Chapitre 24 Fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de

Lycée Chrestien de Troyes Chapitre 24 −Fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie MP1617
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Chapitre 24
Fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie
Version du 22-03-2017 à 05:07
Table des matières
1 Extrait du programme relatif à ce chapitre 2
2 Notations 3
3 Dérivée en un point, fonction de classe C13
4 Fonctions de classe Ck8
5 Arcs paramétrés 11
6 Fonctions continues par morceaux sur un segment 13
7 Approximation uniforme de fonctions continues par morceaux sur un segment 13
8 Intégrale d’une fonction à valeurs vectorielles 14
9 Intégration et dérivation 18
10 Exercices 21
1

Lycée Chrestien de Troyes Chapitre 24 −Fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie MP1617
1 Extrait du programme relatif à ce chapitre
Ce chapitre poursuit trois objectifs :
•étendre le programme d’analyse réelle de première année au cadre des fonctions vectorielles;
•préciser les notions de tangente et de vitesse instantanée;
•fournir des outils pour l’étude des équations différentielles linéaires et du calcul différentiel.
Les fonctions sont définies sur un intervalle Ide R, à valeurs dans un espace normé de dimension finie E.
Dérivabilité en un point
Dérivabilité en un point. Formes équivalentes : taux d’accroissement, déve-
loppement limité à l’ordre 1.
Interprétation cinématique.
PC : vitesse instantanée.
Traduction par les coordonnées dans une base de E.
Dérivabilité à droite et à gauche d’une fonction en
un point.
Opérations sur les fonctions dérivables
Combinaison linéaire de fonctions dérivables.
Dérivabilité et dérivée de L◦f, où Lest linéaire.
Dérivabilité et dérivée de B(f,g), où Best bilinéaire.
Cas du produit scalaire. PC : dérivée de la densité volumique de l’énergie
électromagnétique.
Dérivabilité et dérivée de f◦ϕoù ϕest une fonction
réelle de variable réelle et fune fonction vectorielle.
Applications de classe Ck. Opérations sur les appli-
cations de classe Ck.
PC et SI : vecteur accélération.
Intégration sur un segment
Intégrale d’une fonction fcontinue par morceaux
sur un segment de R, à valeurs dans E.
Définie par les intégrales des coordonnées dans une
base. Notations Z[a;b]f,Zb
a
f,Zb
a
f(t) dt. PC et SI :
intégration d’un champ de vecteurs en mécanique
et électromagnétisme.
Linéarité de l’intégrale. Relation de Chasles.
Inégalité °
°
°Zb
a
f°
°
°6Zb
a°
°f° °.
Sommes de Riemann associées à une subdivision
régulière.
Extension de l’énoncé relatif aux fonctions numé-
riques étudié en MPSI.
Intégrale fonction de sa borne supérieure
Dérivation de x7→ Zx
a
f(t) dtpour fcontinue. Ce paragraphe fournit l’occasion de revoir les résul-
tats correspondants pour les fonctions numériques
et les techniques de calcul de primitives.
Inégalité des accroissements finis pour une fonc-
tion de classe C1.
Formules de Taylor
Formule de Taylor avec reste intégral.
Inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre npour une
fonction de classe Cn.
Formule de Taylor-Young à l’ordre npour une fonc-
tion de classe Cn.
Les étudiants doivent connaître la différence de na-
ture entre la formule de Taylor-Young (locale) et les
formules de Taylor globales (reste intégral et inéga-
lité de Taylor-Lagrange).
2

