Arithmétique

Arithmétique
Divisibilité dans Z
1
1.1
Multiples d’un entier relatif
DéÞnition 1 Soit n ∈ Z. m ∈ Z est un multiple de n s’il existe k ∈ Z tel que m = kn.
On note nZ l’ensemble des multiples de n.
DéÞnition 2 Soit n ∈ Z. d ∈ Z∗ est un diviseur de n s’il existe q ∈ Z tel que n = qd.
On note alors d | n. On note Div (n) l’ensemble des diviseurs de n.
m multiple de n ⇔ n diviseur de m
m ∈ nZ ⇔ n ∈ Div (m)
Remarque 1 Div (0) = Z
Notation : On note Div (a, b) = Div (a) ∩ Div (b) l’ensemble des diviseurs communs à a et à b.
1.2
Propriétés de la divisibilité
1. d | n ⇔ −d | n
½
d|n
2.
⇒ |d| ≤ |n| . Donc tout entier non nul admet un nombre Þni de diviseurs.
n 6= 0
Si d et n sont des entiers naturels, d | n ⇒ d ≤ n.
½
d|n
3.
⇒ n = d ou n = −d
n|d
½
a|b
4.
⇒a|c
b|c
5. a ∈ Div (b, c) ⇒ a | bx + cy pour tout (x, y) ∈ Z2 . En particulier, a | b + c et a | b − c
6. d | n ⇒ ∀c ∈ Z∗ : dc | nc.
2
Division euclidienne dans N
Théorème 1 Soit a ∈ N et b ∈ N∗ . ∃ ! (q, r) ∈ N2 tel que
a = bq + r
avec 0 ≤ r < b
Démonstration. b > 0 donc les multiples positifs de b forment une suite strictement croissante.
Ecrivons les multiples de b de 0 jusqu’à (a + 1) b.
|
0
|
b
|
2b
·········
|
qb
|
(q + 1) b
·········
|
(a + 1) b
(a + 1) b = ab + b > ab ≥ a (car b ≥ 1). Donc a est nécessairement, soit l’un des multiples écrits, soit
compris entre deux multiples consécutifs, c’est à dire qu’il existe q unique tel que a ∈ [qb; (q + 1) b[ .
Soit r = a − bq (r est donc unique).
bq ≤ a < b (q + 1) ⇒ 0 ≤ r < b
Donc a = bq + r avec 0 ≤ r < b
Arithmétique
3
3.1
2
PGCD de deux entiers naturels
Diviseurs communs à deux entiers naturels
Soient a et b deux entiers naturels non tous les deux nuls.
Div (a, b) = Div (a) ∩ Div (b) est une partie de Z non vide (elle contient 1) et ses éléments sont tous
inférieurs ou égaux à a et à b. Donc Div (a, b) possède un plus grand élément.
DéÞnition 3 Soient a et b deux entiers non tous nuls. Le plus grand élément de Div (a, b) est le PGCD
de a et b. On le note a ∧ b.
Théorème 2 ∀c ∈ N : Div (c, 0) = Div (c)
Théorème 3 a | b ⇒ a ∧ b = a
Démonstration. a | b ⇒ Div (a) ⊂ Div (b) ⇒ Div (a) ∩ Div (b) = Div (a) .
a ∧ b est donc le plus grand élément de Div (a) c’est à dire a.
Théorème 4 a = bq + r ⇒ Div (a, b) = Div (b, r)
Démonstration.
¾
d ∈ Div (a, b)
⇒
r = a − bq
¾
d ∈ Div (b, r)
⇒
a = bq + r
3.2
¾
d ∈ Div (a, b)
⇒ d ∈ Div (b, r) donc Div (a, b) ⊂ Div (b, r)
d|r
¾
d ∈ Div (b, r)
⇒ d ∈ Div (a, b) donc Div (b, r) ⊂ Div (a, b)
d|a
Algorithme d’Euclide
¾
a = bq + r
Si b | a : a ∧ b = b sinon :
⇒ Div (a, b) = Div (b, r)
0≤r<b
¾
b = rq1 + r1
Si r | b : b ∧ r = r sinon :
⇒ Div (b, r) = Div (r, r1 )
0 ≤ r1 < r
¾
r = r1 q2 + r2
Si r1 | r : r ∧ r1 = r1 sinon
⇒ Div (r, r1 ) = Div (r1 , r2 ) .
0 ≤ r2 < r1
La suite (rn ) étant strictement décroissante et positive, on obtient donc de proche en proche :
Div (a, b) = Div (b, r) = Div (r, r1 ) = Div (r1 , r2 ) = · · · = Div (rn−1 , rn ) = Div (rn , 0)
r, r1 , r2 , . . . , rn−1 , rn sont les restes obtenus dans les divisions successives.
Or Div (rn , 0) = Div (rn ) et puisque rn est le plus grand élément de Div (rn ) : rn est le plus grand élément
de Div (a, b) donc rn = a ∧ b.
3.3
Conséquences de l’algorithme d’Euclide
Théorème 5 Lorsque b ne divise pas a : a ∧ b est le dernier reste non nul obtenu par l’algorithme
Théorème 6 Div (a, b) = Div (a ∧ b)
Démonstration. Div (a, b) = Div (rn , 0) = Div (rn ) = Div (a ∧ b) .
4
Nombres premiers entre eux
DéÞnition 4 Deux entiers naturels a et b sont dits premiers entre eux lorsque a ∧ b = 1
Théorème 7 (Bezout) a ∧ b = 1 ⇔ ∃ (u, v) ∈ Z2 : au + bv = 1
Démonstration.
Arithmétique
a∧b|a
1. Si ∃ (u, v) ∈ Z : au + bv = 1. Alors :
a∧b| b
2
¾
3
⇒ a ∧ b | au + bv ⇒ a ∧ b | 1 ⇒ a ∧ b = 1
2. Si a ∧ b = 1, notons d le plus petit élément strictement positif de aZ + bZ. (aZ + bZ contient des
entiers strictement positifs car a ∈ aZ + bZ et b ∈ aZ + bZ).
Puisque d ∈ aZ + bZ, d = au + bv.
Montrons que d | a et d | b. Il en résultera d = 1 et donc 1 ∈ aZ + bZ.
La division euclidienne de a par d donne : a = dq + r avec 0 ≤ r < d
r = a − dq = a − (au + bv) q = a (1 − uq) + b (−vq) ∈ aZ + bZ
d étant le plus petit élément strictement positif de aZ + bZ on ne peut avoir 0 < r < d.
On a donc obligatoirement r = 0. Donc a = dq et d | a. De même : d | b.
5
Caractérisations et propriétés du PGCD

