l`indispensable mathématique pour les études en physique
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L’INDISPENSABLE MATHÉMATIQUE POUR LES ÉTUDES EN PHYSIQUE Collection « Cours et Manuels » Harmattan Cameroun Sous la direction de Roger MONDOUE et Eric Richard NYITOUEK AMVENE La plupart des élèves et étudiants africains achèvent leur cycle d’apprentissage sans avoir accès directement aux sources des savoirs reçus. Les cours et/ou manuels de leurs enseignants sont alors les seuls ou rares outils pédagogiques disponibles. Il devient donc urgent de publier et diffuser ces cours et manuels, afin d’assurer l’accès du plus grand nombre d’apprenants à une éducation de qualité. La collection Cours et Manuels est ouverte aux enseignants de toutes les disciplines de l’enseignement maternel, primaire, secondaire et universitaire, dont le souci majeur est de relever le niveau d’éducation et de promouvoir le développement tant escompté sur le sol africain. Déjà parus François FOTSO, De la pédagogie par objectifs à la pédagogie des compétences, 2011. Joseph TANGA ONANA, Dissertation et commentaire en histoire, 2010. Oscar ASSOUMOU MENYE, Mathématiques financières, outils et applications, 2010. Emire MAGA MONDESIR Eliézer MANGUELLE DICOUM Gilbert MBIANDA L’INDISPENSABLE MATHÉMATIQUE POUR LES ÉTUDES EN PHYSIQUE Premier cycle universitaire De l’angle au champ © L’Harmattan, 2011 5-7, rue de l’Ecole-Polytechnique, 75005 Paris http://www.librairieharmattan.com [email protected] [email protected] ISBN : 978-2-296-54613-4 EAN : 9782296546134 Table des matières AVANT PROPOS I xiii GEOMETRIE ET TRIGONOMETRIE 1 FORMES GEOMETRIQUES COURANTES 1 3 1.1 AIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 VOLUMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 GEOMETRIE ELEMENTAIRE 2.1 2.2 2.3 5 L’ANGLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 UNITES D’ANGLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3 PROPRIETES CARACTERISTIQUES . . . . . . . . . . . 8 LE TRIANGLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE . . . . . . 11 2.2.3 PROPRIETES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 TRIANGLES PARTICULIERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 TRIGONOMETRIE ELEMENTAIRE 17 3.1 ANGLE ORIENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 CERCLE TRIGONOMETRIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 APPLICATION AU TRIANGLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.1 TRIANGLE QUELCONQUE 19 3.3.2 TRIANGLE RECTANGLE,( Fig. 4),(illustration 5 page 168) 19 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . FORMULES TRIGONOMETRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . v 21 TABLE DES MATIÈRES vi II CALCUL VECTORIEL ET MATRICIEL 23 1 VECTEURS 1.1 1.2 25 ORIENTATION DANS L’ESPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1.2 REPERAGE SUR UNE DROITE . . . . . . . . . . . . . . 26 1.1.3 REPERAGE DANS LE PLAN . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.1.4 REPERAGE DANS L’ESPACE . . . . . . . . . . . . . . . 27 VECTEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.1 DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.2 ESPACE VECTORIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.3 OPERATIONS SUR LES VECTEURS . . . . . . . . . . . 30 2 APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES 2.1 2.2 2.3 2.4 37 RAPPEL DES PROPRIETES FONDAMENTALES DES APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 EXEMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE DANS E 38 2.2.1 DEFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 EXEMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 OPERATION SUR LES MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 EGALITE DE DEUX MATRICES . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 MATRICE NULLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 MATRICE OPPOSEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.4 ADDITION DE DEUX MATRICES DE MEME DIMENSION 43 2.3.5 PRODUIT DE DEUX MATRICES (n, p) et (n , p ) . . . . 