Action d`un champ électrostatique sur une surface de mercure

Action d’un champ électrostatique sur une surface de
mercure
F. Bertein
To cite this version:
F. Bertein. Action d’un champ électrostatique sur une surface de mercure. J. Phys. Radium,
1947, 8 (12), pp.352-357. <10.1051/jphysrad:01947008012035200>. <jpa-00234074>
HAL Id: jpa-00234074
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Submitted on 1 Jan 1947
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ACTION D’UN CHAMP
ÉLECTROSTATIQUE
SUR UNE SURFACE DE MERCURE
Par F. BERTEIN.
Compagnie
provoquent
tels que
«
une
Télégraphie
sans
fil.
comportement d’une surface de mercure soumise à un champ électrique
champ est suffisamment intense les forces de pression électrostatique
rupture d’équilibre qui doit influer de façon décisive sur les phénomènes de décharge
Sommaire.
On étudie le
constant. On montre que si
2014
Générale de
ce
l’émission froide » du
mercure
dans le vide.
imagine communément la surface libre S d’un
liquide au repos comme formant un plan parfait,
On
abstraction faite toutefois de la zone avoisinant les
parois du récipient, déformée par les phénomènes
capillaires. En réalité, S présente des écarts par
rapport à la planéité en raison de l’agitation thermique
des particules liquides. Le phénomène peut être
analysé à l’aide des lois fondamentales de la mécanique statistique. Il est, d’autre part, mis en évidence
expérimentalement par l’étude de la ré f lexion de
la lumière sur S : on observe à côté de la réflexion
classique une réflexion diffuse due à des aspérités
à l’échelle microscopique ou submicroscopique [i].
L’émission électronique d’une sur f ace de mercure
sous t’action de champs électriques intenses dans le
vide (« émission froide o} conduit également à des
résultats très différents de ceux que l’on attendrait
de la part d’une surface métallique plane [2]; on
conçoit qu’ici les forces de pression électrostatique
interviennent pour amplifier les déformations. Nous
nous proposons d’examiner ce phénomène pour une
surface de mercure soumise à un champ uniforme
et constant dans le vide, en supposant qu’il n’y
ait pas eu amorçage préalable d’une décharge par
ionisation de la vapeur. On se bornera à l’étude des
petits mouvements : autrement dit, il est possible
que les calculs s’appliquent seulement au début du
processus, phase réunissant les conditions suivantes :
Élongations et vitesses des particules assez faibles
pour qu’on puisse négliger leurs carrés;
Surface S presque plane partout, c’est-à-dire
pente faible et rayons de courbure grands vis-à-vis
de l’élongation en chaque point (on ne tiendra pas
compte de l’effet de ménisque du mercure au voisinage des parois).
Tonks a calculé approximativement les conditions
de rupture par le champ électrique pour une surface S
présentant initialement une bosse sphérique [3]; ses
résultats présentent un bon accord avec ceux que
nous établirons ici de façon plus générale.
1. Expression du champ électrique superSoit z
ficiel.
~(xy) l’équation de la surface
libre S à un instant déterminé, rapportée à un système d’axes rectangulaires, Oz étant vertical. ( fig. i).
Le champ est appliqué à l’aide d’une électrode plane
parallèle située en regard à la distance d; soit E
sa valeur dans la région où il est uniforme; la
=
-
1
Fig.
i.
- La ligne ondulée voisine du niveau
limite une portion de la surface S.
~0,~
détermination de la pression électrostatique s’exerçant sur S nécessite d’abord la connaissance du
champ superficiel F (xy) en tout point (xy)
de S. On peut écrire en vertu des conditions
admises F = E (i + 2); -e est un terme correctif
fonction de xy, dépendant en fait de la forme globale
de S, c’est-à-dire de la fonction ~(xy). On posera
pour cette raison
d’où
le symbole Y définit un opérateur dont
déterminer les propriétés.
L’opérateur 5
est linéaire.
simplifier l’écriture.
®
La loi de
allons
nous
’
Prenons E
potentiel
=
1
pour
au-dessus
de S est de la forme
où v est infiniment
petit. L’équation de la surface S
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01947008012035200
353
qu’on peut supposer au potentiel 0, s’écrit dans
conditions : z
= et le champ superficiel
ces
Dans le deuxième membre de chacune de ces
relations on peut remplacer z par zéro; en effet,
on commet ainsi, dans la première une erreur
z dç,
qui est du 2e ordre, donc à négliger; de
ce qui concerne la seconde. Revenant aux
initiales on voit qu’il en résulte
relations d’après lesquelles si ~ (xy) est
naison linéaire de fonctions ~1 (xy),
apparaît sous forme de combinaison
coefficients
,
même
en
notations
une
combi-
51(xy)
...,
de mêmes
En d’autres termes, tf est
un opérateur linéaire.
