Test. TS - Nombres complexes - Correction EX 1 : Le plan complexe

Test. TS - Nombres complexes - Correction ♣
EX1 : Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ³O,−→ u,−→ v´.
Partie A -Restitution organisée de connaissances
Soit z un nombre complexe tel que z =a+ib où a et b sont deux nombres réels.
On note z, le nombre complexe défini par z =a−ib.
1. Démontrer que pour tous nombres complexes, z et z0, z ×z0=z×z0.
Soit zet z0deux nombres complexes tel que z=a+ibet z0=a0+ib0, avec a,b,a0et b0nombres réels.
•z×z0=(a+ib)×(a0+ib0)=(aa0−bb0)+i(ab0+a0b)=aa0−bb0−i(ab0+a0b)
•z×z0=(a+ib)×(a0+ib0)=(a−ib)×(a0−ib0)=aa0−bb0−i(ab0+a0b)
Par suite, pour tous nombres complexes, zet z0,z×z0=z×z0
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, zn=¡z¢n
Montrons par récurrence, que pour tout entier naturel n>1, et tout nombre complexe z,zn=¡z¢n
– Initialisation : Pour n=1, l’égalité z=¡z¢est vraie.
– Hérédité : supposons qu’il existe un entier ntel que zn=¡z¢n.je suppose la proposition vraie au rang n
Alors en partant de notre hypothèse :
z×zn=zסz¢n
En utilisant la question 1. on déduit :
z×zn=¡z¢n+1
finalement zn+1=¡z¢n+1.alors la proposition est vraie au rang n +1
– Conclusion : la proposition est vraie pour n=1 , elle est héréditaire
donc par récurrence on a, zn=¡z¢n
Partie B
On considère l’équation (E) : z4=−4, où z est un nombre complexe.
1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E), alors les nombres complexes −z et z
sont aussi solutions de l’équation (E).
Soit zun complexe solution de l’équation (E), alors z4=−4
•(−z)4=z4=−4 donc −zest aussi solution de l’équation (E) ;
•¡z¢4=z4=−4=−4 donc zest aussi solution de l’équation (E).
2. On considère le nombre complexe z0=1+i.
a. Écrire ce nombre complexe sous sa forme exponentielle.
z0=1+i=p2Ãp2
2+ip2 2!=p2³cos³π 4´+isin ³π 4´´ donc sous forme exponentielle z0=p2eiπ
4
b. Vérifier que z0est solution de l’équation (E).
(z0)4=³p2eiπ
4´4=¡p2¢4׳eiπ 4´4=4×eiπ=4×(−1) ⇐⇒ (z0)4=−4z0est bien solution de l’équation (E).
3. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).
Je peux déduire des questions précédentes que −z0;z0et −z0=−z0sont aussi solutions.
L’ensemble des solutions de l’équation (E) est : S=n1+i ; −1−i ; 1 −i ; −1+io
Partie C
Soient A,B,C,Dles quatre points d’affixes respectives : zA=1+i; zB=−1+i; zC=−1−i; zD=1−i.
On note :
Ele point tel que : CB =CE et ³−−→ CB ; −−→ CE ´=−π
3[2π]et Fle point tel que : CD =CF et ³−−→
CD ; −−→ CF ´=−π
3[2π].
1. Montrer que le point Ea pour affixe le nombre complexe zE=−1+p3.
Comme CE
CB =1 et ³−−→
CB ; −−→ CE ´=−π
3[2π] le nombre complexe zE−zC zB−zC
a pour module 1 et pour argument −π
3
c’est-à-dire zE−zC
zB−zC=e−iπ
3donc zE=(zB−zC)×e−iπ 3+zC=³−1+i−(−1−i)´×Ã1
2−ip3 2!+(−1−i)
zE=2i ×Ã1
2−ip3 2!−1−i=i+p3−1−i⇐⇒ zE=−1+p3

2. Déterminer l’affixe du point F.
Comme CF
CD =1 et ³−−→
CD ; −−→ CF ´=−π
3[2π] le nombre complexe zF−zC zD−zC
a pour module 1 et pour argument −π
3
c’est-à-dire zF−zC
zD−zC=e−iπ
3donc zF=(zD−zC)×e−iπ 3+zC=³1−i−(−1−i)´×Ã1
2−ip3 2!+(−1−i)
zF=2×Ã1
2−ip3 2!−1−i=1−ip3−1−i⇐⇒ zF=i³−1−p3´
3. Démontrer que le quotient zA−zE
zA−zF
est réel. Que peut-on dire pour les points A,Eet F?
zA−zE
zA−zF=1+i−¡−1+p3¢
1+i−¡−i−ip3¢=2−p3+i 1+i¡2+p3¢=¡2−p3+i¢¡1−i¡2+p3¢¢
12+¡2+p3¢2=2−p3+2+p3+i¡1−¡2−p3¢¡2+p3¢¢
8+4p3
zA−zE
zA−zF=4+i(1−(4−3))
8+4p3⇐⇒ zA−zE
zA−zF=4
8+4p3=1 2+p3=2−p3
4−3=2−p3∈
Je peux en déduire que argµzA−zE
zA−zF¶=³−→
FA ; −−→ EA ´=³−→ AF ; −−→ AE ´=0 [π]. Les points A, E et F sont alignés.
Remarque :
zA−zE
zA−zF=2−p3+i
1+i¡2+p3¢=¡2−p3¢×
¡1+i¡2+p3¢¢
1+i¡2+p3¢=2−p3
−→
v
−→
u
−3−2−1 1 2 3
AB
C D
E
F
−π
3
−π
3
i
2i
−i
−2i