43 2.3.6 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE . . . . . . . . . 43 2.3.7 MATRICE TRANSPOSEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.8 INVERSE D’UNE MATRICE CARREE . . . . . . . . . . . 44 2.3.9 VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES . . . . 44 CHANGEMENT DE BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 DERIVATION VECTORIELLE 49 3.1 DERIVEES ORDINAIRES DE VECTEURS . . . . . . . . . . . . 49 3.2 COURBES DANS UN ESPACE A TROIS DIMENSIONS . . . . . 50 TABLE DES MATIÈRES vii 3.3 FORMULES DE DERIVATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 DERIVEES PARTIELLES DE VECTEURS . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 DIFFERENTIELLE DE VECTEURS . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 NOTION DE CHAMP 53 4.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.1 LE CHAMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.2 LIGNE DE CHAMP, TUBE DE CHAMP . . . . . . . . . . 54 4.2.3 TUBE DE CHAMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 OPERATEURS DE CHAMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3.1 CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS . . . . . 55 4.3.2 FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS . . . . . . . . . . . 56 4.3.3 OPERATEUR DIFFERENTIEL ET VECTORIEL NABLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∇ 56 4.3 5 COORDONNEES CURVILIGNES ORTHOGONALES 63 5.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 ELEMENTS D’ARC ET DE VOLUME . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 EXPRESSION DES OPERATEURS DE CHAMP . . . . . . . . . . . 65 5.4 SYSTEMES DE COORDONNEES III CURVILIGNES PARTICULIERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4.1 COORDONNEES CYLINDRIQUES . . . . . . . . . . . . . 66 5.4.2 COORDONNEES SPHERIQUES . . . . . . . . . . . . . . 67 FONCTIONS ET INTEGRATION 1 FONCTIONS USUELLES 1.1 1.2 69 71 DERIVATION (illustration 24, page 185) . . . . . . . . . . . . . . 71 1.1.1 DEFINITION DE LA DERIVEE EN UN POINT . . . . . 71 1.1.2 INTERPRETATION GEOMETRIQUE . . . . . . . . . . . 71 1.1.3 FONCTION DERIVEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 UTILISATION DES DERIVEES DANS L’ETUDE DES FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.2.1 DERIVEE PREMIERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.2.2 DERIVEE SECONDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 TABLE DES MATIÈRES viii 1.3 1.4 REGLES GENERALES D’ETUDE DE FONCTIONS . . . . . . . 75 1.3.1 DOMAINE DE DEFINTION : . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.3.2 PARITE - PERIODICITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.3.3 ASYMPTOTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 FONCTIONS USUELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 LES CONIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.4.2 FONCTIONS AFFINES 1.4.3 LA FONCTION EXPONENTIELLE . . . . . . . . . . . . 88 1.4.4 FONCTIONS HYPERBOLIQUES (chx, shx, thx) . . . . . 89 1.4.5 FONCTION LOGARITHME . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.4.6 FONCTIONS SINUSOIDALES . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.4.7 FONCTION TANGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.4.8 INVERSES DES FONCTIONS SINUSOIDALES ET HYPERBOLIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.9 94 ECRITURE COMPLEXE DES FONCTIONS SINUSOIDALES (illustration 33, page 193) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 DIFFÉRENTIELLES 97 2.1 DIFFÉRENTIELLE D’UNE VARIABLE . . . . . . . . . . . . . . 2.2 DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION (illustration , page 25,186 ; 27 page 188) 95 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.2.1 ASSIMILATION DE Δy A dy . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.2.2 REGLES DE CALCUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.3 DIFFERENTIELLES D’ORDRE SUPERIEUR . . . . . . . . . . . 99 2.4 DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION DE PLUSIEURS VA- 2.5 RIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.4.1 DERIVEES PARTIELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.4.2 DERIVEE PARTIELLE SECONDE . . . . . . . . . . . . . 