Groupes, corps et extensions de Polya : une question de capitulation

Groupes, corps et extensions de Polya : une question de
capitulation
Amandine Leriche
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Amandine Leriche. Groupes, corps et extensions de Polya : une question de capitulation.
Math´ematiques [math]. Universit´e de Picardie Jules Verne, 2010. Fran¸cais. <tel-00612597>
HAL Id: tel-00612597
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Submitted on 29 Jul 2011
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UNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE
U.F.R DES SCIENCES
ÉCOLE DOCTORALE EN SCIENCES ET SANTÉ E.D. 368
THÈSE
présentée pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE
Spécialité : Mathématiques
par
Amandine LERICHE
sous la direction du Pr. Jean-Luc CHABERT
Titre :
GROUPES, CORPS ET EXTENSIONS DE PÓLYA :
UNE QUESTION DE CAPITULATION
soutenue publiquement le 1er décembre 2010
JURY
M. Paul-Jean CAHEN Professeur, Université Paul Cezanne Rapporteur
M. Jean-Luc CHABERT Professeur, Université de Picardie Jules Verne Directeur
M. Hedi DABOUSSI Professeur Émerite, Université de Picardie Jules Verne Examinateur
M. Fabien DURAND Professeur, Université de Picardie Jules Verne Examinateur
Mme Sophie FRISCH Professeur, Technische Universität Graz Examinateur
M. Keith JOHNSON Professeur, Dalhousie University Examinateur
M. Christian MAIRE Professeur, Université de Franche-Comté Rapporteur

Résumé
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’ensemble Int (OK)des poly-
nômes à valeurs entières sur l’anneau OKdes entiers d’un corps de nombres
K. Selon Pólya, une base (fn)n∈Ndu OK-module Int (OK)est dite régulière
si pour tout n∈N,deg(fn) = n. Un corps Ktel que Int (OK)possède une
base régulière est dit de Pólya et le groupe de Pólya d’un corps de nombres K
est un sous-groupe du groupe de classes de Kqui peut être considéré comme
une mesure de l’écart pour un corps au fait d’être de Pólya.
Nous étudions le groupe de Pólya d’un compositum L=K1K2de corps
de nombres galoisiens et établissons des liens avec la ramification des nombres
premiers dans chacune des extensions K1/Qet K2/Q. Nous appliquons ces
résultats aux corps de nombres de petit degré afin d’élargir la famille des
corps de Pólya quadratiques déjà caractérisés.
Par ailleurs, une condition pour qu’un corps de nombres Ksoit de Pólya
est que tous les produits d’idéaux de Kde même norme soient principaux.
Par analogie avec le problème classique du plongement, on peut se poser la
question suivante : tout corps de nombres Kpeut-il être plongé dans un corps
de Pólya ? Nous donnons une réponse positive à cette question : pour tout
corps K, le corps de classes de Hilbert HKde Kest un corps de Pólya .
Toujours par analogie avec le problème de plongement où l’on sait que
les idéaux de OKdeviennent principaux dans OHK, on peut définir la notion
d’extension de Pólya d’un corps K: il s’agit de corps Lcontenant Kdans
lesquels le groupe de Pólya de Kdevient trivial par extensions des idéaux, ce
sont aussi des corps Ltels que le OL-module engendré par Int (OK)possède
une base régulière. Outre HKdans le cas général, dans le cas où Kest une
extension abélienne, la capitulation des idéaux ambiges de Kmontre que le
corps de genre de Ken est une extension de Pólya. Ceci nous amène à des
questions de minimalité et d’unicité concernant les corps et extensions de
Pólya.
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Abstract
In this thesis, we focus on the set Int (OK)of integer-valued polynomials
over OK, the ring of integers of a number field K. According to G. Pólya,
a basis (fn)n∈Nof the OK-module Int (OK)is said to be regular if for each
n∈N,deg(fn) = n. A field Ksuch that Int (OK)has a regular basis is said
to be a Pólya field and the Pólya group of number field Kis a subgroup of
the class group of Kwhich can be considered as a measure of the obstruction
for a field being a Pólya field.
We study the Pólya group of a compositum L=K1K2of two galoisian
extensions K1/Qand K2/Qand we link it to the behaviour of the ramification
of primes in K1/Qand K2/Q. We apply these results to number fields with
small degree in order to enlarge the well known family of quadratic Pólya
fields.
Furthermore, a field Kis a Pólya field if the products of all maximal
ideals of OKwith the same norm are principal. Analogously to the classical
embedding problem, we can set the following problem : is every number field
contained in a Pólya field ? We give a positive answer to this question : for
each number field K, the Hilbert class field HKof Kis a Pólya field.
We know also that every ideal of OKbecomes principal in OHK. This leads
us to introduce the notion of Pólya extension : it is a field Lcontaining Ksuch
that the Pólya group of Kbecomes trivial by extension of ideals, it is also a
field Lsuch that the OL-module generated by Int (OK)has a regular basis.
Consequently, HKis a Pólya extension of Kin the general case. Moreover,
when Kis abelian, capitulation of ambigeous ideals of Kproves that the
genus field of Kis a Pólya extension. This leads us to consider minimality
and unicity questions for Pólya fields and Pólya extensions.
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