Critères de divisibilité

© Julien FONTENIAUD
Connaissances
Capacités
Commentaires
2.2 Opérations
Division.
- Diviser un nombre par 10, 100, 1000.
La maîtrise des tables est consolidée par une
pratique régulière du calcul mental sur des entiers et
des décimaux simples.
La division décimale est limitée à la division d’un
décimal par un entier. En calcul posé, le dividende
comporte au maximum deux chiffres après la
virgule.
Multiples et diviseurs.
- Connaître et utiliser les critères de divisibilité par
2, 5 et 10.
- Connaître et utiliser les critères de divisibilité par
3, 4 et 9.
La notion de multiple, introduite à l'école primaire,
est rappelée sur des exemples numériques, en même
temps qu'est introduite celle de diviseur. Les
différentes significations de ce dernier terme doivent
être explicitées.
Sens des opérations.
- Choisir les opérations qui conviennent au
traitement de la situation étudiée.
Pour les problèmes à étapes, la solution peut être
donnée à l’aide d’une suite de calculs,
*ou à l’aide de calculs avec parenthèses.
Techniques élémentaires de
calcul.
2.1 Nombres entiers et
décimaux
- Savoir effectuer ces opérations sous les diverses
formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté.
- Connaître la signification du vocabulaire associé :
dividende, diviseur, quotient, reste.
La capacité à calculer mentalement est une
priorité et fait l’objet d’activités régulières.
La maîtrise des différents moyens de calcul doit
devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la
résolution de problèmes.
Concernant le calcul posé, les nombres doivent
rester de taille raisonnable et aucune virtuosité
technique n’est recherchée.
*Valeur approchée
décimale.
* Donner une valeur approchée décimale (par excès
ou par défaut) d’un décimal à l’unité, au dixième, au
centième près.
La Division
Activité : Les dictionnaires
I. Division euclidienne – Rappels et compléments
 Définition : Effectuer la division euclidienne de deux nombres entiers, c’est trouver
deux nombres entiers, le quotient et le reste qui vérifient l’égalité :
dividende = (diviseur) × quotient + reste
Le reste est inférieur au diviseur.
 Exemple :
4589 = ( 87 × 52 ) + 65
On vérifie que 65 <52
S1
9
8
5
4
7
8
2
5
5
3
4
-
9
3
2
4
7
1
-
5
6
Dividende
Diviseur
Quotient
Reste

© Julien FONTENIAUD
 Exercices du livre : 50 à 61 p 87
Activité : Effectuer la division de 338 par 13
 Définitions : Quand le reste de la division euclidienne d’un nombre entier a par un
nombre entier b est nul, on dit que b est divisible par a.
On dit aussi que a est un diviseur de b ou que b est un multiple de a
 Exemple : 10 591 est divisible par 17 donc 17 est un diviseur de 10 591
Critères de divisibilité
Critère de divisibilité par 2
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
Exemple : 15 738 est divisible par 2 car il se termine par 8 qui est un nombre pair.
Critère de divisibilité par 5
Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
Exemple : 1 275 est divisible par 5 car il se termine par 5.
Critère de divisibilité par 10
Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0.
Exemple : 1 270 est divisible par 10 car il se termine par 0.
 Exercices du livre : 9 – 12 p 84 – 62 - 64 – 65 p 88 – 35 à 39 p 86
Critères de divisibilité
Critère de divisibilité par 3
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemple : 35 796 825 est divisible par 3 car
3 + 5 + 7 + 9 + 6 + 8 + 2 + 5 = 45
et nous voyons que 45 est divisible par 3. On a même 4 + 5 = 9 (divisible par 3).
S2
S3
1
9
5
0
1
7
1
3
2
6
2
0
1
-
9
3
4
3
-
1
5
1
5
-
0

© Julien FONTENIAUD
Critère de divisibilité par 4
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible
par 4.
Exemple : 356 548 est divisible par 4 car il se termine par 48 et nous voyons que 48 est
divisible par 4.
Critère de divisibilité par 9
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple : 423 est divisible par 9 car 4 + 2 + 3 = 9 et 9 est divisible par 9.
 Exercices du livre : 10 à 17 p 84 – 66 à 68 p 88
Séance d’exercices de résolution de problèmes :
 Exercices : 1 à 8 p 83
Activité : Tata donne 168 € à ses 5 enfants, comment fait-elle ?
II. Division décimale
 Définition : Effectuer la division décimale de a par b (  0), c’est trouver le nombre
manquant dans l’égalité : a = b × 
Le nombre manquant s’appelle le quotient de a par b
 = a ÷ b
 Exemples :
17,68 ÷ 8 = 2,21
2,21 × 8 = 17,68 57 ÷ 4 = 14,25 57 = 14,25 × 4
 Exercices du livre : 69 à 73 p 88
7
5
4
5
2
4,
1
4
-
7
1
6
1
-
0
1
8
-
0
2
0
2
-
0
8
6
7,
1
8
1
2
2,
6
1
-
6
1
6
1
-
8
0
8
-
0
S4
S5

© Julien FONTENIAUD
 Remarque : Quand la division ne
s’arrête pas, on donne une valeur
approchée, à l’aide des arrondis.
 Exemple : On veut diviser 38,7
par 11. Le résultat sera d’environ
40 ÷ 10 = 4.
On se rend compte que la
division ne s’arrête pas
(répétition des chiffres – division
interminable)
On peut donner une valeur approchée du quotient au centième par exemple.
On écrit : 38,7 ÷ 11  3,52
 Exercices : Retour sur l’arrondi (fiche)
 Exercices du livre : 74 à 76 p 88
Devoirs : 43 p 58
Séance d’exercices de résolution de problèmes
 Exercices : Fiche + Courses aux problèmes (AP)
 Exercices du livre : 18 à 28 p 85
 Calcul mental : Calcul Tables
III. Division par 10, 100, 1 000…
 Règle 3 : Pour diviser un nombre décimal par 10 – 100 – 1 000…, on décale la virgule
de 1 – 2 – 3… rangs vers la gauche (pour rendre le nombre plus petit) et on rajoute des
zéros si nécessaire.
Remarque, c’est la même règle que la multiplication par 0,1 – 0,01 …
 Exemples : 290 ÷ 10 = 600 ÷ = 60
12 ÷ 1 000 = ÷ 100 = 0,5
13,722 ÷ 100 = 0,52 ÷ = 0,005 2
 Exercices : Fiche
Contrôle
7
8,
3
1
1
8 ..
1
8
1
5
3,
3
3
-
7
5
5
5
-
0
2
1
1
-
0
9
8
8
-
0
2
1
1
-
0
9
8
8
-
2
S6
S7
S8