99 2.4.3 DIFFERENTIELLE DE LA FONCTION h = f (x, y, z) . . 100 2.4.4 FONCTIONS IMPLICITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.4.5 FONCTIONS PARAMETRIQUES (illustration 24, page 185)101 APPLICATION AU CALCUL D’ERREUR . . . . . . . . . . . . . 101 2.5.1 ERREUR ABSOLUE, INCERTITUDE ABSOLUE . . . . . 102 2.5.2 INCERTITUDE RELATIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.5.3 REGLES DE CALCUL DES ERREURS . . . . . . . . . . 102 TABLE DES MATIÈRES ix 3 DEVELOPPEMENT EN SERIE 105 3.1 THEOREME DE ROLLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2 THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS 3.3 FORMULE DE TAYLOR-MACLAURIN . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3.1 . . . . . . . . . . 106 DEVELOPPEMENTS LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . 108 4 INTEGRATION 4.1 INTEGRALES DE FONCTIONS D’UNE VARIABLE 109 . . . . . . 109 4.1.1 PRIMITIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.1.2 INTEGRALE DEFINIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1.3 INTERPRETATIONS GEOMETRIQUES . . . . . . . . . . 110 4.1.4 EXEMPLES DE PRIMITIVES DE FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE A UNE CONSTANTE PRES . . . . 112 4.1.5 METHODES DE CALCUL D’INTEGRALES . . . . . . . . 112 4.1.6 THEOREME DE LA MOYENNE (illustration 33, page 193) 114 DERIVATION SOUS LE SIGNE . . . . . . . . . . . . . . 115 4.1.7 4.2 INTEGRALES MULTIPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2.1 INTEGRALES DOUBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2.2 DENSITE DE DISTRIBUTION - INTEGRALE DE SURFACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.3 INTEGRALE TRIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2.4 INTEGRALE CURVILIGNE (illustration 19, page 180 ; 29, page 189) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2.5 4.3 FORMULE DE GREEN-RIEMANN . . . . . . . . . . . . . 118 LONGUEURS - AIRES - VOLUMES . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.1 CALCUL DE LONGUEUR D’ARC DE COURBE . . . . . 119 4.3.2 CALCUL D’AIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3.3 CALCUL DE VOLUMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 5.1 5.2 127 GENERALITES ET DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.1.1 SOLUTION GENERALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.1.2 DIFFERENTS TYPES D’EQUATIONS . . . . . . . . . . . 128 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE . . . 128 5.2.1 EQUATIONS DONT LE PREMIER MEMBRE EST UNE DIFFERENTIELLE TOTALE . . . . . . . . . . . . . . . . 128 TABLE DES MATIÈRES x 5.2.2 EQUATIONS DU 1er ORDRE A VARIABLES SEPARABLES129 5.2.3 EQUATIONS HOMOGENES DE PREMIER ORDRE . . . 129 5.2.4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE (illustration 36, page 195) . . . . . . . . . . 131 5.2.5 5.3 EQUATION DE BERNOUILLI . . . . . . . . . . . . . . . . 132 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3.1 EQUATION SE RAMENANT AU PREMIER ORDRE (illustration 37, page 196) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3.2 5.4 EQUATIONS LINEAIRES DU SECOND ORDRE . . . . . 134 SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES DU PREMIER ORDRE 140 5.4.1 CAS GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4.2 SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES DU PREMIER ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS . . . . . . . . . . . . . . 141 5.5 EQUATIONS DIFFERENTIELLES D’ORDRE QUELCONQUE . 143 5.5.1 REDUCTION DE L’ORDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.5.2 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES D’ORDRE n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.5.3 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ASM A COEFFICIENTS CONSTANTS . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.5.4 5.6 CALCUL OPÉRATIONNEL . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES 5.6.1 . . . . . . . . . . . 