II. Correction 1. Le vaisseau quitte l’attraction terrestre lorsque son énergie mécanique est positive ou nulle (état de diffusion). La plus petite vitesse r à lui communiquer correspond à une énergie mécanique nulle soit: Em = 1 2k mk 0 = mV12 − d’où V1 = avec k = GM . 2 r0 r0 2. Option 1 : La vitesse qu’on lui communique à savoir 5V0 est supérieure à V1 donc le vaisseau échappe à l’attraction de la Terre et décrit une hyperbole. La conservation de l’énergie mécanique s’écrit: r m 2 23k √ m mk 2 Em = V∞ = (5V0 ) − d’où V∞ = = 23V0 avec GM . 2 2 r0 r0 3. Option 2: V0 3.a. La constante des aires est C = r0 . 2 r0 V0 V0 C~ ~ θ0 = ( 1 − 1)U ~ θ0 = − 3 U ~ θ0 − 1)U Le vecteur excentricité s’écrit: ~e = V − U~θ = ( k 2k 2 4 4 3 ~ r0 , le point de départ La conique décrite est donc une ellipse d’excentricité e = , d’axe focal dirigé selon −U 4 est donc l’apogée. C2 r2 V 2 r0 = 0 0 = . k 4k 4 La distance à l’apogée est rA = r0 . p r0 = . La distance au périgée est rP = 1+e 7 8r0 Le grand axe est donc 2a = rA + rP = . 7 On a p = −mk −7mk m 2 mk L’énergie mécanique est une constante et vaut Em = = = V − en tout point soit 2a 8r 2 r 0 r 2k 7k V = − . r 4r0 r r r0 14k 7k 49k 7 Donc au périgée pour rP = , on a VP = − = = V0 . 7 r0 4r0 4r0 2 r r 2k 7k k V0 Donc à l’apogée pour rA = r0 , on a VA = − = = (on retrouve bien la nouvelle vitesse r0 4r0 4r0 2 imposée par le commandant!). V0 3.b. Le budget vitesse est de 4V0 et le commandant a consommé lors de la première étape, il 2 7V0 lui reste donc à utiliser . 2 7V0 Le vaisseau est donc au périgée de l’ellipse de transfert avec une nouvelle vitesse VP + = 7V0 . 2 La conservation de l’énergie mécanique s’écrit: √ √ m 2 m mk Em = V∞ = (7V0 )2 − d’où V∞ = 47V0 > 23V0 . 2 2 r0 r0 3.c. Le vaisseau décrit une trajectoire hyperbolique de constante des aires : C ′ = 7V0 = r0 V0 et 7 r0 V0 ~ theta0 = 6U ~ theta0 . L’excentricité de l’hyperbole décrite vaut 6. de vecteur excentricité ~e = ( 7V0 − 1)U k −1 L’asymptote fait par rapport à l’axe focal de l’hyperbole l’angle θf = arccos( ) = 99, 60 . La vitesse a donc e tourné d’un angle θf − 90 = 9, 60 . La distance demandée s’appelle le paramètre d’impact (ou distance b) telle qu’à l’infini la constante des aires √ r0 V0 s’écrit: C ′ = bV∞ = r0 V0 d’où b = = 47r0 . V∞ 3.d. La deuxième option est plus avantageuse. Le commandant ralentit pour passer à l’apogée (là où la vitesse est minimale) de l’ellipse de transfert et accélère au périgée de l’ellipse de tranfert (là où la vitesse est maximale). 2