Cette propriété apparaît naturelle, du fait qu’il
s’agit d’un terme correctif infiniment petit; mais
a priori ce dernier caractère n’impliquait pas nécessairement la linéarité, la correspondance pouvait
être quadratique ou plus compliquée encore.
Détermination de Y pour des surfaces S particulières.
Nous achevons de déterminer l’opérateur 5 en le calculant pour une série de cas particuliers.
Soit E
I, on vérifie aisément que les
fonctions suivantes fournissent des distributions de
-
=
-
ces
mêmes fonctions vérifient
est
’
potentiel possibles
Autrement dit, les relations (4) et (5) s’entraînent
mutuellement.
Si l’on parle le langage de la théorie des opérateurs, 5 et à ont les mêmes fonctions propres.
S pour une surface S quelconque.
Étant
donnée une S d’équation z
~(xy) quelconque,
nous pouvons maintenant déterminer 5--~; nous
développons par exemple ~ en série de fonctions
trigonométriques lesquelles constituent un « système
complet » et en vertu de la linéarité nous sommes
ainsi ramenés aux relations (4) valables pour chacune
de ces fonctions.
-
=
2. Les équations générales du
On
Conventions et notations.
supposera le
de forme parallélépipédique et de section horizontale carrée; les
notations adoptées sont rassemblées dans la liste
suivante :
l, longueur du côté de cette section;
a, profondeur du liquide;
d, distance entre électrodes;
xOz, yOz, plans de deux des parois verticales;
z
a, plan contenant le fond du vase;
z == ~(~/0,
équation de la surface libre S, la
variable 1 étant maintenant mise en évidence
(~ = o dans le cas du repos parfait);
P (xyt), pression en un point de S (du côté intérieur
mercure
contenu dans
s (xy) et 3i s (xy)
=
---
au liquide);
11(xyzi), potentiel des vitesses dans
E, champ électrique appliqué;
dit,
g = g8iI
? = I 3,6
A = 4~0
peut
on
(4)
est
encore
précédentes
p étant défini par
Si l’on considère
valable pour
telles que
(3).
l’opérateur
S;
»
constante
coefficients
»
coefficient de viscosité.
»
capillaire;
de
compressi-
bilité ;
et, par suite, pour les diverses combinaisons linéaires
des fonctions
sur
liquide;
C. G. S. accélération de la pesanteur;
»
masse spécifique du mercure;
écrire alors
Yj
Il est clair que
champ
le
associées sont
ï. = 3,9.10-12
autrement
un vase
.
intensité du
Les fonctions
suivant (2)
problème. -
-
..
= 0,016
Nous utiliserons des fonctions propres des opérateurs 6. et 57 formant un système complet, c’est-à-dire
susceptibles de fournir le développement de toute
fonction ~(~~) du problème particulier envisagé.
Ainsi que la suite le justifiera, nous prendrons les
fonctions trigonométriques suivantes :
354
qui concerne le champ électrique qu’on évaluera
kilovolts par centimètre (il suffit à cet effet de
E dans les relations obtenues
remplacer E par
Elles vérifient
en ce
en
(5)
J
,
en
écrivons p, mais la notation
à adopter devrait être pmn pour rappeler le fait que
ce nombre dépend de m et n).
Une représentation graphique connue permet le
repérage des tfmn et la détermination des valeurs
correspondantes de p. On porte sur un plan rapporté
à un système d’axes rectangulaires tous les points IVE
Pour
simplifier
d’abscisses
mTT
l
C. G.
S.).
/
,
nous
et d’ordonnées
nTT
1 ;;
ils forment les
noeuds d’un réseau à mailles carrées et sont liés
biunivoquement aux fonctions Y,n,z ( f g. 2), la valeur
On assimiÉquations des petits mouvements.
lera tout d’abord le mercure à un fluide parfait
(mouvement irrotationneo, incompressible, les
influences de la compressibilité et de la viscosité
étant envisagées plus loin.
Dans ces conditions la vitesse de la particule
liquide au point (xyz) est donnée, à partir d’un
potentiel de vitesses IT(xyzt), par grad II.
Les équations sont les suivantes :
-
tout
point
du
En tout
point
de S :
En
liquide :
Fi g. 2.
OI1~.
de p attachée à chacun est simplement p
Le système des rfmn est d’autre part orthogona~
ef normé, c’est-à-dire tel que
==
Ces équations traduisent les lois de l’hydrodynamique [~~]; P (xyt) .dési~ne en particulier la pression
intérieure en un point de S et la relation (13) exprime
que P est la somme des pressions capillaire et
électrostatique.