151 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.6.2 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU SECOND ORDRE LINEAIRES (A DEUX VARIABLES) . . . . . . . 155 5.6.3 EXEMPLE DE RESOLUTION POUR L’EQUATION DES ONDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.6.4 EXEMPLE DE RESOLUTION POUR L’EQUATION DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 IV ILLUSTRATIONS Illustrations 163 165 TABLE DES MATIÈRES V xi ANNEXE 203 ANNEXE A 205 A POUR RAISON DE SYMETRIE 205 A.1 LOIS DE SYMETRIE DE CURIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 A.2 PRINCIPE D’INVARIANCE DES LOIS PAR TRANSFORMATION DE SYMETRIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 A.3 EXEMPLE D’UTILISATION PRATIQUE DES SYMETRIES . . 206 A.3.1 CHAMP ELECTRIQUE CREE EN UN POINT M PAR UNE DISTRIBUTION VOLUMIQUE DE CHARGES (fig.1) 206 A.3.2 CENTRE D’INERTIE - MATRICE D’INERTIE D’UN CONE DROIT HOMOGENE D’AXE OZ, DE HAUTEUR H, DE SOMMET O (fig. 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 B DIMENSIONS-HOMOGENEITE 211 ANNEXE B 211 B.1 MESURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 B.2 SYSTEMES D’UNITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 B.3 SYSTEME INTERNATIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 B.4 DIMENSIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 B.5 HOMOGENEITE INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 215 AVANT PROPOS Nous sommes enseignants à la faculté des Sciences de l’Université de Yaoundé I au Cameroun. En analysant les causes d’échec des étudiants dans les premières années de Physique, nous avons constaté qu’ils manquaient de bagage mathématique ; Aussi avons-nous pensé à un ouvrage couvrant la grande partie des notions intervenant dans les cours de physique et qui ne sont pas toujours revues dans les cours de Mathématiques. Nous avons mis de nombreux exemples de calcul dans les chapitres et des illustrations propres à la physique à la fin. Bien qu’il existe des méthodes plus modernes de traitement des sujets, nous avons pensé que nos étudiants ne disposent pas encore de ces outils et qu’ils doivent s’approprier toutes les méthodes même les plus empiriques afin de mieux saisir l’universalité de la Science. Ils pourront consulter avec bonheur d’autres ouvrages pour la physique comportant de nombreux exercices à l’instar de Michel Hulin et Marie Françoise Quentin dans la collection U. Nous n’avons pas évoqué les aspects probabilistes car ils font déjà l’objet d’une abondante documentation et ils interviennent essentiellement au niveau supérieur en physique quantique et statistique. En fin nous souhaitons que nos jeunes étudiants soient convaincus que les idéalités mathématiques contribuent à décrire la réalité physique et espérons que le présent condensé va susciter chez eux davantage de motivation. . Les auteurs . Première partie GEOMETRIE ET TRIGONOMETRIE 1 Chapitre 1 FORMES GEOMETRIQUES COURANTES 1.1 AIRES 3 4 1.2 CHAPITRE 1. FORMES GEOMETRIQUES COURANTES VOLUMES Chapitre 2 GEOMETRIE ELEMENTAIRE 2.1 2.1.1 L’ANGLE DEFINITIONS ANGLE PLAN : Figure formée par deux demi-droites appelées côtés, qui se coupent en un point appelé sommet (fig. 1) c’est un paramètre de position indispensable en physique. se lit angle xOy xOy y ) O x Figure 1 ANGLES EGAUX : deux angles sont égaux s’ils sont superposables. Bissectrice : demi-droite oz issue du sommet et partage l’angle en deux angles égaux (fig. 2). 5 CHAPITRE 2. GEOMETRIE ELEMENTAIRE 6 y z ) k O x Figure 2 x oz = z oy (2.1.1) ANGLES PARTICULIERS ANGLE PLAT : c’est l’angle formé par deux demi-droites qui sont dans le prolongement l’une de l’autre (fig. 3). z y p O x Figure 3 ANGLE DROIT : la bissectrice oz d’un angle plat le partage en deux angles droits. On dit que oz est perpendiculaire à ox (ou â oy) ANGLE AIGU angle inférieur à un angle droit. ANGLE OBTUS : angle supérieur à un angle droit. 2.1.2 UNITES D’ANGLE LE DEGRE : l’angle plan se mesure généralement en degrés (symbole ◦ ) et peut être tracé sur papier à l’aide d’un rapporteur. Ses sous-unités sont : – la minute (’) ; 1◦ = 60’ – la seconde (") ; 1’ = 60"
