Théoreme des résidus dans C2

Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
19
THÉORÈME DES RÉSIDUS DANS C
2
Grzegorz Biernat
Institute of Mathematics and Computer Science, Technical University of Częstochowa
Résumè. Dans cet article on propose la démonstration alternative du théorème des résidus
dans C
2
.
1. Le résidu à l’infini
Soit
(
)
21
,YYh un polynôme dans C2 . On définit
( )
=
1
2
1
deg
121
,
1
,
~
X
X
X
hXXXh
h et
( )
=
11
2
deg
121
1
,,
~
~
XX
X
hXXXh
h
Soient
g
et
21
,ff des polynômes dans C2 . On pose .gdegfdegfdegs 3
21
−−+=
Dans ce qui suit on supposera 1deg
1
≥f et .fdeg 1
2
≥ On considérera le cas de
s < 0.
Soit
∞
l une droite á l’infini et soient
( )
2
11
P
fVC =
et
( )
2
22
P
fVC =
les fermetures
des courbes affinnes
(
)
(
)
{
}
0:
1
2
1
=∈= zfzfV C et
(
)
(
)
{
}
0:
2
2
2
=∈= zfzfV C
dans P
2
. Pour 2 P⊂∈
∞
la on prend a
~
et a
~
~
comme leur images affins dans C
2
.
Lemme. On suppose que les polynômes
1
f et
2
fn’aient pas de facteurs communs.
Si le point
(
)
1:0:0 n’appartient pas aux courbes
1
C et ,
2
C on a l’égalité
(
)
(
)
∑
∑
∞
∩∈
−
∞
∩∈
−
=
lCb
s
b
lCa
s
a
ffXgfXfg
21
211
~
211
~
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res
Preuve. D’après la règle de transformation [1, 5], on a
(
)
(
)
211
~
121
~
~
,
~
~
Res,
~
~
~
Res fXfgXffg
s
a
s
a
−−
= (1)
si
∞
∩∈ lCa
1
et
(
)
.a
~
f
~
0
2
≠ De même
(
)
(
)
(
)
211
~
112
~
121
~
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res,
~
~
~
Res ffXgfXfgXffg
s
b
s
b
s
b
−−−
−== (2)
si
∞
∩∈ lCb
2
et
(
)
.b
~
f
~
0
1
≠
Please cite this article as:
Grzegorz Biernat, Théoreme des résidus dans C², Scientific Research of the Institute of Mathematics and
Computer Science, 2002, Volume 1, Issue 1, pages 19-24.
The website: http://www.amcm.pcz.pl/

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20
Soit maintenant
(
)
.
21 ∞
∩∩∈ lCCc Supposons pour l’instant que chacun de germes
1
ˆ
~
f et
2
ˆ
~
f au point
c
~
ait la décomposition sans facteurs multiples. Soient p fff
1111
ˆˆ
ˆ
~
⋅⋅= K
et q fff
2212
ˆˆ
ˆ
~
⋅⋅= K
au voisinage du point .c
~
En prenant des paramétrisation
(
)
iii 21
,ϕϕ=Φ et
(
)
jjj 21
,ψψ=Ψ des zéros de
i
f
1
et ,
2j
f on obtient [2]
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
211
~
211
~
112
~
211
~
1
11
2
2
1
0
1
12
2
1
1
0
1
1
2
21
1
0
1
1
2
21
1
0
121
~
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res
~
~
~
res
~
~
~
res
~~
~
res
~~
~
res
,
~
~
~
Res
ffXgfXfg
fXfgfXfg
f
X
f
g
f
X
f
g
X
ff
g
X
ff
g
Xffg
s
c
s
c
s
c
s
c
qj s
jjj
jj
pi s
iii
ii
qj s
jj
jj
pi s
ii
ii
s
c
−−
−−
≤≤ − ≤≤ −
≤≤ −
≤≤ −
−
−
=+
=
ΨΨ
∂
∂
′
Ψ
−
ΦΦ
∂
∂
′
Φ
−
=
Ψ
∂
∂
′
Ψ
−
Φ
∂
∂
′
Φ
−
=
∑∑
∑∑
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
