DM16.dvi (DM16.ps) - classe de pcsi

II. Correction
1. Le vaisseau quitte l’attraction terrestre lorsque son ´energie m´ecanique est positive ou nulle (´etat de
diffusion). La plus petite vitesse `a lui communiquer correspond `a une ´energie m´ecanique nulle soit: Em=
0 = 1
2mV 2
1−mk
r0
d’o`u V1=r2k
r0
avec k=GM.
2. Option 1 : La vitesse qu’on lui communique `a savoir 5V0est sup´erieure `a V1donc le vaisseau ´echappe `a
l’attraction de la Terre et d´ecrit une hyperbole. La conservation de l’´energie m´ecanique s’´ecrit:
Em=m
2V2
∞=m
2(5V0)2−mk r0
d’o`u V∞=r23k
r0
=√23V0avec GM.
3. Option 2:
3.a. La constante des aires est C=r0
V0
2.
Le vecteur excentricit´e s’´ecrit: ~e =C
k
~
V−~ Uθ= (r0V0
2k
V0
2−1)~
Uθ0= (1
4−1)~
Uθ0=−3
4~
Uθ0
La conique d´ecrite est donc une ellipse d’excentricit´e e=3
4, d’axe focal dirig´e selon −~
Ur0, le point de d´epart
est donc l’apog´ee.
On a p=C2
k=r2
0V2 0
4k=r0 4.
La distance `a l’apog´ee est rA=r0.
La distance au p´erig´ee est rP=p
1 + e=r0 7.
Le grand axe est donc 2a=rA+rP=8r0
7.
L’´energie m´ecanique est une constante et vaut Em=−mk
2a=−7mk 8r0
=m
2V2−mk ren tout point soit
V=r2k
r−7k 4r0
.
Donc au p´erig´ee pour rP=r0
7, on a VP=r14k r0−7k 4r0
=r49k
4r0
=7
2V0.
Donc `a l’apog´ee pour rA=r0, on a VA=r2k
r0−7k 4r0
=rk
4r0
=V0
2(on retrouve bien la nouvelle vitesse
impos´ee par le commandant!).
3.b. Le budget vitesse est de 4V0et le commandant a consomm´e V0
2lors de la premi`ere ´etape, il
lui reste donc `a utiliser 7V0
2.
Le vaisseau est donc au p´erig´ee de l’ellipse de transfert avec une nouvelle vitesse VP+7V0
2= 7V0.
La conservation de l’´energie m´ecanique s’´ecrit:
Em=m
2V2
∞=m
2(7V0)2−mk r0
d’o`u V∞=√47V0>√23V0.
3.c. Le vaisseau d´ecrit une trajectoire hyperbolique de constante des aires : C′=r0
77V0=r0V0et
de vecteur excentricit´e ~e = ( r0V0
k7V0−1)~
Utheta0= 6~ Utheta0. L’excentricit´e de l’hyperbole d´ecrite vaut 6.
L’asymptote fait par rapport `a l’axe focal de l’hyperbole l’angle θf= arccos(−1
e) = 99,60. La vitesse a donc
tourn´e d’un angle θf−90 = 9,60.
La distance demand´ee s’appelle le param`etre d’impact (ou distance b) telle qu’`a l’infini la constante des aires
s’´ecrit: C′=bV∞=r0V0d’o`u b=r0V0
V∞
=√47r0.
3.d. La deuxi`eme option est plus avantageuse. Le commandant ralentit pour passer `a l’apog´ee (l`a
o`u la vitesse est minimale) de l’ellipse de transfert et acc´el`ere au p´erig´ee de l’ellipse de tranfert (l`a o`u la
vitesse est maximale).
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