DM16.dvi (DM16.ps) - classe de pcsi

II. Correction
1. Le vaisseau quitte l’attraction terrestre lorsque son énergie mécanique est positive ou nulle (état de
diffusion). La plus petite vitesse
r à lui communiquer correspond à une énergie mécanique nulle soit: Em =
1
2k
mk
0 = mV12 −
d’où V1 =
avec k = GM .
2
r0
r0
2. Option 1 : La vitesse qu’on lui communique à savoir 5V0 est supérieure à V1 donc le vaisseau échappe à
l’attraction de la Terre et décrit une hyperbole. La conservation de l’énergie mécanique s’écrit:
r
m 2
23k √
m
mk
2
Em = V∞ = (5V0 ) −
d’où V∞ =
= 23V0 avec GM .
2
2
r0
r0
3. Option 2:
V0
3.a. La constante des aires est C = r0 .
2
r0 V0 V0
C~
~ θ0 = ( 1 − 1)U
~ θ0 = − 3 U
~ θ0
− 1)U
Le vecteur excentricité s’écrit: ~e = V − U~θ = (
k
2k 2
4
4
3
~ r0 , le point de départ
La conique décrite est donc une ellipse d’excentricité e = , d’axe focal dirigé selon −U
4
est donc l’apogée.
C2
r2 V 2
r0
= 0 0 = .
k
4k
4
La distance à l’apogée est rA = r0 .
p
r0
= .
La distance au périgée est rP =
1+e
7
8r0
Le grand axe est donc 2a = rA + rP =
.
7
On a p =
−mk
−7mk
m 2
mk
L’énergie mécanique est une constante et vaut Em =
=
=
V −
en tout point soit
2a
8r
2
r
0
r
2k
7k
V =
−
.
r
4r0
r
r
r0
14k
7k
49k
7
Donc au périgée pour rP = , on a VP =
−
=
= V0 .
7
r0
4r0
4r0
2
r
r
2k
7k
k
V0
Donc à l’apogée pour rA = r0 , on a VA =
−
=
=
(on retrouve bien la nouvelle vitesse
r0
4r0
4r0
2
imposée par le commandant!).
V0
3.b. Le budget vitesse est de 4V0 et le commandant a consommé
lors de la première étape, il
2
7V0
lui reste donc à utiliser
.
2
7V0
Le vaisseau est donc au périgée de l’ellipse de transfert avec une nouvelle vitesse VP +
= 7V0 .
2
La conservation de l’énergie mécanique s’écrit:
√
√
m 2
m
mk
Em = V∞
= (7V0 )2 −
d’où V∞ = 47V0 > 23V0 .
2
2
r0
r0
3.c. Le vaisseau décrit une trajectoire hyperbolique de constante des aires : C ′ = 7V0 = r0 V0 et
7
r0 V0
~ theta0 = 6U
~ theta0 . L’excentricité de l’hyperbole décrite vaut 6.
de vecteur excentricité ~e = (
7V0 − 1)U
k
−1
L’asymptote fait par rapport à l’axe focal de l’hyperbole l’angle θf = arccos(
) = 99, 60 . La vitesse a donc
e
tourné d’un angle θf − 90 = 9, 60 .
La distance demandée s’appelle le paramètre d’impact (ou distance b) telle qu’à l’infini la constante des aires
√
r0 V0
s’écrit: C ′ = bV∞ = r0 V0 d’où b =
= 47r0 .
V∞
3.d. La deuxième option est plus avantageuse. Le commandant ralentit pour passer à l’apogée (là
où la vitesse est minimale) de l’ellipse de transfert et accélère au périgée de l’ellipse de tranfert (là où la
vitesse est maximale).
2