Si quelconque de germes au point c
~
admet les facteurs multiples on choisit des
constants
1
α et
2
α de telle manière que les germes
+
−
2111
ˆ
~~
fXf
s
α et
+
−
1122
ˆ
~~
fXf
s
α restent sans facteurs multiple au point c
~
[2]. On peut appeler
maintenant l’égalité précedente et appliquer la régle de transformation
(
)
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
=+++−
+++
=+++
=
−−−−
−−−−
−−−−
−
fXffXfXXg
fXfXfXfXg
XfXffXfXg
Xffg
ssss
c
ssss
c
ssss
c
s
~~
,
~~
1
~
Res
~~
,
~~
1
~
Res
,
~~~~
1
~
Res
,
~
~
~
Res
12221111
2
121
~
112212111
2
121
~
111222111
2
121
~
121c
~
αααα
αααα
αααα
(
)
(
)
(
)
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
=++⋅−
++−−
++⋅+
++−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
fXffXfXXg
fXffXfXXg
fXfXfXfXg
fXfXfXfXg
ssss
c
ssss
c
ssss
c
ssss
c
~~
,
~~
2
~
Res
~~
,
~~
1
~
Res
~~
,
~~
2
~
Res
~
~
,
~
~
1
~
Res
12221111
2
121
~
112221111
2
121
~
112212111
2
121
~
112212111
2
121
~
αααα
αααα
αααα
αααα

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21
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
211c
~
211c
~
112221111c
~
21211c
~
112221111c
~
21211c
~
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res
~~
,
~~
~
Res2
~
,
~
~
Res
~~
,
~~
~
Res2
~
,
~
~
Res
ffXgfXfg
fXffXfXgffXg
fXffXfXgfXfg
ss
ssss
ssss
−−
−−−−
−−−−
−
=++−−
+++
αααα
αααα
Par consequent
(
)
(
)
(
)
211
~
211
~
121
~
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res,
~
~
~
Res ffXgfXfgXffg
s
c
s
c
s
c
−−−
−= (3)
si
(
)
.lCCc
∞
∩∩∈
21
D’après (1), (2) et (3) il vient
(
)
( )
(
)
(
)
∑
∑
∑
∞∞∞
∩∈
−
∩∈
−
∩∪∈
−
−=
lCb
s
b
lCa
s
a
lCCc
s
c
ffXgfXfgXffg
2121
211
~
211
~
121
~
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res,
~
~
~
Res
L’application
(
)
s
Xff
−
121
,
~
~
n’a pas de zéros à l’infini et
(
)
3deg
~
~
deg3degdegdeg
~
deg
12121
−+=−−+=≤
−s
Xffsffgg
La formule d’Euler-Jacobi-Kronecker [1, 4, 5] conclut que la somme des résidus
ci-dessus à gauche s’annule. Ceci fini la preuve du lemme.
Pour le polynôme h soit 01 hhhh
n
+++=
−
+
K sa decomposition en formes homo-
gènes. Alors
(
)
(
)
(
)
01211221
,1,1,
~
hXXhXXhXXh
n
n
+++=
−
+
K
et
( ) =
21
,
~
~
XXh
(
)
+
+
1,
2
Xh
(
)
01211
1, hXXhX
n
n
++
−
K
où n = deg h.
Observation. Soit
(
)
21
,lll = un changement linnéaire des variables dans C
2
. Alors
( ) ( )( ) (
(
)
( ) ( )
(
)
( )
( ) )
0
21
1
21
22
1
21
1
21
22
2121
,1
,1
,1
,1
,1,1
,1
,1,1,
~~
h
Xl
X
Xl
Xl
h
Xl
X
Xl
Xl
hXlXXlh
n
n
n
+
+
+
=
−
+
Ko
où n = def h.

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22
Proposition 1. Soit
(
)
21
,lll = un changement linnéaire des variables dans C
2
du
jacobien 1=
l
J et tel que lfY o
+
/
11
et .