 a = da0
b = db0
Théorème 8 d = a ∧ b ⇔
 0
a ∧ b0 = 1
Démonstration.
1. Supposons que d = a ∧ b.
d ∈ Div (a, b) ⇒ a = da0 et b =¾db0 .
¾
a0 = d0 a00
a = dd0 a00
0
0 0
d ∈ Div (a , b ) ⇒ 0
⇒
⇒ dd0 ∈ Div (a, b)
b = d0 b00
b = dd0 b00
d étant le plus grand élément de Div (a, b) , dd0 ≤ d. Donc d0 = 1 d’où a0 ∧ b0 = 1.
2. Supposons a = da0 , b = db0 et a0 ∧ b0 = 1. On a évidemment d ∈ Div (a, b) .
Bézout ⇒ a0 u + b0 v = 1 ⇒ au + bv = da0 u + db0 v = d (a0 u + b0 v) = d
Soit δ ∈ Div (a, b) . Alors δ | au + bv = d et donc δ ≤ d.
d est donc le plus grand élément de Div (a, b) . Donc d = a ∧ b.
Corollaire 1 d = a ∧ b ⇔
½
d ∈ Div (a, b)
d ∈ aZ + bZ
Démonstration.



½
 a = da0
 a = da0
 a = da0
d ∈ Div (a, b)
0
0
b = db
b = db
b = db0
d=a∧b ⇔
⇔
⇔
⇔
d ∈ aZ + bZ
 0
 0