3. Les solutions fondamentales Le systèmes
équation précédentes est linéaire à coefficients
constants : F2 dans (13) fera apparaître simplement 5
en vertu d’un développement limité au 1er ordre.
Ce système comprend des termes homogènes par
rapport aux fonctions inconnues et aussi un terme
constant dans (13). On ignorera ce dernier, car il
est clair que son introduction se traduit simplement
des
L’étude ultérieure sera fondée sur les cui-actères
essentiets (8) et (9) de non sur leur expression
particulière elle-même (7).
Dans le cas oû le vase serait toujours cylindrique
mais non plus de section carrée, il faudrait faire
appel à un autre système ~m,2 ainsi que nous le
verrons plus loin sur un exemple; les équations (8)
et (9) étant sauvegardées, l’étude s’appliquerait sans
modifications.
Observons encore que la deuxième relation (8)
s’applique en toute rigueur à des fonctions s’étendant
à tout le plan x0y ; dans le cas actuel où leur domaine
d’existence est un carré de côté 1, on verrait que la
relation en J n’est qu’approchée pour les valeurs
de p les plus faibles; la suite montrera que ces valeurs
ne jouent pratiquement aucun rôle. Cette même
relation pourra d’autre part, être absolument en
,
dé f aut
le
et
au
voisinage
des
parois
verticales du
aase :
peut y être considéré comme plan
le champ n’y est pas uniforme. Cette question
par l’addition
au
potentiel
des vitesses, d’une
tante sans effet physique. En
tenu de (6), (13) devisent :
conséquence
et
cons-
’compte
Il est commode dans ces conditions de rechercher
des solutions particulières de la forme
où X YZ T sont des fonctions de
xyzl respectivement;
façon
essaiera des fonctions XY sinusoïdales de
à provoquer l’intervention des 1
on
mercure ne
examinée à la fin de l’étude.
Les calculs sont établis en unités C. G. S., sauf
sera
Les
conditions aux limites sur les parois verticales
(nullité de la composante normale de la vitesse),
Conditions
aux
limites et
équation (10).
-
355
fournissent
Il est inutile de calculer l’énergie potentielle
du liquide; la conservation de l’énergie exige
effet que l’on ait
et Z est alors déterminé par
aux
limites
sur
(10)
et par la condition
d’après (20)
Or, si l’on explicite Up on obtient trois termes
contenant respectivement les facteurs d’action g,
A, E, d’où une équation entre les deux paramètres oc
et p. Si l’on se reporte à (19), il est clair que l’équa-
T= à,,i,,(1)
On écrira pour des raisons de commodité
(le point désignant la dérivation par rapport
d’où en faisant appel à la notation (7),
à t),
tion actuelle,
l’on pose z
-
dans
= o
De
déduit ~(~);
(11)
2013 (erreur du 2e ordre)
on
ne
Influence de la
-
(14) explicite
-
enfin la relation suivante déterminant
P par
donne
conséquence u,,,,,(t) ex’ (on
devrait en fait écrire (X’Jlll et non a), (X étant solution de
peut prendre
en
en
compreèsibilité
cette
du
mercure.
-
Si l’on
propriété, l’équation (10) est à
par la suivante :
la résolution conduit sans difficultés à l’équation (19) où l’on remplace dans le premier
la
en
raison
de
terme p par
valeur Zp
5,3. Io-11 on voit que la compressibilité du mercure n’interviendrait que dans des
mouvements très rapides que nous n’aurons pas
B/ p2 -
u(t)
=
’
On
compte de
remplacer
alors la pres-
En y substituant II, ~,
Équation (12).
leurs valeurs (15), (16), (17), cette équation
être différente.
donc simplemerit la conservation de
peut
(19) exprime
C( e-20153t près).
l’énergie (au coelficient 1
P«
si
tient
Équation (14).
sion l’ (xyt)
en
le fond
c’est-à-dire
Équation (11).
th,
pas lieu
d’envisager.
