DM16.dvi (DM16.ps) - classe de pcsi

P.C.S.I. 2
D.M. No16 DE PHYSIQUE
I. Vaisseau spatial dans un champ Newtonien
On consid`ere un vaisseau suppos´e ponctuel de masse m, mobile par rapport `a un astre fixe de masse M, de
centre Oet de rayon R. La distance entre le vaisseau et l’astre est ravec r > R. On se placera dans le
r´ef´erentiel li´e `a l’astre suppos´e galil´een.
1. Montrer que le moment cin´etique −→ L0du vaisseau par rapport `a O est constant.
Quelles sont les deux cons´equences sur la trajectoire du vaisseau de la constance de −→ L0? Justifier.
2. Rappeler l’expression de l’´energie potentielle gravitationnelle du vaisseau en fonction de m,M,ret G
la constante de gravitation universelle (On choisira EPnulle `a l’infini).
3. Dans le cas d’une orbite circulaire de rayon r0, exprimer l’´energie m´ecanique Emet la p´eriode de
r´evolution du vaisseau Trev en fonction de m,M,r0et G. Commenter le signe de Em.
4. Le vaisseau est initialement sur une orbite circulaire de rayon r0`a la vitesse V0. On allume le moteur un
temps tr`es court de sorte que la vitesse varie (seulement en norme et pas en direction) mais pas la distance
au centre de l’astre. Evaluer la vitesse minimale V1qu’il faut communiquer au vaisseau pour qu’il ´echappe
`a l’attraction de l’astre, en fonction de G,Met r0.
Le commandant de bord dispose d’un budget vitesse ∆V= 4V0. Est-ce suffisant pour ´echapper `a l’attraction
de l’astre? Ce budget vitesse signifie que la quantit´e de carburant disponible permet de faire varier la vitesse
du vaisseau, en une ou plusieurs fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des
variations de vitesse n’exc`ede pas 4V0.
5. Option 1 : le commandant utilise tout son budget d’un coup en amenant sa vitesse initiale V0`a 5V0.
Evaluer la vitesse finale (`a l’infini) en fonction de V0.
6. Option 2 :
6.a. Le commandant utilise un huiti`eme du budget vitesse pour ralentir le vaisseau de V0`a V0/2
en un temps tr`es court devant la p´eriode, le vecteur vitesse garde au cours de l’op´eration la meme direction.
D´ecrire la nouvelle trajectoire : demi-grand axe a, les distances rAet rP`a l’apog´ee et au p´erig´ee en fonction
de r0, les vitesses VAet VP`a l’apog´ee et au p´erig´ee en fonction de G,Met r0(pour le calcul des vitesses
on pourra utiliser l’´energie m´ecanique). Quelle condition doit-v´erifier rP?
6.b. On utilise ensuite le reste du budget vitesse au passage au p´erig´ee pour augmenter au maximum
la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et d´eterminer la nouvelle vitesse finale (`a
l’infini) en fonction de V0.
6.c. Calculer l’angle entre la vitesse du vaisseau `a l’infini et sa vitesse au p´erig´ee. On trace la droite
parall`ele `a l’asymptote `a la trajectoire `a l’infini passant par le centre de la terre. Calculer la distance entre
cette droite et l’asymptote.
6.d. Comparer les deux options et commenter.
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