Arithmétique

Arithmétique
1 Divisibilité dans Z
1.1 Multiples d’un entier relatif
DéÞnition 1 Soit n∈Z.m∈Zest un multiple de ns’il existe k∈Ztel que m=kn.
On note nZl’ensemble des multiples de n.
DéÞnition 2 Soit n∈Z.d∈Z∗est un diviseur de ns’il existe q∈Ztel que n=qd.
On note alors d|n. On note Div (n)l’ensemble des diviseurs de n.
mmultiple de n⇔ndiviseur de m
m∈nZ⇔n∈Div (m)
Remarque 1 Div (0) = Z
Notation : On note Div (a, b)=Div(a)∩Div (b)l’ensemble des diviseurs communs à aet à b.
1.2 Propriétés de la divisibilité
1. d|n⇔−d|n
2. ½d|n
n6=0 ⇒|d|≤|n|.Donc tout entier non nul admet un nombre Þni de diviseurs.
Si det nsont des entiers naturels, d|n⇒d≤n.
3. ½d|n
n|d⇒n=dou n=−d
4. ½a|b
b|c⇒a|c
5. a∈Div (b, c)⇒a|bx +cy pour tout (x, y)∈Z2.En particulier, a|b+cet a|b−c
6. d|n⇒∀c∈Z∗:dc |nc.
2 Division euclidienne dans N
Théorème 1 Soit a∈Net b∈N∗.∃!(q, r)∈N2tel que
a=bq +ravec 0≤r<b
Démonstration. b>0donc les multiples positifs de bforment une suite strictement croissante.
Ecrivons les multiples de bde 0jusqu’à (a+1)b.
|| | | | |
0b2b········· qb (q+1)b········· (a+1)b
(a+1)b=ab +b>ab≥a(car b≥1).Donc aest nécessairement, soit l’un des multiples écrits, soit
compris entre deux multiples consécutifs, c’est à dire qu’il existe qunique tel que a∈[qb;(q+1)b[.
Soit r=a−bq (rest donc unique). bq ≤a<b(q+1)⇒0≤r<b
Donc a=bq +ravec 0≤r<b

Arithmétique 2
3 PGCD de deux entiers naturels
3.1 Diviseurs communs à deux entiers naturels
Soient aet bdeux entiers naturels non tous les deux nuls.
Div (a, b)=Div(a)∩Div (b)est une partie de Znon vide (elle contient 1) et ses éléments sont tous
inférieurs ou égaux à aet à b. Donc Div (a, b)possède un plus grand élément.
DéÞnition 3 Soient aet bdeux entiers non tous nuls. Le plus grand élément de Div (a, b)est le PGCD
de aet b. On le note a∧b.
Théorème 2 ∀c∈N:Div (c, 0) = Div (c)
Théorème 3 a|b⇒a∧b=a
Démonstration. a|b⇒Div (a)⊂Div (b)⇒Div (a)∩Div (b)=Div(a).
a∧best donc le plus grand élément de Div (a)c’est à dire a.
Théorème 4 a=bq +r⇒Div (a, b)=Div(b, r)
Démonstration.
d∈Div (a, b)
r=a−bq ¾⇒d∈Div (a, b) d|r¾⇒d∈Div (b, r)donc Div (a, b)⊂Div (b, r)
d∈Div (b, r)
a=bq +r¾⇒d∈Div (b, r) d|a¾⇒d∈Div (a, b)donc Div (b, r)⊂Div (a, b)
3.2 Algorithme d’Euclide
Si b|a:a∧b=bsinon : a=bq +r
0≤r<b ¾⇒Div (a, b)=Div(b, r)
Si r|b:b∧r=rsinon : b=rq1+r1
0≤r1<r ¾⇒Div (b, r)=Div(r, r1)
Si r1|r:r∧r1=r1sinon r=r1q2+r2
0≤r2<r
1¾⇒Div (r, r1)=Div(r1,r
2).
La suite (rn)étant strictement décroissante et positive, on obtient donc de proche en proche :
Div (a, b)=Div(b, r)=Div(r, r1)=Div(r1,r
2)=···=Div(rn−1,r n)=Div(rn,0)
r, r1,r
2,...,r n−1,r nsont les restes obtenus dans les divisions successives.
Or Div (rn,0) = Div (rn)et puisque rnest le plus grand élément de Div (rn):rnest le plus grand élément
de Div (a, b)donc rn=a∧b.
3.3 Conséquences de l’algorithme d’Euclide
Théorème 5 Lorsque bne divise pas a:a∧best le dernier reste non nul obtenu par l’algorithme
Théorème 6 Div (a, b)=Div(a∧b)
Démonstration. Div (a, b)=Div(rn,0) = Div (rn)=Div(a∧b).
4 Nombres premiers entre eux
DéÞnition 4 Deux entiers naturels aet bsont dits premiers entre eux lorsque a∧b=1
Théorème 7 (Bezout) a∧b=1⇔∃(u, v)∈Z2:au +bv =1
Démonstration.

