DM16.dvi (DM16.ps) - classe de pcsi

P.C.S.I. 2
D.M. N o16 DE PHYSIQUE
I. Vaisseau spatial dans un champ Newtonien
On considère un vaisseau supposé ponctuel de masse m, mobile par rapport à un astre fixe de masse M , de
centre O et de rayon R. La distance entre le vaisseau et l’astre est r avec r > R. On se placera dans le
référentiel lié à l’astre supposé galiléen.
−
→
1. Montrer que le moment cinétique L0 du vaisseau par rapport à O est constant.
−
→
Quelles sont les deux conséquences sur la trajectoire du vaisseau de la constance de L0 ? Justifier.
2. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle du vaisseau en fonction de m, M , r et G
la constante de gravitation universelle (On choisira EP nulle à l’infini).
3. Dans le cas d’une orbite circulaire de rayon r0 , exprimer l’énergie mécanique Em et la période de
révolution du vaisseau Trev en fonction de m, M , r0 et G. Commenter le signe de Em .
4. Le vaisseau est initialement sur une orbite circulaire de rayon r0 à la vitesse V0 . On allume le moteur un
temps très court de sorte que la vitesse varie (seulement en norme et pas en direction) mais pas la distance
au centre de l’astre. Evaluer la vitesse minimale V1 qu’il faut communiquer au vaisseau pour qu’il échappe
à l’attraction de l’astre, en fonction de G, M et r0 .
Le commandant de bord dispose d’un budget vitesse ∆V = 4V0 . Est-ce suffisant pour échapper à l’attraction
de l’astre? Ce budget vitesse signifie que la quantité de carburant disponible permet de faire varier la vitesse
du vaisseau, en une ou plusieurs fois, pourvu que la somme
variations de vitesse n’excède pas 4V0 .
des valeurs absolues des
5. Option 1 : le commandant utilise tout son budget d’un coup en amenant sa vitesse initiale V0 à 5V0 .
Evaluer la vitesse finale (à l’infini) en fonction de V0 .
6. Option 2 :
6.a. Le commandant utilise un huitième du budget vitesse pour ralentir le vaisseau de V0 à V0 /2
en un temps très court devant la période, le vecteur vitesse garde au cours de l’opération la meme direction.
Décrire la nouvelle trajectoire : demi-grand axe a, les distances rA et rP à l’apogée et au périgée en fonction
de r0 , les vitesses VA et VP à l’apogée et au périgée en fonction de G, M et r0 (pour le calcul des vitesses
on pourra utiliser l’énergie mécanique). Quelle condition doit-vérifier rP ?
6.b. On utilise ensuite le reste du budget vitesse au passage au périgée pour augmenter au maximum
la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminer la nouvelle vitesse finale (à
l’infini) en fonction de V0 .
6.c. Calculer l’angle entre la vitesse du vaisseau à l’infini et sa vitesse au périgée. On trace la droite
parallèle à l’asymptote à la trajectoire à l’infini passant par le centre de la terre. Calculer la distance entre
cette droite et l’asymptote.
6.d.
Comparer les deux options et commenter.
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