==
Correction introduite par la viscosité.
sité du
temps
une
fait
disparaître
énergie mécanique [5]
mercure
--
en
La visco-
l’unité de
Signification physique de (19) : conservation de
isénergie.
servation
cinétique
Cherchons l’expression de cette conpour la masse de mercure; l’énergie
totale est
-
En tenant
compte, d’une part, de l’identité
et, d’autre part, de la relation (10) et des conditions
aux limites du champ grad IT, nous en déduisons
c’est-à-dire
en
vertu de
(15)
c’est-à-dire
en
raison de
(15)
de sorte que la conservation de
l’énergie s’écrit
alors
Up et Uc gardent pratiquement les valeurs calculées
de sorte qu’il s’agit de (21) modifiée par le terme U~;
conformément à une remarque précédente, l’équation (19) doit ainsi être remplacéepar la suivante :
356
c’est-à-dire
avec
les valeurs
La courbe définie
Représentation- graphique.
par (25) partage le plan (p E) en deux régions correspondant respectivement à chacun des cas envisagés (fig. 3).
-
numériques
4. Discussion des divers mouvements. - En
conclusion. des évolutions possibles pour la surface
libre S sont données par
ce pouvant d’après (22) prendre deux valeurs distinctes, c’est-à-dire fournir deux variations pour
chaque
Fig. 3.
Les
phénomènes dépendront essentiellement du
l’expression D (p E). Nous supposerons
oo
d’abord d
(coth pd i) et désignerons
les
racines
de l’équation
p~, p,
de
signe
tout
par
=
Le tracé
en
est aisé si l’on remarque que
=
D(pE)=o.
9?Ù>
Ce sont des fonctions de E; soit Eo la valeur de E
pour laquelle pi, p, sont confondues, po leur valeur
commune dans ces conditions
On
peut envisager
au
lieu de p la
longueur d’onde
géométrique de la déformation 1. == P à po en
particulier correspond Jo == I, cm.
La justification qualitative des résultats précédents
est aisée : les deux f acfeurs tension superficielle et
pesanteur tendent à maintenir l’équilibre du
o.
Le champ électrique mani f este la
mercures
tendance inverse du fait que la pression (on devrait
dire la traction) électrostatique est plus forte sur
Il existe deux cas à considérer en fonction des
les parties convexes que sur les autres; il ne parvient
valeurs affribuées aux paramètres p, E; on observe
à rompre l’équilibre que s’il est suffisamment intense
que la viscosité intervient dans (x, oc’ à la façon
et si la longueur d’onde de la dé f ormation n’est ni
générale des facteurs d’amortissement.
tl°op f aible, ni trop grande, sinon les phénomènes, soit
capillaires, soit de gravitation sont respectivement
Premier cas.
E2 > Ei et pi
P p2.
et imposent leurs types propres d’oscilprépondérants
D (p E) > o ; ex et ce’ réels de signes contraire
Iations amorties.
déformations exponentielles de la surface libre.
Si l’on lieret compte de la distance finie d,
« > o définit une déformation croissante, c’est-à-dire
les électrodes et intervenant dans cothpd
séparant
une rupture de l’équilibre du mercure, oc’
o définit un
seuls sont changés les phénomènes correspono.
mouvement amorti aboutissant à l’équilibre ~
dant à des valeurs de p de l’ordre au plus
E2 >E2 et
Deuxième cas (complémentaire).
de m et n au plus de l’ordre
On a reporté
ou
E2 E~~ .
p extérieur à l’intervalle
tirets sur la figure 3, la ligne de séparaD (p E) o; oc et «’ soit complexes, soit réels, et en
2 mm; le champ
tion D (p E)
o dans le cas d
négatifs.
non
est
alors
75 kV, mais sensipas Eo
Évolutions, soit exponentielles, soit oscillatoires, critique
o.
et
blement
kV
55
correspond
à
p
mais toujours de type amorti aboutissant à l’équiIl
d’intérêt
là
de
dénuées
différences
s’agit
pour
o.
libre §
=
-
=
de 1 ).
-
=
==
=
=
=
la suite.
D
Cas intermédiaire.
observe ainsi une solution
~
=
de ~
On
(p E) o ;
particulière statique :
§mn(xy) représentant un équilibre différent
---
=
®
o; l’autre solution est amortie,
o.
5.
Évolution
général.
s’obtient,
-
en
de la surface S dans le cas
La solution générale du problème
raison du caractère linéaire, par super-
357
à partir des solutions particulières qu’on
vient de définir : la surface libre S évolue suivant
la relation
position
et Clnn
oc et oc’ sont f onctions de p suivant (24),
sont des coefficients numériques déterminés par des
conditions de réalité et les conditions initiales :
forme de S et vitesse d’évolution pour 1
o, ce
constituent le système
qui est possible car les
complet des fonctions trigonométriques adaptées
se poursuit tant que subsistent les conditions d’équilibre instable : elle ne peut cesser qu’à la faveur
d’un abaissement de E ramenant les points figuratifs
des mouvements dans la zone d’équilibre stable.
