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Théorème (formule de Bayes (inversion d’une probabilité conditionnelle)). Soit (Ai)16i6nun système complet
d’événements tels que ∀i∈J1, nK,P(Ai)6=0, alors pour tout Btel que P(B)6=0,
∀i∈J1, nK, PB(Ai) = P(Ai)×PAi(B)
n
X
i=1
P(Ai)×PAi(B)
.
En particulier, PB(A) = P(A)×PA(B)
P(A)×PA(B) + PA×PA(B).
III. Indépendance
Aet Bsont indépendants si et seulement si P(A∩B) = P(A)×P(B). Si P(A)6=0, il revient au même de dire PA(B) = P(B).
Théorème. Si Aet Bsont indépendants, alors Aet B,Aet B,Aet Bsont indépendants.
Soient A1, . . . , An,névénements.
A1, ..., Ansont deux à deux indépendants ⇔∀i6=j, P (Ai∩Aj) = P(Ai)×P(Aj).
A1, ..., Ansont indépendants ⇔∀I⊂J1, nK, P \
i∈I
Ai!=Y
i∈I
P(Ai).
Théorème. indépendants ⇒
6⇐deux à deux indépendants.
IV. Variables aléatoires sur un univers fini
1) Variables aléatoires. Loi d’une variable aléatoire
Soit Ωun univers fini. Une variable aléatoire associée à cet univers est une application Xde Ωdans un certain ensemble
E. Si E=R,Xest une variable aléatoire réelle.
Variable indicatrice. Soit Aun événement. La variable X:Ω→R
ω7→1si ω∈A
0si ω /∈A
est la variable indicatrice de
l’événement A. On peut la noter 1A. Elle est utilisée dans une démonstration de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Quelques notations.
•Si Xest une variable aléatoire sur Ωet fune application définie sur X(Ω), on peut définir f◦X(souvent notée f(X)).
Par exemple, X2,√X,eX...
•Si Aest une partie de E(E=Ren général), l’événement {X∈A}est l’événement X−1(A) = {ω∈Ω/ X(ω)∈A}.
Si xest un élément de E, l’événement {X=x}est l’événement X−1({x}) = {ω∈Ω/ X(ω) = x}.
Si Xest une variable réelle, {X6x}=X−1(] − ∞, x]) = {ω∈Ω/ X(ω)6x}.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire. Soit Xune variable aléatoire sur un espace probabilisé fini (Ω, P).
L’application X(Ω)→[0, 1]
x7→P(X=x)
est une probabilité sur X(Ω)appelée loi de X. La loi de Xpeut aussi être l’application
plus générale P(X(Ω)) →[0, 1]
A7→P(X∈A)
. On note PXla loi de X.
Théorème. X
x∈X(Ω)
P(X=x) = 1. Pour toute partie Ade X(Ω),P(X∈A) = X
x∈A
P(X=x).
Théorème (loi de f(X)). La loi de f(X)est :
∀y∈f(X(Ω)), P(f(X) = y) = X
x∈f−1({y})
P(X=x).
Par exemple, si Y=X2,P(Y=1) = PX2=1=P(X=1) + P(X= −1).
2) Espérance, variance, écart-type
a) Espérance Si Xprend les valeurs x1, ..., xn, l’espérance de Xest
E(X) =
n
X
k=1
xkP(X=xk) = X
x∈X(Ω)
xP(X=x).
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