction des r´esultats des backtests.
3.1 pt Sous l’hypoth`ese de normalit´e, montrer qu’une VaR `a 95% sur un mois est tr`es proche d’une
VaR `a 99% `a 10 jours. Que penser de cette hypoth`ese de normalit´e ?
Corrig´e: Sous hypoth`ese de normalit´e, une VaR `a 95% sur un mois est V ar(.95,20jours) =
z.95√20σ= 1.64 ∗4.47σ= 7.36σ, avec σla volatilit´e quotidienne de la position en euros. De mˆeme
V ar(.99,10jours) = z.99√10σ= 7.36σ,
4.1 pt On suppose que le mod`ele de VaR `a 95% est correct. Quelle est la probabilit´e d’observer
aucune exception lors d’un backtest sur un an (250 jours),
a) 0
b) 8.1 %
c) 20.5%
d) 91.9 %
Justifier la r´eponse (en d´etaillant les calculs).
Corrig´e: R´eponse a)
. Le nombre d’exception suit une loi binomiale de param`etre n= 250 et p= 1 −α= 1% La
probabilit´e d’observer kexception
P[Ne=k] = Ck
npk(1 −p)n−k
La probabilit´e d’observer aucune exception est
P[Ne= 0] = 2.697126537899e−06
Daniel Herlemont 1

5.4 pt On consid`ere deux actifs (obligations par exemple) ind´ependants A et B dont la valeur est de
V0= 100 C. La valeur future de ces actifs est V1= 0 avec une probabilit´e p1= 0.8%, V2= 50C
avec une probabilit´e p2= 3%, V3= 120C avec une probabilit´e de p3= 96.2%. On consid`ere un
portefeuille constitu´e d’un actif A ou B
Calculer et Repr´esenter graphiquement la fonction de r´epartition du P&L du portefeuille
Calculer les Value at Risk `a 99% et 95% du portefeuille
On constitue un portefeuille compos´e des deux actifs A et B. Mˆeme questions que dans le cas d’un
seul actif Commenter les r´esultats.
Corrig´e: R´eponse
La fonction de r´epartition des P&L d’un actif est
F(x) = 
100 si 20 ≤x
3.8 si −50 ≤x < 20
0.8 si −100 ≤x < −50
0 si x < −100
(1)
Les VaRs d’un actif sont ,
V aRA(95%) = V aRB(95%) = −inf(x;F(x)≥0.05) = −20
V aRA(99%) = V aRB(99%) = −inf(x;F(x)≥0.01) = 50
La loi du P&L du portefeuille se trouve en calculant la loi jointe. Les actifs ´etant ind´ependants
P[A=a et B =b] = P[A=a].P [B=b]
Prob A a Prob B b Prob(A=a et B=b) P&L (a+b-200)
[1,] 0.8 0 0.8 0 0.0064 -200
[2,] 0.8 0 3.0 50 0.0240 -150
[3,] 0.8 0 96.2 120 0.7696 -80
[4,] 3.0 50 0.8 0 0.0240 -150
[5,] 3.0 50 3.0 50 0.0900 -100
[6,] 3.0 50 96.2 120 2.8860 -30
[7,] 96.2 120 0.8 0 0.7696 -80
[8,] 96.2 120 3.0 50 2.8860 -30
[9,] 96.2 120 96.2 120 92.5444 40
Fonction de densit´e et r´epartition du P&L du portefeuille
PL (xi) dentist´e P[PL=xi] r´epartition F(xi)=P[PL<=xi]
1 -200 0.0064 0.0064
2 -150 0.0480 0.0544
3 -100 0.0900 0.1444
4 -80 1.5392 1.6836
5 -30 5.7720 7.4556
6 40 92.5444 100.0000
Les VaR du portefeuille sont
V aRA+B(95%) = −inf(x;F(x)≥0.05) = 30
V aRA+B(99%) = −inf(x;F(x)≥0.01) = 80
Si on compare la VaR du portefeuille avec la somme des VaR des positions isol´ees, on obtient
`a 95%, on a 30 = V aRA+B> V aRA+V aRB=−40
`a 99%, on a 80 = V aRA+B<=V aRA+V aRB= 100
Le VaR du portefeuille A+B peut apparaˆıtre plus ´elev´e que la somme des VaR de A et B.
La VaR n’inciterait pas `a toujours diversifier. Cette incoh´erence n’apparaˆıt pas dans le mod`ele
gaussien, car σA+B≤σA+σB.
Daniel Herlemont 2