0
0
a ∧b =1
au+bv =1
au + bv = d
Théorème 9 ∀c ∈ N∗ : (ca) ∧ (cb) = c (a ∧ b)
½
½
d ∈ Div (a, b)
dc ∈ Div (ac, bc)
Démonstration. d = a ∧ b ⇒
⇒
⇒ dc = (ac) ∧ (bc) .
d ∈ aZ + bZ
dc ∈ acZ + bcZ
6
Théorème de Gauss
Théorème 10 (Gauss) Si (a, b, c) ∈ N∗3 :
a | bc
a∧b=1
¾
⇒a|c
Démonstration. au + bv = 1 ⇒ auc + bvc = c.
a | auc de manière évidente et a | bvc par hypothèse. Donc a | auc + bvc = c
Corollaire 2 Si n ∈ N est divisible par a et b premiers entre eux, alors il est divisible par ab.
Démonstration. n = ap et n = bq. Donc ap = bq.
b | ap et a ∧ b = 1 donc b | p (Gauss)
Donc p = bp0 et n = ap = abp0 . Donc ab | n.
DéÞnition 5 La fraction
a
est dite irréductible lorsque a ∧ b = 1.
b
Arithmétique
7
4
PPCM de deux entiers naturels
7.1
Multiples communs de deux entiers naturels
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. L’ensemble des multiples strictement positifs communs à
a et b est une partie non vide de N car elle contient ab ∈ N∗ . Donc cet ensemble possède un plus petit
élément.
DéÞnition 6 Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Le plus petit élément de l’ensemble des
multiples strictement positifs communs à a et b est le PPCM de a et b et se note a ∨ b ou PPCM(a; b)
7.2
Propriétés du PPCM
Théorème 11 Si (a, b) ∈ N∗2 :
Démonstration.

d=a∧b 
a = da0
⇒ a ∨ b = da0 b0
0 
b = db
1. m = da0 b0 est multiple commun à a et b car a = da0 et b = db0 .
2. Si µ est un multiple commun à a et b : µ = ap = bq. Montrons que µ ≥ m
ap = bq ⇒ da0 p = db0 q ⇒ a0 p = b0 q ⇒ a0 | b0 q ⇒ a0 | q (Gauss).
q = ka0 ⇒ µ = bq = bka0 = db0 ka0 = km ≥ m car k ∈ N∗ .
m est donc le plus petit commun multiple de a et b.
Corollaire 3 Tout multiple commun à a et b est multiple de m = a ∨ b
Démonstration. Soit µ un multiple de a et b . . . voir alors la démonstration précédente.
Corollaire 4 (a ∧ b) (a ∨ b) = ab
Démonstration. ab = da0 db0 = d (da0 b0 ) = d (a ∨ b) = (a ∧ b) (a ∨ b) .
Corollaire 5 a ∧ b = 1 ⇔ a ∨ b = ab
Proposition 1 ∀c ∈ N∗ : (ca) ∨ (cb) = c (a ∨ b)
Démonstration. (ca ∧ cb) (ca ∨ cb) = c (a ∧ b) (ca ∨ cb) d’après le théorème 9
(ca ∧ cb) (ca ∨ cb) = c2 ab d’après le corollaire 4
D’où c (a ∧ b) (ca ∨ cb) = c2 ab.
De plus (a ∧ b) (a ∨ b) = ab. d’après le corollaire 4
D’où c (a ∧ b) (ca ∨ cb) = c2 (a ∧ b) (a ∨ b) puis le résultat après simpliÞcation.