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Arcs paramétrés
Arc paramétré de classe C1à valeurs dans E. Para-
mètre régulier.
Interprétation géométrique de la dérivée : tangente
en un point associé à un paramètre régulier.
Exemples simples d’arcs paramétrés plans. Les étudiants doivent savoir déterminer la tangente
et la normale à un arc paramétré plan en un point
associé à un paramètre régulier.
L’étude des points stationnaires, des courbes
asymptotes et des arcs définis par une équation
polaire est hors programme.
La pratique du tracé des arcs paramétrés n’est pas
un objectif du programme. I : réalisation de tracés à
l’aide de l’outil informatique.
2 Notations
Dans tout ce chapitre :
•Idésigne un intervalle de R;
•Edésigne un K-espace vectoriel de dimension finie n≥1, avec K=Rou C;
•k·kune norme quelconque sur E.
Comme Eest de dimension finie, toutes les normes sur Esont équivalentes. Dans ce qui suit, toutes les notions
de limites dans Esont donc indépendantes de la norme k·kchoisie.
Les fonctions étudiées sont toutes définies sur Iet à valeurs dans E.
3 Dérivée en un point, fonction de classe C1
Définition 1 (Dérivée en un point)
Soit f∈F(I,E), soit a∈I.
1. On dit que fest dérivable en as’il existe `∈Etel que :
f(x)−f(a)
x−a−−−→
x→a`.
2. Si ce vecteur `existe, il est unique. On le note f0(a) et on l’appelé vecteur dérivé de fen a.
Remarque 1 (Indépendance vis-à-vis de la norme choisie).La notion de dérivabilité et de vecteur dérivé ne
dépend par de la norme choisie sur E.
Remarque 2.
1. Si f(x)−f(a)
x−aadmet une limite à gauche (respectivement à droite) en a, on la note f0
g(a) (respective-
ment f0
d(a)) et on l’appelle vecteur dérivé à gauche (respectivement à droite) de fen a.
2. En cinématique, si la fonction fdonne la position d’un objet en fonction du temps, alors sa dérivée est
le vecteur vitesse.
Rappels sur la notion de Landau o
1. Soit g∈F(I,E), soit a∈I. On dit que le vecteur g(x) de Eest un ode (x−a) au voisinage de a, et on écrit
g(x)=
x→ao(x−a), si :
g(x)
x−a−−−→
x→a0Eou de manière équivalente si °
°
°
°
g(x)
x−a°
°
°
°−−−→
x→a0R.
2. Soient g1,g2∈F(I,E), soit a∈I. On écrit g1(x)=
x→ag2(x)+o(x−a), si g1(x)−g2(x)= x→ao(x−a), i.e. si :
g1(x)−g2(x)
x−a−−−→
x→a0E.
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Proposition 1 (Dérivabilité, vecteur dérivé et DL à l’ordre 1)
Soit f∈F(I,E), soit a∈I.
1. fest dérivable en asi et seulement si fadmet un développement limité à l’ordre 1 en a, i.e. si et
seulement s’il existe α∈Etel que :
f(x)=
x→af(a)+(x−a)α+o(x−a)
2. Si fadmet un développement limité à l’ordre 1 en a, i.e. s’il existe α∈Etel que :
f(x)=
x→af(a)+(x−a)α+o(x−a)
alors f0(a)=α.
Démonstration.
=⇒ Supposons fdérivable en a. Pour tout h6= 0Rtel que a+h∈I, posons :
ε(h) :=f(a+h)−f(a)
h−f0(a)
de sorte que ε(h)−−−−→
h→0R
0E. Alors ε(x−a)−−−→
x→a0E, et :
f(x)=
x→af(a)+(x−a)f0(a)+(x−a)ε(x−a)
Donc fadmet un DL en aà l’ordre 1.
⇐= Supposons que fpossède un DL en aà l’ordre 1, i.e. qu’il existe α∈Etel que :
f(x)=
x→af(a)+(x−a)α+o(x−a).
Alors f(x)−f(a)
x−a−α−−−→
x→a0Eet donc f(x)−f(a)
x−a−−−→
x→aα. Ainsi fest dérivable en aet f0(a)=α.
Q.E.D.
Proposition 2 (Dérivabilité implique continuité −version ponctuelle)
Soit f∈F(I,E), soit a∈I. Alors :
fest dérivable en a=⇒ fest continue en a.
Démonstration.
•Commençons par remarquer que si g(x)=
x→ao(x−a), alors :
g(x)=(x−a)
| {z }
−−−→
x→a0R
g(x)
x−a
|{z}
−−−→
x→a0E
−−−→
x→a0E
Ainsi « un o(x−a) tend vers 0Equand xtend vers a».
•Supposons fdérivable en a. Alors fpossède le développement limité en aà l’ordre 1 suivant (cf. Propo-
sition 1) :
f(x)=
x→af(a)+(x−a)f0(a)+o(x−a)
et donc, d’après le •précédent f(x)−−−→
x→af(a). Ainsi fest continue en a.
Q.E.D.
4

Lycée Chrestien de Troyes Chapitre 24 −Fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie MP1617
Définition 2 (Dérivée sur un intervalle)
Soit f∈F(I,E).
1. On dit que fest dérivable sur I, si fest dérivable en tout point de I.
2. Si fest dérivable sur I, sa fonction dérivée, notée f0, est définie par :
¯¯¯¯
f0:I→E
x7→ f0(x).
3. On note D(I,E) l’ensemble des fonctions dérivables de Ivers E.
4. On note C1(I,E) l’ensemble des fonctions fdérivables de Ivers Etelles que f0soit continue de
Ivers E.
Remarque 3 (Dérivabilité implique continuité −version globale).
Un fonction de Idans Equi est dérivable sur I, est continue sur I, d’après la Proposition 2.
Théorème 1 (Espace vectoriel des fonctions de classe C1)
1. C1(I,E) est un sous-espace vectoriel de F(I,E).
2. L’application : ¯¯¯¯
C1(I,E)→C0(I,E)
f7→ f0
est linéaire.
Démonstration.
•La fonction nulle, i.e. la fonction ¯¯¯¯
I→E
t7→ 0E
est clairement dérivable sur I, avec pour dérivée elle-même. Elle est donc de classe C1sur I.
•Soient f:I→Eet g:I→Edeux fonctions de classe C1sur Iet soient (λ,µ)∈K2.
— Soit a∈I. Comme fet gsont dérivables en a, elles admettent le développement limité à l’ordre 1
suivant :
f(x)=
x→af(a)+(x−a)f0(a)+o(x−a) et g(x)= x→ag(a)+(x−a)g0(a)+o(x−a)
donc :
(λf+µg)(x)=
x→a(λf+µg)(a)+(x−a)(λf0(a)+µg0(a)) +o(x−a).
D’après la Proposition 1, la fonction λf+µgest donc dérivable en aet (λf+µg)0(a)=λf0(a)+µg0(a).
— Comme aest un point quelconque de ce qui précède sur I,λf+µgest dérivable sur Iet :
¡λf+µg¢0=λf0+µg0(1)
— Comme f0et g0sont continues sur Iet que l’ensemble des fonctions continues sur Iest un sous-
espace vectoriel de F(I,E), la fonction ¡λf+µg¢0=λf0+µg0est continue sur I.
•Nous avons ainsi démontré que C1(I,E) est un sous-espace vectoriel de F(I,E), ce qui prouve le point
1. Quant au point 2, il résulte de (1).
Q.E.D.
Proposition 3 (Composition d’une fonction dérivable par une application linéaire)
Soit Fun K-espace vectoriel normé de dimension finie. Soit u∈L(E,F).
Alors pour tout fonction f∈D(I,E), u◦f∈D(I,F) et :
(u◦f)0=u◦f0.
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