6.5 pt Un trader intervient sur les march´es `a terme des actions et obligations long terme. Son
investissement est de W1= 1 millions d’euros en actions et W2= 3 millions d’euros en obligations.
La volatilit´e mensuelle du march´e actions est de σ1= 6%, celle du march´e de taux est de σ2= 2%,
la corr´elation entre ces march´es est de ρ=−0.2. On s’interesse ici `a la VaR `a 95% sur un mois.
1. Quelles sont les VaR des positions en actions et obligations prises isol´ement.
2. Quelle est la VaR du portefeuille ?
3. Comparer cette VaR du portefeuille `a la somme des VaR isol´ees. Commentaires ?
4. Calculer les VaR Marginales (MVAR), ainsi que les contributions au risque en pourcentage
(PCTR) des positions en actions et taux.
5. Le trader augmente son exposition en actions de 1000 euros et r´eduit son exposition taux
d’un mˆeme montant. Calculer l’impact sur la VaR du portefeuille.
6. Le trader souhaite changer ses positions, sans modifier la VaR de son portefeuille qui lui est
impos´ee. Quelle doit la relation entre la position en actions et la position en obligations pour
respecter la mˆeme VaR ?
Rappel: MV ARi=∂V aRp/∂(πiV) et P CT Ri=πi/V aRp∂V aRp/∂(πi) avec V aRpet avec
V aRpla VaR du portefeuille, πila proportion investie dans l’actif iet Vla valeur du portefeuille.
On rappellera l’expression de MVAR et PCTR dans le cas normalement distribu´e.
Corrig´e:
1. Les VaR des positions en actions et obligations prises isol´ement sont en millions d’euros
V AR1=z.95σ1W1= 98.7
V AR2=z.95σ2W2= 98.7.
2. La volatilit´e en millions d’euros du portefeuille est
σe=qW2
1σ2 1+W2 2σ2 2+ 2ρ∗W1σ1W2σ2= 75.9
ou en taux de rendement σr=σe/W = 1.90% avec W=W1+W2, la valeur du portefeuille.
La Var est alors V AR =z.95 ∗σe= 125 millions d’euros.
3. On constate que V AR < V AR1+V AR2, il y aurait ´egalit´e ssi les actifs ´etaient parfaitement
corr´el´es.
4. Le trader souhaite changer ses positions, sans modifier la VaR de son portefeuille qui lui
impos´ee. il faut donc que ∆V aRp=MV AR1∆W1+MV AR2∆W2= 0 ou ∆V aRp/V aRp=
PiP CT Ri∆Wi/Wi= 0 dans le cas de faibles variations ou plus g´en´eralement, conserver
une volatilit´e constante Pij WiWjσij
W prop VaR beta MVAR PCTR
1 1 0.25 0.0987 2.000 0.0624 0.5
2 3 0.75 0.0987 0.667 0.0208 0.5
total 4 1.00 0.1974 NA NA 1.0
Daniel Herlemont 3

7.6 pt Un portefeuille est constitu´e par la vente d’une option d’achat (short call) `a la monnaie et
d’´ech´eance T= 10 jours. On suppose que le taux de rendement du sous jacent suit une loi normale
de moyenne nulle et volatilit´e journali`ere σ= 2%. La valeur initiale du sous jacent est S0= 100
euros. Autrement dit (ST−S0)/S0est normalement distribu´e de moyenne nulle et variance σ2T.
La valeur du call `a la date 0 est c0= 2.52. Dans la suite, on s’int´eresse `a la VaR `a 99% `a 10 jours
(c’est `a dire lorsque l’option arrive `a maturit´e).
1. Quelle est l’esp´erance de la valeur de ce portefeuille `a maturit´e ?
2. Tracer l’allure du P&L Xdu portefeuille `a maturit´e, en fonction de la valeur Sdu sous
jacent. Le P&L est il monotone en fonction de S ?
3. Quelle sont les signes du delta et du gamma ? Quelle est la valeur approximative du delta ?
4. Tracer l’allure de la densit´e de ce P&L. Commenter l’allure de cette distribution en terme
de sym´etrie.
5. Quel est la VaR du portefeuille dans la m´ethode dite delta normale (que l’on d´ecrira).
6. Calculer la volatilit´e du portefeuille en utilisant le d´eveloppement limit´e en delta/gamma
dont on rappellera l’expression. La valeur absolue du Gamma est 0.063
7. Calculer la borne de la VaR en utilisant la volatilit´e calcul´ee pr´ec´edemment et l’in´egalit´e de
Bienaym´e-Tchebychev (indication: la distribution n’est pas sym´etrique)
8. Calculer la valeur exacte de la VaR en utilisant des propri´et´es de monotonie du P&L. Pour
quelle valeur du sous -jacent la VaR est elle atteinte ? La VaR effective est elle sup´erieure
ou inf´erieure `a l’approximation delta normale (utiliser un argument simple)
9. Comparer et commenter les diff´erents calculs de la VaR.
10. Citer et d´ecrire d’autres m´ethodes de calcul de la VaR en pr´esence d’options.
11. Au portefeuille pr´ec´edent, on ajoute la vente d’une option de vente (vente d’un straddle).
Repr´esenter graphiquement la valeur du portefeuille `a maturit´e ainsi que l’allure de la dis-
tribution du P&L. Calculer la valeur exacte de la VaR
Corrig´e:
1. La valeur du portefeuille est V0=−c0. Autrement dit, on encaisse la prime de la vente.
2. A maturit´e, l’esp´erance de la valeur du sous jacent sans tendance est toujours ´egale `a sa
valeur initiale donc au strike, l’option ´etant `a la monnaie, la valeur de l’option `a maturit´e
est nulle, de mˆeme pour la valeur du portefeuille.
3. La valeur du portefeuille `a la date Test VT=−cTavec cT=max(S−K, 0), la valeur du
call a maturit´e et le strike K=S0car le call est `a la monnaie. Le P&L est X=VT−V0=
−cT−(−c0) = c0−cT.
Daniel Herlemont 4

80 90 100 110 120
−15 −10 −5 0
P&L
prix sous−jacent
prix
à la date t
a l'échéance
Le P&L est d´ecroissant avec le prix du sous-jacent.
4. ∆ ≈ −0.5 car on est `a la monnaie et Γ <0.
Daniel Herlemont 5