Arithmétique 3
1. Si ∃(u, v)∈Z2:au +bv =1.Alors : a∧b|a
a∧b|b¾⇒a∧b|au +bv ⇒a∧b|1⇒a∧b=1
2. Si a∧b=1,notons dle plus petit élément strictement positif de aZ+bZ.(aZ+bZcontient des
entiers strictement positifs car a∈aZ+bZet b∈aZ+bZ).
Puisque d∈aZ+bZ,d=au +bv.
Montrons que d|aet d|b. Il en résultera d=1et donc 1∈aZ+bZ.
La division euclidienne de apar ddonne : a=dq +ravec 0≤r<d
r=a−dq =a−(au +bv)q=a(1 −uq)+b(−vq)∈aZ+bZ
détant le plus petit élément strictement positif de aZ+bZon ne peut avoir 0<r<d.
On a donc obligatoirement r=0.Donc a=dq et d|a. De même : d|b.
5 Caractérisations et propriétés du PGCD
Théorème 8 d=a∧b⇔
a=da0
b=db0
a0∧b0=1
Démonstration.
1. Supposons que d=a∧b.
d∈Div (a, b)⇒a=da0et b=db0.
d0∈Div (a0,b
0)⇒a0=d0a00
b0=d0b00 ¾⇒a=dd0a00 b=dd0b00 ¾⇒dd0∈Div (a, b)
détant le plus grand élément de Div (a, b),dd
0≤d. Donc d0=1d’où a0∧b0=1.
2. Supposons a=da0,b=db0et a0∧b0=1.On a évidemment d∈Div (a, b).
Bézout ⇒a0u+b0v=1⇒au +bv =da0u+db0v=d(a0u+b0v)=d
Soit δ∈Div (a, b).Alors δ|au +bv =det donc δ≤d.
dest donc le plus grand élément de Div (a, b).Donc d=a∧b.
Corollaire 1 d=a∧b⇔½d∈Div (a, b)
d∈aZ+bZ
Démonstration.
d=a∧b⇔
a=da0
b=db0
a0∧b0=1
⇔
a=da0
b=db0
a0u+b0v=1
⇔
a=da0
b=db0
au +bv =d
⇔½d∈Div (a, b)
d∈aZ+bZ
Théorème 9 ∀c∈N∗: (ca)∧(cb)=c(a∧b)
Démonstration. d=a∧b⇒½d∈Div (a, b)
d∈aZ+bZ⇒½dc ∈Div (ac, bc) dc ∈acZ+bcZ⇒dc =(ac)∧(bc).
6ThéorèmedeGauss
Théorème 10 (Gauss) Si (a, b, c)∈N∗3:a|bc
a∧b=1 ¾⇒a|c
Démonstration. au +bv =1⇒auc +bvc =c.
a|auc de manière évidente et a|bvc par hypothèse. Donc a|auc +bvc =c
Corollaire 2 Si n∈Nest divisible par aet bpremiers entre eux, alors il est divisible par ab.
Démonstration. n=ap et n=bq. Donc ap =bq.
b|ap et a∧b=1donc b|p(Gauss)
Donc p=bp0et n=ap =abp0.Donc ab |n.
DéÞnition 5 La fraction a
best dite irréductible lorsque a∧b=1.

