Un peu de logique

Un peu de logique
I. Proposition vraie ou fausse
Une proposition conditionnelle est une phrase du type :
« si proposition A alors proposition B »
Une proposition conditionnelle peut être vraie ou fausse.
Exemples :
"Si I est le milieu du segment [EF] alors les points E, I et F sont alignés" est une proposition …........
"Si MN = MP alors MNP est isocèle en M " est une proposition ….........
« S'il y a des nuages alors il pleut » est une proposition..............
Remarque : Une proposition ne peut jamais être à la fois vraie et fausse.
Exercice 1
Indiquer si chaque proposition est vraie ou fausse. Si la proposition est fausse, trouver un contreexemple.
a. Si je suis Français, alors je suis Européen
b. Si x2 = 4 alors x = 2.
c. Si ab = 0 alors a = 0 ou b = 0.
d. Si ABCD est un losange alos ABCD est un parallélogramme.
e. Si deux droites sont perpenciculaires alors elles sont sécantes.
f. Si ABC est un triangle équilatéral alors ABC est un triangle isocèle.
II . Négation d'une proposition
La négation d'une proposition P est la proposition obtenue en affirmant son contraire.
Exemples :
"x ≥ 1" a pour négation "x < 1".
"Le triangle ABC est isocèle" a pour négation "Le triangle ABC n'est pas isocèle".
Exercice 2 :
Donner la négation des propositions suivantes et dire pour chacune d'elles si elle est vraie ou si c'est
sa négation qui est vraie :
1.
Tous les scientifiques sont des garçons.
2.
Un carré est un losange et est un rectangle.
3.
Chaque lycéen est un garçon ou est une fille.
4.
Cette année il y a eu au moins un jour de soleil .
5.
Dans n'importe quel triangle du plan la somme des angles vaut 180°.
6.
Certains élèves de 1ère L n'ont pas eu la moyenne au dernier contrôle de mathématiques
7.
La racine carrée d'un entier pair est paire .
8.
Le soleil se lève à l'est et se couche à l'ouest
9.
Le soleil se lève à l'est ou se couche à l'ouest.
10. Il fait beau et chaud
11. Sur un échiquier toutes les cases sont noires ou blanches
12. Cette phrase contient cinq mots.
13. Ce devoir est amusant
Remarques : Connecteurs logiques ET, OU
Soient P et Q deux propositions. La proposition notée P et Q est la proposition qui est vraie uniquement
quand les propositions P et Q sont vraies simultanément.
Exemples :
"Le triangle ABC est rectangle et isocèle".
"6 est divisible par 2 et par 3".
"x ≥ - 1" et "x ≤ 1" signifie que x appartient à [- 1 ; 1] .
Soient P et Q deux propositions. La proposition notée P ou Q est la proposition qui est vraie quand la
propositions P est vraie ou quand la proposition Q est vraie.
Exemple :
"Le triangle ABC est rectangle ou isocèle" signifie que le triangle peut être rectangle ou isocèle ou
rectangle-isocèle.
Négation de (P et Q) et de (P ou Q)
Soient P et Q deux propositions. La proposition notée P ou Q est la proposition qui est vraie quand la
propositions P est vraie ou quand la proposition Q est vraie.
Négation de (P et Q) = (négation de P) ou (négation de Q).
Négation de (P ou Q) = (négation de P) et (négation de Q).
Exemple :
La négation de "x < 3 et x > 1" est "x ≥ 3 ou x ≤ 1".
III. Implication et équivalence
1. Implication et réciproque
La proposition conditionnelle :
« Si proposition A alors propositionB »
a pour réciproque :
« Si proposition B alors proposition A »
Elles peuvent être vraies ou fausses indépendamment l'une de l'autre.
Exemples :
Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 . La réciproque est :
Si dans un triangle ABC, BC2 = AB2 + AC2 alors ce triangle est rectangle en A. La réciproque est vraie.
Si x = 2 alors x2 = 4 . La réciproque est si x2 = 4 alors x = 2. La réciproque est fausse car on peut avoir
aussi x = – 2.
Exercice 3 :
reprendre l'exercice 1 et énoncer les propositions réciproques en précisant si elles sont vraies ou
fausses.
2. « équivaut à », « si et seulement si »
La proposition "A si et seulement B" (ou "A équivalent à B") est la proposition "Si A alors B" et
"Si B alors A". Ont dit que A et B sont équivalentes : elles sont vraies en même temps, fausses en même
temps.
Exemple :
"Le triangle est isocèle" équivaut à "Le triangle possède deux angles égaux" .
2
x = 2 ou x = - 2 équivaut à x2 = 4. On note x=2 ou x=−2⇔ x =4 .
Exercice 4
Pour chacune des affirmations suivantes :
•
dire si elle est vraie ou fausse. Dans le cas où elle est fausse, donner un contre-exemple.
•
dire si l’affirmation réciproque est vraie ou fausse.
•
conclure alors sur les énoncés où l’on peut employer : « si et seulement si », c’est à dire sur les
cas où l ́énoncé direct et l’énoncé réciproque sont tous les deux vrais.
1.
Si je suis espagnol, alors je suis européen.
2.
Si je suis enfant unique, alors je n’ai ni frère, ni soeur.
3.
Si je suis français, alors je suis guadeloupéen.
En Géométrie :
4.
Soit ABC un triangle. Si ABC est équilatéral, alors ABC est isocèle.
5.
Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
6. Soit ABCD un quadrilatère. Si ABCD est un parallélogramme, alors [AC] et [BD] ont même
milieu.
7. Soient 3 points A, B et I.
Si I est le milieu de [AB], alors IA = IB.
8. Soient 3 points A, B et C. Si A, B et C sont alignés, alors AB + BC = AC.
9. Soient 3 points distincts A, B et C. Si C appartient au cercle de diamètre [AB], alors ABC est
rectangle en C.
10. Soient 3 points distincts A, B et C. Si ⃗
AC = 3 ⃗
AB , alors A, B et C sont alignés.
En Algèbre :
11. x est un nombre entier.
Si x est pair, alors x se termine par 2.
Pour la suite, x est un nombre réel
12. Six≤1, alors x< 2.
2
13. Si x =16 , alors x=4.
14. Si − 3x> −9 , alors x< 3.
15. Si x=2 , alors x est solution de l’ équation: − 2x+ 4 =0.