Critères de divisibilité
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Connaissances Capacités Commentaires - Diviser un nombre par 10, 100, 1000. La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples. La division décimale est limitée à la division d’un décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule. Multiples et diviseurs. - Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10. - Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9. La notion de multiple, introduite à l'école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu'est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. Sens des opérations. - Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l’aide d’une suite de calculs, *ou à l’aide de calculs avec parenthèses. 2.2 Opérations Division. Techniques élémentaires de calcul. - Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. - Connaître la signification du vocabulaire associé : dividende, diviseur, quotient, reste. La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l’objet d’activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée. 2.1 Nombres entiers et décimaux * Donner une valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d’un décimal à l’unité, au dixième, au centième près. *Valeur approchée décimale. La Division S1 Activité : Les dictionnaires I. Division euclidienne – Rappels et compléments Définition : Effectuer la division euclidienne de deux nombres entiers, c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste qui vérifient l’égalité : dividende = (diviseur) × quotient + reste Le reste est inférieur au diviseur. Exemple : Diviseur Dividende 4 5 8 - 4 3 5 2 3 - 1 7 6 Reste 9 8 7 9 4 5 5 2 4589 = ( 87 × 52 ) + 65 On vérifie que 65 <52 Quotient © Julien FONTENIAUD Exercices du livre : 50 à 61 p 87 Activité : Effectuer la division de 338 par 13 Définitions : Quand le reste de la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b est nul, on dit que b est divisible par a. On dit aussi que a est un diviseur de b ou que b est un multiple de a Exemple : 10 591 est divisible par 17 donc 17 est un diviseur de 10 591 S2 1 0 5 9 1 - 1 0 2 3 9 - 3 4 5 1 - 5 1 0 1 7 6 2 3 Critères de divisibilité Critère de divisibilité par 2 Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. Exemple : 15 738 est divisible par 2 car il se termine par 8 qui est un nombre pair. Critère de divisibilité par 5 Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. Exemple : 1 275 est divisible par 5 car il se termine par 5. Critère de divisibilité par 10 Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0. Exemple : 1 270 est divisible par 10 car il se termine par 0. Exercices du livre : 9 – 12 p 84 – 62 - 64 – 65 p 88 – 35 à 39 p 86 Critères de divisibilité S3 Critère de divisibilité par 3 Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple : 35 796 825 est divisible par 3 car 3 + 5 + 7 + 9 + 6 + 8 + 2 + 5 = 45 et nous voyons que 45 est divisible par 3. On a même 4 + 5 = 9 (divisible par 3). © Julien FONTENIAUD Critère de divisibilité par 4 Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Exemple : 356 548 est divisible par 4 car il se termine par 48 et nous voyons que 48 est divisible par 4. Critère de divisibilité par 9 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple : 423 est divisible par 9 car 4 + 2 + 3 = 9 et 9 est divisible par 9. Exercices du livre : 10 à 17 p 84 – 66 à 68 p 88 Séance d’exercices de résolution de problèmes : S4 Exercices : 1 à 8 p 83 Activité : Tata donne 168 € à ses 5 enfants, comment fait-elle ? S5 II. Division décimale Définition : Effectuer la division décimale de a par b ( 0), c’est trouver le nombre manquant dans l’égalité : a = b × Le nombre manquant s’appelle le quotient de a par b =a÷b Exemples : 1 7, 6 8 - 1 6 1 6 - 1 6 0 8 8 0 8 2, 2 1 17,68 ÷ 8 = 2,21 2,21 × 8 = 17,68 5 7 - 4 1 7 - 1 6 1 0 8 2 0 - 2 0 0 4 1 4, 2 5 57 ÷ 4 = 14,25 57 = 14,25 × 4 Exercices du livre : 69 à 73 p 88 © Julien FONTENIAUD S6 3 8, 7 1 1 - 3 3 5 7 3, 5 1 8 1 8 .. - 5 5 Exemple : On veut diviser 38,7 2 0 par 11. Le résultat sera d’environ - 1 1 40 ÷ 10 = 4. 9 0 On se rend compte que la - 8 8 division ne s’arrête pas 2 0 (répétition des chiffres – division - 1 1 interminable) 9 0 - 8 8 2 On peut donner une valeur approchée du quotient au centième par exemple. On écrit : 38,7 ÷ 11 3,52 Remarque : Quand la division ne s’arrête pas, on donne une valeur approchée, à l’aide des arrondis. Exercices : Retour sur l’arrondi (fiche) Exercices du livre : 74 à 76 p 88 Devoirs : 43 p 58 S7 S8 Séance d’exercices de résolution de problèmes Exercices : Fiche + Courses aux problèmes (AP) Exercices du livre : 18 à 28 p 85 Calcul mental : Calcul Tables III. Division par 10, 100, 1 000… Règle 3 : Pour diviser un nombre décimal par 10 – 100 – 1 000…, on décale la virgule de 1 – 2 – 3… rangs vers la gauche (pour rendre le nombre plus petit) et on rajoute des zéros si nécessaire. Remarque, c’est la même règle que la multiplication par 0,1 – 0,01 … Exemples : 290 ÷ 10 = 12 ÷ 1 000 = 13,722 ÷ 100 = Exercices : Fiche 600 ÷ = 60 ÷ 100 = 0,5 0,52 ÷ = 0,005 2 Contrôle © Julien FONTENIAUD