 m = αa
m = βb
Proposition 2 m = a ∨ b ⇔

α∧β =1
Démonstration.
1. Si m = a ∨ b il existe α et β entiers tels que m = αa = βb
En posant d = a ∧ b, on a a = da0 et b = db0 avec a0 ∧ b0 = 1.
md = ab ⇒ αad = adb0 ⇒ α = b0
md = ab ⇒ βbd = da0 b ⇒ β = a0
Donc α ∧ β = b0 ∧ a0 = 1
2. Supposons m = αa = βb avec α ∧ β = 1
m est un multiple de a ∨ b d’après le corollaire 3
d = a ∧ b et a = da0 et b = db0
Donc m = k (a ∨ b) = kda0 b0 en posant
¾
0 0
0
0
αa = kda b = kab ⇒ α = kb
⇒ α ∧ β = (kb0 ) ∧ (ka0 ) = k (a0 ∧ b0 ) = k
βb = kda0 b0 = ka0 b ⇒ β = ka0
Comme α ∧ β = 1 on en déduit m = a ∨ b.
Arithmétique
8
5
Nombres premiers
DéÞnition 7 Un nombre premier est un nombre entier strictement supérieur à 1 et qui admet exactement
deux diviseurs : 1 et lui même.
Remarque 2 Un entier non premier admet au moins un diviseur autre que 1 et que lui même. Un tel
diviseur est appelé diviseur strict.
Théorème 12 Tout entier n tel que n ≥ 2 admet un diviseur premier.
Démonstration. Si n est premier, le diviseur est alors n.
Si n n’est pas premier, n admet au moins un diviseur strict.
L’ensemble des diviseurs stricts de n est donc non vide et minoré par 1.
Soit p le plus petit diviseur strict de n.
Si p n’est pas premier, alors p admet un diviseur strict d. On a donc d < p < n
Mais alors d | p et p | n donc d | n. Contradiction avec le fait que p soit le plus petit des diviseurs stricts
de n. Donc p est premier.
Théorème 13 Tout entier n supérieur ou égal à 2 est premier ou produit de nombres premiers.
Démonstration. Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier p1 d’après le théorème précédent..
On a alors n = p1 q. et q < n car p1 > 1.
Si q est premier alors n est produit de nombres premiers.
Si q n’est pas premier, q = q1 q2 avec q1 premier et 1 < q2 < q. D’où n = p1 q1 q2 .
Si q2 est premier alors n est produit de nombres premiers.
Si q2 n’est pas premier, on recommence.
Les quotients successifs forment une suite strictement décroissante de nombres entiers strictement positifs.
Le procédé va donc se terminer après un nombre Þni de divisions pour amener au résultat.
Théorème 14 Tout nombre entier se décompose de façon unique, comme produit de nombres premiers
Théorème 15 L’ensemble des nombres premiers est inÞni.
Démonstration. Supposons que l’ensemble des nombres premiers est Þni.
Soit alors p le plus grand nombre premier.
Q
Posons N = (2 × 3 × 5 × 7 × · · · × p) + 1 où 2 × 3 × 5 × 7 × · · · × p est le produit
de tous les nombres
premiers.
N admet un diviseur premier q car N ≥ 2.
Q
Aucun des nombres premiers formant le produit
n’est un diviseur de N car le reste de la division de
N par n’importe lequel de ces nombres est 1 d’après la déÞnition de N. Donc q > p. Contradiction.
Théorème 16 Si p est premier et si n est un entier naturel non divisible par p : p ∧ n = 1
Démonstration. Soit d un diviseur commun à p et n.
d | p ⇒ d = 1 ou d = p. On ne peut avoir d = p car alors p | n. Donc d = 1.
Théorème 17 Si a et b sont deux entiers naturels et si p est premier : p | ab ⇒ p | a ou p | b
Démonstration. Si p | a le résultat est évident.
Si p ne divise pas a alors p ∧ a = 1 (théorème vu précédemment).
Mais alors p | b (théorème de Gauss)
Corollaire 6 Si a, b et p sont premiers : p | ab ⇒ p = a ou p = b.
Démonstration. p | a ou p | b d’après le théorème précédent.
Or a et b sont premiers et p 6= 1. Donc p = a ou p = b
αr
1 α2
Théorème 18 Soit n un entier non premier de décomposition n = pα
1 p2 . . . pr .
β1 β2
βr
Les diviseurs de n sont les nombres p1 p2 . . . pr avec 0 ≤ βk ≤ αk .
Arithmétique
6
β
r+1
Démonstration. Si d | n et d > 1, on a d = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβr r pr+1
. . . pβs s où les pk sont premiers distincts
et les βk entiers éventuellement nuls.
γr+1
γs+1
γt+1
n = dk et k = pγ11 pγ22 . . . pγr r pr+1
. . . pγs s ps+1
. . . pt+1
où les γk ≥ 0.
β
γr+1
γs+1
γt+1
β1 β2
γ
γ
r+1
. . . pγs s ps+1
. . . pt+1
D’où n = p1 p2 . . . pβr r pr+1 . . . pβs s p11 p22 . . . pγr r pr+1
βr+1 +γr+1
γs+1
γt+1
= pβ1 1 +γ1 pβ2 2 +γ2 . . . pβr r +γr pr+1
. . . pβs s +γs ps+1
. . . pt+1
L’unicité de la décomposition en facteurs premiers implique
βr+1 + γr+1 = · · · = βs + γs = γs+1 = · · · γt+1 = 0.
Donc βr+1 = · · · = βs = 0 car les exposants sont tous positifs ou nuls. Donc d = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβr r .
De plus βk + γk = αk toujours à cause de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Donc 0 ≤ βk ≤ αk
Corollaire 7 Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
1. a ∧ b est le produit des facteurs premiers communs à a et à b, chacun étant affecté de son plus petit
exposant.
2. a ∨ b est le produit des facteurs premiers Þgurant dans les décompositions de a ou de b, chacun
d’eux étant affecté de son plus grand exposant.