Arithmétique 4
7 PPCM de deux entiers naturels
7.1 Multiples communs de deux entiers naturels
Soient aet bdeux entiers naturels non nuls. L’ensemble des multiples strictement positifs communs à
aet best une partie non vide de Ncar elle contient ab ∈N∗.Donc cet ensemble possède un plus petit
élément.
DéÞnition 6 Soient aet bdeux entiers naturels non nuls. Le plus petit élément de l’ensemble des
multiples strictement positifs communs à aet best le PPCM de aet bet se note a∨bou PPCM(a;b)
7.2 Propriétés du PPCM
Théorème 11 Si (a, b)∈N∗2:
d=a∧b
a=da0
b=db0
⇒a∨b=da0b0
Démonstration.
1. m=da0b0est multiple commun à aet bcar a=da0et b=db0.
2. Si µest un multiple commun à aet b:µ=ap =bq. Montrons que µ≥m
ap =bq ⇒da0p=db0q⇒a0p=b0q⇒a0|b0q⇒a0|q(Gauss).
q=ka0⇒µ=bq =bka0=db0ka0=km ≥mcar k∈N∗.
mest donc le plus petit commun multiple de aet b.
Corollaire 3 Tout multiple commun à aet best multiple de m=a∨b
Démonstration. Soit µun multiple de aet b...voir alors la démonstration précédente.
Corollaire 4 (a∧b)(a∨b)=ab
Démonstration. ab =da0db0=d(da0b0)=d(a∨b)=(a∧b)(a∨b).
Corollaire 5 a∧b=1⇔a∨b=ab
Proposition 1 ∀c∈N∗: (ca)∨(cb)=c(a∨b)
Démonstration. (ca ∧cb)(ca ∨cb)=c(a∧b)(ca ∨cb)d’après le théorème 9
(ca ∧cb)(ca ∨cb)=c2ab d’après le corollaire 4
D’où c(a∧b)(ca ∨cb)=c2ab.
De plus (a∧b)(a∨b)=ab. d’après le corollaire 4
D’où c(a∧b)(ca ∨cb)=c2(a∧b)(a∨b)puis le résultat après simpliÞcation.
Proposition 2 m=a∨b⇔
m=αa
m=βb
α∧β=1
Démonstration.
1. Si m=a∨bil existe αet βentiers tels que m=αa=βb
En posant d=a∧b, on a a=da0et b=db0avec a0∧b0=1.
md =ab ⇒αad =adb0⇒α=b0
md =ab ⇒βbd =da0b⇒β=a0
Donc α∧β=b0∧a0=1
2. Supposons m=αa=βbavec α∧β=1
mest un multiple de a∨bd’après le corollaire 3
Donc m=k(a∨b)=kda0b0en posant d=a∧bet a=da0et b=db0
αa=kda0b0=kab0⇒α=kb0
βb=kda0b0=ka0b⇒β=ka0¾⇒α∧β=(kb0)∧(ka0)=k(a0∧b0)=k
Comme α∧β=1on en déduit m=a∨b.

Arithmétique 5
8 Nombres premiers
DéÞnition 7 Un nombre premier est un nombre entier strictement supérieur à 1et qui admet exactement
deux diviseurs : 1et lui même.
Remarque 2 Un entier non premier admet au moins un diviseur autre que 1 et que lui même. Un tel
diviseur est appelé diviseur strict.
Théorème 12 Tout entier ntel que n≥2admet un diviseur premier.
Démonstration. Si nest premier, le diviseur est alors n.
Si nn’est pas premier, nadmet au moins un diviseur strict.
L’ensemble des diviseurs stricts de nest donc non vide et minoré par 1.
Soit ple plus petit diviseur strict de n.
Si pn’est pas premier, alors padmet un diviseur strict d. On a donc d<p<n
Mais alors d|pet p|ndonc d|n. Contradiction avec le fait que psoit le plus petit des diviseurs stricts
de n.Doncpest premier.
Théorème 13 Tout entier nsupérieur ou égal à 2est premier ou produit de nombres premiers.
Démonstration. Si nn’est pas premier, il admet un diviseur premier p1d’après le théorème précédent..
On a alors n=p1q. et q<ncar p1>1.
Si qest premier alors nest produit de nombres premiers.
Si qn’est pas premier, q=q1q2avec q1premier et 1<q
2<q.D’où n=p1q1q2.
Si q2est premier alors nest produit de nombres premiers.
Si q2n’est pas premier, on recommence.
Les quotients successifs forment une suite strictement décroissante de nombres entiers strictement positifs.
Le procédé va donc se terminer après un nombre Þni de divisions pour amener au résultat.
Théorème 14 Tout nombre entier se décompose de façon unique, comme produit de nombres premiers
Théorème 15 L’ensemble des nombres premiers est inÞni.
Démonstration. Supposons que l’ensemble des nombres premiers est Þni.
Soit alors ple plus grand nombre premier.
Posons N=(2×3×5×7×···×p)+1 où 2×3×5×7×···×pest le produit Qde tous les nombres
premiers.
Nadmet un diviseur premier qcar N≥2.
Aucun des nombres premiers formant le produit Qn’est un diviseur de Ncar le reste de la division de
Npar n’importe lequel de ces nombres est 1d’après la déÞnition de N. Donc q>p.Contradiction.
Théorème 16 Si pest premier et si nest un entier naturel non divisible par p:p∧n=1
Démonstration. Soit dun diviseur commun à pet n.
d|p⇒d=1ou d=p. On ne peut avoir d=pcar alors p|n. Donc d=1.
Théorème 17 Si aet bsont deux entiers naturels et si pest premier : p|ab ⇒p|aou p|b
Démonstration. Si p|ale résultat est évident.
Si pne divise pas aalors p∧a=1(théorème vu précédemment).
Mais alors p|b(théorèmedeGauss)
Corollaire 6 Si a, b et psont premiers : p|ab ⇒p=aou p=b.
Démonstration. p|aou p|bd’après le théorème précédent.
Or aet bsont premiers et p6=1.Donc p=aou p=b
Théorème 18 Soit nun entier non premier de décomposition n=pα1
1pα2 2...p
αr
r.
Les diviseurs de nsont les nombres pβ1
1pβ2 2...p
βr
ravec 0≤βk≤αk.