CHAPITRE : Repérage dans le plan I. Définition 1 : Un repère orthogonal du plan est défini par trois points (O ; I, J) formant un triangle rectangle de sommet O. On a donc Repère et coordonnées Définition 2 : Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O ; I, J) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O. On a donc Axe des ordonnées Axe des ordonnées Axe des abscisses Origine du repère Axe des abscisses Origine du repère Remarque : La notation (O ; I, J) signifie : Remarque : Un repère est un repère . Propriété 1 (admise) : Dans un repère orthogonal, tout point M du plan est repéré par un unique couple (xM ; yM ) de réels appelé couple de coordonnées de M. xM est yM est Exemple 1 : Placer dans un repère orthonormé (O ; I, J), les points A, B, C et D de coordonnées respectives (3 ; 1), (-1 ; 4), (0 ; 4) et (2 ; 0). Exemple 2 : Placer dans un repère orthogonal (O ; I, J), avec OI = 4 cm et OJ = 2 cm les points A, B, C et D de coordonnées respectives (2 ; 1), (1 ; 2), (1 ; 1) et (-1 ; 2). Exemple 3 : Dans le repère (O ; I , J) ci-dessous, lire les coordonnées des points O, I, J, K, H, M, L et P. II. Distance entre deux points du plan Propriété 2 : Dans un repère orthonormé, A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) sont deux points du plan. On a alors : AB² = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 C’est-à-dire, la distance entre les points A et B est : AB = √(𝐱 𝐁 − 𝐱 𝐀 )𝟐 + (𝐲𝐁 − 𝐲𝐀 )𝟐 Démonstration : Outils : "le théorème de Pythagore" Exemple 4 : Dans un repère orthonormé A et B sont des points de coordonnées respectives (2 ; 8) et (4 ; -2). Quelle est longueur du segment [AB] ? III. Milieu d’un segment Propriété 3 : Dans un repère orthogonal, A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) sont deux points du plan. Le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées (xK ,yK ) avec : xK = xA + xB 2 et yK = yA + yB 2 Démonstration : On procède par disjonction de cas : 1er cas : xA = xB ou yA = yB. 2ème cas : xA xB et yA yB. Outils : "théorème des milieux" Exemple 5 : Dans un repère orthonormé A et B sont des points de coordonnées respectives (2 ; 8) et (4 ; -2). Quelles sont les coordonnées du point milieux C du segment [AB] ? IV. Algorithme et repérage Définition : Un algorithme est une suite finie d’instructions à appliquer dans un ordre déterminé à un nombre fini de données pour arriver, en un nombre fini d’étapes, à un certain résultat. Exemple 6 : Variables: xA, yA , xB, yB, L début algorithme: Affecter une valeur à la variable xA Affecter une valeur à la variable yA Affecter une valeur à la variable xB Affecter une valeur à la variable yB Ce sont les variables de l’algorithme. C’est le cœur de l’algorithme. L prend la valeur √(𝐱 𝐁 − 𝐱 𝐀 )𝟐 + (𝐲𝐁 − 𝐲𝐀 )𝟐 Afficher le message : Afficher la valeur de L Fin algorithme Faire fonctionner cet algorithme pour : xA=2 ; yA=-3 ; xB=-1 ; yB=1 puis pour xA=5 ; yA=2 ; xB=-3 ; yB=1 C’est la sortie de l’algorithme. y 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9x