S’il n’en était pas ainsi, en effet, nous aurions la
possibilité de réaliser le mouvement perpétuel
du mercure à l’aide de charges statiques fournies
une fois pour toutes aux électrodes et suffisante
pour créer un champ assurant l’instabilité.
=
conditions aux limites sur les parois.
1
L"évolution de S est donc un mouvement amorti
sauf si E est suffisamment fort (E > Eo = 75 kV,
si d
oo) et s’il’existe à l’origine dans le « spectre »
de p des valeurs comprise entre certaines limites (p, P2) :
dans ce dernier cas les composantes correspondantes Cmn tfmn eXL1 s’ampIi fient exponentiellement (le
cas où
o correspondrait à des
o mais c"2n
conditions initiales trop particulières pour être effectivement réalisé).
aux
=
6. La
phase
transitoire d’établissement du
numél’exemple
Reprenons
= Ioo kv : cnx et envisageons pour fixer
les idées un mouvement associé à p ~ 1 o cm-1,
c’est-à-dire correspondant à peu près au milieu
du domaine d’instabilité (pl p2) ~
Le coefficient oc correspondant est, si l’on
suppose a, d i i mm
champ.
rique E
-
=
EnviStabilité d’équilibre du mercure au repos.
au
au
sens
le
mercure
repos
sageons
physique
du terme; s’il arrive que les dimensions du vase
permettent, en vertu de (’l) l’existence de valeurs
de p comprises entre pi et p, (point représentatif dans
la zone hachurée de la figure 3), ces valeurs existent
effectivement en raison des mouvements thermiques
et, du fait de leur amplification, l’équilibre est instable.
cm;
Supposons à titre d’exemple E ioo
-
=
on
trouve
=
Le
se
traduit ainsi par
à
rupture d’équilibre presque immédiate; ce
précisé ultérieurement.
On voit de plus, qu’il ne sera pas toujours possible
d’admettre que l’application du champ E s’effectue
instantanément : la durée du régime d’établissement
de E peut être relativement grande en raison de
l’existence d’une résistance de protection élevée
disposée sur le circuit et de ce fait, l’état du mercure
est susceptible de varier notablement durant cette
phase. L’étude de ce phénomène transitoire met
toujours en jeu le système d’équations (10), (11),
(12), (14); il lui correspond encore des solutions
particulières (16); Umn(t) est solution de l’équation
différentielle (18) dans laquelle E est maintenant
une
sera
/
t
fonction de 1. Si l’on prend
on peut montrer que les u"2,t (t) s’expriment à l’aide
de fonctions de Bessel complexes.
une
,
(A suivre.)
Manuscrit reçu le 5
janvier 1948.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] MANDELSTAM, Ann. der Physik, 1913, 41, p. 609; GANS,
Ann. der Physik, 1924, 74, p. 231; 1925, 77, p. 317.
[2]BEAMS, Phys. Rev.,1933, 44, p. 803; QUARLES, Phys. Rev.,
1935, 48, p. 260; MOORE, Phys. Rev., 1936, 50, p. 344.
l’exponen-
=
point
-
qui donne les longueurs d’onde À o,35 et 3,9 cm.
mercure sera toujours en équilibre instable s’il
existe des valeurs de p possibles comprises entre pl
et p,, c’est-à-dire, comme le montre la représentation géométrique (fig. 2), si 1 > 0,17 cm.
Plaçons-nous dans le cas de l’équilibre instable; les
équations obtenues ne peuvent alors s’appliquer
que tout au début du processus (approximation des
«petits mouvements »~. La thermodynamique permet
de prévoir qualitativement la suite de l’évolution :
le mouvement prend une amplitude telle qu’une
décharge s’établit nécessairement entre le mercure et
l’électrode opposée (décharge soit électronique, soit
simplement par contacts de gouttelettes ou d’oscillations). Cette décharge, continue ou intermittente,
ce
L’amplification
tielle e15ut; en l’espace de 1/; oe de seconde les élongations sont multipliées par un facteur de l’ordre
de 3. 1 ol. Bien que le champ I oo kV : cm ne soit
75 kV : cm,
pas tellement supérieur à la limite Eo
on voit que la rupture d’équilibre s’effectue à une
vitesse considérable et le calcul montrerait aisément
que cette vitesse augmente rapidement pour des
valeurs croissantes de E. On conçoit bien que même
si seules préexistent les oscillations thermiques
d’amplitude très faible, ces oscillations conduisent
[3] TONKS. Phys. Rev., 1935, 48, p. 562.
[4] BRUHAT, Mécanique physique, § 399, 405.
[5[ LAMB, Hydrodynamics, p. 576.