21
lfY o
+
/ Alors
(
)
( )
(
)
lfXlflgfXfg
s
al
s
a
ooo
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res
211
~
211
~
1
−−
−
=
pour tout
(
)
{
}
.::\lCa 100
1∞
∩∈ De même
(
)
( )
(
)
lflfXlgffXg
s
bl
s
b
ooo
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res
211
~
211
~
1
−−
−
=
pour tout
(
)
{
}
.::\lCb 100
2∞
∩∈
Preuve. On applique la régle de transformation des résidus [5] et l’observation ci-
dessus. Avec m = deg g,
11
deg fn =,
22
deg fn = et
(
)
,1
211
X,ll =
(
)
222
,1 Xll = il
vient
( )
(
)
=
−
−
lfXlflg
s
al
ooo
~
,
~
~
Res
211
~
1
( )
=
+
+
++
+
+−
+
−
+
−
K
K
K
1
2
2
1
1
1
2
11
0
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
~
,1
,,1
,1,1Res
2
1
1
l
l
flX
l
l
fl
g
l
l
l
l
g
l
X
l
l
gl
n
s
n
m
m
m
al
( )
( )
+
+
++
+
+
−
+
−
+
−+−
−
K
K
K
1
2
2
1
1
1
2
1
0
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
~
,1
,,1
,1,1Res
21
1
l
l
f
l
X
l
l
f
g
l
l
l
l
g
l
X
l
l
gl
s
m
m
snnm
al
où
(
)
.snnm 3
21
=−+− En passant par le changement biholomorphe local des va-
riables ( )
()
(
)
()
=
21
22
21
1
21
,1
,1
,
,1
,Xl
Xl
Xl
X
XXϕ
du jacobien 3
1
l
J
J
l
=
ϕ on retrouve le ré-
sidu démandé. Cela finit la démonstration de la proposition.
Proposition 2. Soit .lCa
∞
∩∈
1
Si
(
)
1:0:0≠a et
(
)
,010 ::a ≠ on a l’égalité
(
)
−=
−−
211
~
~
211
~
~
,
~
~
~
~
Res
~
,
~
~
Res fXfgfXfg
s
a
s
a
Preuve. On passe par le changement biholomorphe local des variables
( )
.
XX
X
XX 
=ϕ
22
1
21
1
,,

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23
Corollaire. Il existe un nombre
R
tel que pour tout changement linnéaire l des
variables dans
2
Cdu jacobien 1=
l
J et tel que ,
11
lfY o
+
/lfY o
+
/
21
et
,
12
lfY o
+
/ lfY o
+
/
22
on ait
=
R
( )
(
)
lfXlflg
s
al
lCa
ooo
~
,
~
~
Res
211
~
1
1
−
∩∈
−
∞
∑
− =
( )
(
)
lflfXlg
s
bl
lCb
ooo
~
,
~
~
Res
211
~
1
2
−
∩∈
−
∞
∑
−
ou bien
=
R
( )
(
)
lfXlflg
s
al
lCa
ooo
~
~
,
~
~
~
~
Res
211
~
~
1
1
−
∩∈
−
∞
∑
=
( )
(
)
lflfXlg
s
bl
lCb
ooo
~
~
,
~
~
~
~
Res
211
~
~
1
2
−
∩∈
−
∞
∑
Preuve. On applique le lemme et les propositions 1 et 2.
Définition. Un nombre R étant donné ci-dessus on appellera résidu à l’infini de g
et
(
)
21
,fff = et on le notera par .fgRes
∞
Le théorème des résidus
Proposition 3. Soit
(
)
,
21
x,xx = ,0
1
≠x un zéro isolé de l’application
(
)
.fff
21
,=Alors
(
)
(
)
(
)
211
~
211
~
21
~
,
~
~
Res
~
,
~
~
Res,Res ffXgfXfgffg
s
x
s
xx
−−
−=−=
ou bien
( )
=
=
−−
211
~
~
211
~
~
21
~
~
,
~
~
~
~
Res
~
~
,
~
~
~
~
Res,Res ffXgfXfgffg
s
x
s
x
x
Théorème des résidus. Soit
(
)
22
21
:, CC →= fff une application polynomiale
de zéros isolés. Pour tout polynôme CC →
2
:g on ait
( )
0ResRes
0
1
=+
∞
∈
∑
−
fgfg
fx
x
Preuve. Le cas de 03degdegdeg
21
≥−−+= gffs étant prouvé dans [3]. Soit
s < 0. Prenons un changement linnéaire
l des variables dans C
2
du jacobien 1=
l
J
et tel que ,
11
lfY o
+
/ lfY o
+
/
21
et ,
12
lfY o
+
/ lfY o
+
/
22
et
(
)
(
)
1
1
YVxl ∉
− pour